1、1圆的有关性质一.选择题1. （2018湖北襄阳3 分）如图，点 A，B，C，D 都在半径为 2的O 上，若OABC，CDA=30，则弦 BC的长为（ ）A4 B2 C D2【分析】根据垂径定理得到 CH=BH， = ，根据圆周角定理求出AOB，根据正弦的定义求出 BH，计算即可【解答】解：OABC，CH=BH， = ，AOB=2CDA=60，BH=OBsinAOB= ，BC=2BH=2 ，故选：D【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键2.（2018江苏淮安3 分）如图，点 A.B.C都在O 上，若AOC=140，则B 的度数
2、是（ ）A70 B80 C110 D1402【分析】作 对的圆周角APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到P=40，然后根据圆周角定理求AOC 的度数【解答】解：作 对的圆周角APC，如图，P= AOC= 140=70P+B=180，B=18070=110，故选：C【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半3.（2018江苏无锡3 分）如图，矩形 ABCD中，G 是 BC的中点，过 A.D.G三点的圆 O与边AB.CD分别交于点 E.点 F，给出下列说法：（1）AC 与 BD的交点是圆 O的圆心；（2）AF与 DE的交点是圆 O的圆
3、心；（3）BC 与圆 O相切，其中正确说法的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【分析】连接 DG、AG，作 GHAD 于 H，连接 OD，如图，先确定 AG=DG，则 GH垂直平分AD，则可判断点 O在 HG上，再根据 HGBC 可判定 BC与圆 O相切；接着利用 OG=OG可判断圆心 O不是 AC与 BD的交点；然后根据四边形 AEFD为O 的内接矩形可判断 AF与 DE的交点是圆 O的圆心【解答】解：连接 DG、AG，作 GHAD 于 H，连接 OD，如图，G 是 BC的中点，AG=DG，GH 垂直平分 AD，点 O在 HG上，ADBC，HGBC，BC 与圆 O相切；OG=OG，点 O不是
4、 HG的中点，圆心 O不是 AC与 BD的交点；而四边形 AEFD为O 的内接矩形，AF 与 DE的交点是圆 O的圆心；（1）错误， （2） （3）正确3故选：C【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角也考查了矩形的性质4.（2018江苏苏州3 分）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是 上的点，若BOC=40，则D 的度数为（ ）A100 B110 C120 D130【分析】根据互补得出AOC 的度数，再利用圆周角定理解答即可【解答】解：BOC=40，AOC=18040=140，D= ，故选：
5、B【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出AOC 的度数5.（2018山东聊城市3 分）如图，O 中，弦 BC与半径 OA相交于点 D，连接 AB，OC若A=60，ADC=85，则C 的度数是（ ）A25 B27.5 C30 D35【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出B 以及ODC 度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案【解答】解：A=60，ADC=85，4B=8560=25，CDO=95，AOC=2B=50，C=1809550=35故选：D【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出AOC 度数是解题关键6.（2018山东烟台市3 分
6、）如图，四边形 ABCD内接于O，点 I是ABC 的内心，AIC=124，点 E在 AD的延长线上，则CDE 的度数为（ ）A56 B62 C68 D78【分析】由点 I是ABC 的内心知BAC=2IAC.ACB=2ICA，从而求得B=180（BAC+ACB）=1802（180AIC） ，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案【解答】解：点 I是ABC 的内心，BAC=2IAC.ACB=2ICA，AIC=124，B=180（BAC+ACB）=1802（IAC+ICA）=1802（180AIC）=68，又四边形 ABCD内接于O，CDE=B=68，故选：C【点评】本题主要考查三角形的内切圆与
7、内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质7.（2018山东济宁市3 分）如图， 点 B，C ，D 在O 上 ，若 B CD=130，则 BOD 的度数是5（ ）A5 0 B6 0 C 80 D10 0【解答】解：圆上取一点 A，连接 AB，AD ，点A.B ，C ，D 在 O 上，B CD=130，B AD=50，B OD=100，故选：D 8. （2018遂宁4 分）如图，在O 中，AE 是直径，半径 OC垂直于弦 AB于 D，连接 BE，若 AB=2 ，CD=1，则 BE的长是（ ）A5 B6 C7 D8【分析】根据垂径定理求出 AD，根据勾股定理列式求出 OD，根据三
8、角形中位线定理计算即可【解答】解：半径 OC垂直于弦 AB，AD=DB= AB= ，在 RtAOD 中，OA 2=（OCCD） 2+AD2，即 OA2=（OA1） 2+（ ） 2，解得，OA=4OD=OCCD=3，AO=OE，AD=DB，6BE=2OD=6，故选：B【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键9 （2018临安3 分如图， O的半径 OA=6，以 A为圆心， OA为半径的弧交 O于 B.C点，则 BC=（ ）A B C D【分析】根据垂径定理先求 BC一半的长，再求 BC的长【解答】解：设 OA与 BC相交于 D点 A
9、B=OA=OB=6 OAB是等边三角形又根据垂径定理可得， OA平分 BC，利用勾股定理可得 BD= =3所以 BC=6 故选：A【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理10. （2018贵州安顺3 分） 已知 的直径 ， 是 的弦， ，垂足为 ，且 ，则 的长为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】试题解析：连接 AC，AO，7O 的直径 CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM=AB=8=4cm，OD=OC=5cm.当 C点位置如答 1所示时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB， cm.CM=OC+OM=5+3=8cm. 在 RtAMC 中， cm.当 C点位置如图
10、 2所示时，同理可得 OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm.在 RtAMC 中， cm综上所述，AC 的长为 cm或 cm.故选 C11. （2018黑龙江哈尔滨3 分）如图，点 P为O 外一点，PA 为O 的切线，A 为切点，PO交O 于点 B，P=30，OB=3，则线段 BP的长为（ ）A3 B3 C6 D9【分析】直接利用切线的性质得出OAP=90，进而利用直角三角形的性质得出 OP的长【解答】解：连接 OA，PA 为O 的切线，OAP=90，P=30，OB=3，AO=3，则 OP=6，故 BP=63=3故选：A8【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是
11、解题关键12.（2018广西贵港3 分）如图，点 A，B，C 均在O 上，若A=66，则OCB 的度数是（ ）A24 B28 C33 D48【分析】首先利用圆周角定理可得COB 的度数，再根据等边对等角可得OCB=OBC，进而可得答案【解答】解：A=66，COB=132，CO=BO，OCB=OBC= （180132）=24，故选：A【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半13. （2018广西贵港3 分）如图，抛物线 y= （x+2） （x8）与 x轴交于 A，B 两点，与y轴交于点 C，顶点为 M，以 AB为直径作
12、D下列结论：抛物线的对称轴是直线x=3；D 的面积为 16；抛物线上存在点 E，使四边形 ACED为平行四边形；直线CM与D 相切其中正确结论的个数是（ ）9A1 B2 C3 D4【分析】根据抛物线的解析式得出抛物线与 x轴的交点 A.B坐标，由抛物线的对称性即可判定；求得D 的直径 AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定，过点 C作 CEAB，交抛物线于 E，如果 CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；求得直线 CM、直线 CD的解析式通过它们的斜率进行判定【解答】解：在 y= （x+2） （x8）中，当 y=0时，x=2 或 x=8，点 A（2，0） 、B
13、（8，0） ，抛物线的对称轴为 x= =3，故正确；D 的直径为 8（2）=10，即半径为 5，D 的面积为 25，故错误；在 y= （x+2） （x8）= x2 x4 中，当 x=0时 y=4，点 C（0，4） ，当 y=4 时， x2 x4=4，解得：x 1=0、x 2=6，所以点 E（6，4） ，则 CE=6，AD=3（2）=5，ADCE，四边形 ACED不是平行四边形，故错误；y= x2 x4= （x3） 2 ，点 M（3， ） ，设直线 CM解析式为 y=kx+b，将点 C（0，4） 、M（3， ）代入，得： ，解得： ，所以直线 CM解析式为 y= x4；10设直线 CD解析式为
14、y=mx+n，将点 C（0，4） 、D（3，0）代入，得： ，解得： ，所以直线 CD解析式为 y= x4，由 =1 知 CMCD 于点 C，直线 CM与D 相切，故正确；故选：B【点评】本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是掌握抛物线的顶点坐标的求法和对称轴，平行四边形的判定，点是在圆上还是在圆外的判定，切线的判定等14.（2018贵州铜仁4 分）如图，已知圆心角AOB=110，则圆周角ACB=（ ）A55 B110 C120 D125【分析】根据圆周角定理进行求解一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半【解答】解：根据圆周角定理，得ACB= （360AOB）= 250=125故选：D
15、15(2018 湖南省邵阳市)（3 分）如图所示，四边形 ABCD为O 的内接四边形，BCD=120，则BOD 的大小是（ ）A80 B120 C100 D90【分析】根据圆内接四边形的性质求出A，再根据圆周角定理解答【解答】解：四边形 ABCD为O 的内接四边形，A=180BCD=60，11由圆周角定理得，BOD=2A=120，故选：B【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键16. （2018 湖南湘西州 4.00分）已知O 的半径为 5cm，圆心 O到直线 l的距离为 5cm，则直线 l与O 的位置关系为（ ）A相交 B相切 C相离 D无法
16、确定【分析】根据圆心到直线的距离 5等于圆的半径 5，则直线和圆相切【解答】解：圆心到直线的距离 5cm=5cm，直线和圆相切故选：B【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系若 dr，则直线与圆相交；若 d=r，则直线于圆相切；若 dr，则直线与圆相离17. （2018遂宁4 分）如图，在O 中，AE 是直径，半径 OC垂直于弦 AB于 D，连接BE，若 AB=2 ，CD=1，则 BE的长是（ ）A5 B6 C7 D8【分析】根据垂径定理求出 AD，根据勾股定理列式求出 OD，根据三角形中位线定理计算即可【解答】解：半径 OC垂直于弦 AB，AD=DB=
17、 AB= ，在 RtAOD 中，OA 2=（OCCD） 2+AD2，即 OA2=（OA1） 2+（ ） 2，解得，OA=4OD=OCCD=3，AO=OE，AD=DB，BE=2OD=6，故选：B【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键12二.填空题1. （2018湖北随州3 分）如图，点 A，B，C 在O 上，A=40 度，C=20 度，则B= 60 度【分析】连接 OA，根据等腰三角形的性质得到OAC=C=20，根据等腰三角形的性质解答即可【解答】解：如图，连接 OA，OA=OC，OAC=C=20，OAB=60，OA=OB，B=O
18、AB=60，故答案为：60【点评】本题考查的是圆周角定理的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键2.（2018江苏无锡2 分）如图，点 A.B.C都在O 上，OCOB，点 A在劣弧 上，且OA=AB，则ABC= 15 【分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可【解答】解：OA=OB，OA=AB，OA=OB=AB，即OAB 是等边三角形，AOB=60，OCOB，COB=90，COA=9060=30，ABC=15，故答案为：1513【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键3.（20
19、18山东烟台市3 分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1个单位长度，点O，A，B，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点 O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C 三点的圆的圆心坐标为 （1，2） 【分析】连接 CB，作 CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点 O的坐标即可【解答】解：连接 CB，作 CB的垂直平分线，如图所示：在 CB的垂直平分线上找到一点 D，CDDB=DA= ，所以 D是过 A，B，C 三点的圆的圆心，即 D的坐标为（1，2） ，故答案为：（1，2） ，【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置4. （2018杭州4 分）如图，AB 是的直
20、径，点 C是半径 OA的中点，过点 C作 DEAB，交 O于点 D，E 两点，过点 D作直径 DF，连结 AF，则DEA=_。【答案】30 【考点】垂径定理，圆周角定理 【解析】 【解答】解：DEABDCO=90点 C时半径 OA的中点OC= OA= ODCDO=30AOD=60弧 AD=弧 AD14DEA= AOD=30故答案为：30【分析】根据垂直的定义可证得COD 是直角三角形，再根据中点的定义及特殊角的三角函数值，可求出AOD 的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出结果。5. （2018嘉兴4 分.）如图,量角器的 度刻度线为 .将一矩形直尺与量角器部分重叠、
21、使直尺一边与量角器相切于点 ,直尺另一边交量角器于点 ，量得 ,点 在量角器上的读数为 .则该直尺的宽度为_【答案】【解析】 【分析】连接 OC,OD,OC与 AD交于点 E，根据圆周角定理有根据垂径定理有： 解直角 即可.【解答】连接 OC,OD,OC与 AD交于点 E，直尺的宽度： 故答案为：【点评】考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.6.（2018嘉兴4 分.）如图,在矩形 中, , ,点 在 上, ,点 是15边 上一动点,以 为斜边作 .若点 在矩形 的边上,且这样的直角三角形恰好有两个,则 的值是_.【答案】0 或 或 4【解析】 【分析】在点 F的运动过程中分别以 EF为直径
22、作圆，观察圆和矩形矩形 边的交点个数即可得到结论.【解答】当点 F与点 A重合时，以 为斜边 恰好有两个，符合题意.当点 F从点 A向点 B运动时，当 时，共有 4个点 P使 是以 为斜边 .当 时，有 1个点 P使 是以 为斜边 .当 时，有 2个点 P使 是以 为斜边 .当 时，有 3个点 P使 是以 为斜边 .当 时，有 4个点 P使 是以 为斜边 . 当点 F与点 B重合时，以 为斜边 恰好有两个，符合题意.故答案为：0 或 或 4【点评】考查圆周角定理，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键.注意分类讨论思想在数学中的应用.7.（2018金华、丽水4 分）如图 1是小明制作的一副弓箭
23、，点 A ， D分别是弓臂 BAC与弓弦 BC的中点，弓弦 BC=60cm沿 AD方向拉弓的过程中，假设弓臂 BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长如图 2，当弓箭从自然状态的点 D拉到点 D1时，有AD1=30cm， B1D1C1=12016（1）图 2中，弓臂两端 B1 ， C1的距离为_cm （2）如图 3，将弓箭继续拉到点 D2 ， 使弓臂 B2AC2为半圆，则 D1D2的长为_cm 【解析】 【解答】 （1）如图 2，连结 B1C1 ， B 1C1与 AD1相交于点 E，D 1是弓弦 B1C1的中点，AD 1=B1D1=C1D1=30cm，由三点确定一个圆可知，D 1是弓臂 B1AC1的圆
24、心，点 A是弓臂 B1AC1的中点，B 1D1D= ，B 1E=C1E，AD 1B 1C1 ， 在 RtB 1D1E中，B 1E= cm，则 B 1C1=2B1E=30 cm。故答案为：30 （ 2 ）如图 2，连结 B2C2 ， B 2C2与 AD1相交于点 E1 ， 17使弓臂 B2AC2为半圆，E 1是弓臂 B2AC2的圆心，弓臂 B2AC2长不变， ，解得 cm,在 Rt 中，由勾股定理可得 cm则 cm即 cm故答案为： 【分析】 （1）连结 B1C1 ， 根据图形不难看出B 1D1D= ，B 1E=C1E，AD 1B 1C1 ， 可以通过证明得到的；（2）由 可求，其中 AD1的长
25、已知，即求 AD2；连结 B2C2 ， 与（2）同理可知点 E1是弓臂 B2AC2的圆心，由弓臂 B2AC2长不变，可求出半径 B2E2的长，再由勾股定理求出D2E1 ， 从而可求得 AD2的长8. （2018广西玉林3 分）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm） ，请你帮小华算出圆盘的半径是 10 cm【分析】先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论【解答】解：如图，记圆的圆心为 O，连接 OB，OC 交 AB于 D，OCAB，BD= AB，由图知，A
26、B=164=12cm，CD=2cm，BD=6，设圆的半径为 r，则 OD=r2，OB=r，18在 RtBOD 中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2，r2=36+（r2）2，r=10cm，故答案为 109. （2018黑龙江龙东地区3 分）如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 E，已知CD=6，EB=1，则O 的半径为 5 【分析】连接 OC，由垂径定理知，点 E是 CD的中点，AE= CD，在直角OCE 中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可【解答】解：连接 OC，AB 为O 的直径，ABCD，CE=DE= CD= 6=3，设O 的半径为 xcm，则 OC=xcm
27、，OE=OBBE=x1，在 RtOCE 中，OC 2=OE2+CE2，x 2=32+（x1） 2，解得：x=5，O 的半径为 5，故答案为：5【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键10.（2018广东3 分）同圆中，已知弧 AB所对的圆心角是 100，则弧 AB所对的圆周角是 50 【分析】直接利用圆周角定理求解【解答】解：弧 AB所对的圆心角是 100，则弧 AB所对的圆周角为 50故答案为 50【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等19于这条弧所对的圆心角的一半11. （2018 湖南张家界 3.00分）如图，AB
28、是O 的直径，弦 CDAB 于点E，OC=5cm，CD=8cm，则 AE=（ ）A8cm B5cm C3cm D2cm【分析】根据垂径定理可得出 CE的长度，在 RtOCE 中，利用勾股定理可得出 OE的长度，再利用 AE=AO+OE即可得出 AE的长度【解答】解：弦 CDAB 于点 E，CD=8cm，CE= CD=4cm在 RtOCE 中，OC=5cm，CE=4cm，OE= =3cm，AE=AO+OE=5+3=8cm故选：A【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出 OE的长度是解题的关键三.解答题1. （2018湖南怀化12 分）已知：如图，在四边形 ABCD中，
29、ADBC点 E为 CD边上一点，AE 与 BE分别为DAB 和CBA 的平分线（1）请你添加一个适当的条件 AD=BC ，使得四边形 ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段 AB的垂直平分线交 AB于点 O，并以 AB为直径作O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ；（3）在（2）的条件下，O 交边 AD于点 F，连接 BF，交 AE于点 G，若 AE=4，sinAGF=，求O 的半径【分析】 （1）添加条件 AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；20（2）作出相应的图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到 AD与 BC平行，可得同旁内角互补
30、，再由 AE与 BE为角平分线，可得出 AE与 BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到 AF与 FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到AGF=AEB，根据 sinAGF 的值，确定出 sinAEB 的值，求出 AB的长，即可确定出圆的半径【解答】解：（1）当 AD=BC时，四边形 ABCD是平行四边形，理由为：证明：ADBC，AD=BC，四边形 ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）ADBC，DAB+CBA=180，AE 与 BE分别为DAB 与CBA 的平分线，EAB+EBA=90，AEB=90，AB 为圆 O的直径，点 F
31、在圆 O上，AFB=90，FAG+FGA=90，AE 平分DAB，FAG=EAB，AGF=ABE，sinABE=sinAGF= = ，AE=4，AB=5，则圆 O的半径为 2.5【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角21平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键2.（2018江苏苏州10 分）如图，AB 是O 的直径，点 C在O 上，AD 垂直于过点 C的切线，垂足为 D，CE 垂直 AB，垂足为 E延长 DA交O 于点 F，连接 FC，FC 与 AB相交于点G，连接 OC（1）求证：CD=CE；（2）若 AE=GE，求证：
32、CEO 是等腰直角三角形【分析】 （1）连接 AC，根据切线的性质和已知得：ADOC，得DAC=ACO，根据 AAS证明CDACEA（AAS） ，可得结论；（2）介绍两种证法：证法一：根据CDACEA，得DCA=ECA，由等腰三角形三线合一得：F=ACE=DCA=ECG，在直角三角形中得：F=DCA=ACE=ECG=22.5，可得结论；证法二：设F=x，则AOC=2F=2x，根据平角的定义得：DAC+EAC+OAF=180，则3x+3x+2x=180，可得结论【解答】证明：（1）连接 AC，CD 是O 的切线，OCCD，ADCD，DCO=D=90，ADOC，DAC=ACO，OC=OA，CAO=
33、ACO，DAC=CAO，CEAB，CEA=90，在CDA 和CEA 中， ，CDACEA（AAS） ，CD=CE；（2）证法 一：连接 BC，CDACEA，DCA=ECA，CEAG，AE=EG，CA=CG，ECA=ECG，AB 是O 的直径，ACB=90，22CEAB，ACE=B，B=F，F=ACE=DCA=ECG，D=90，DCF+F=90，F=DCA=ACE=ECG=22.5，AOC=2F=45，CEO 是等腰直角三角形；证法二：设F=x，则AOC=2F=2x，ADOC，OAF=AOC=2x，CGA=OAF+F=3x，CEAG，AE=EG，CA=CG，EAC=CGA，CEAG，AE=EG，
34、CA=CG，EAC=CGA，DAC=EAC=CGA=3x，DAC+EAC+OAF=180，3x+3x+2x=180，x=22.5，AOC=2x=45，CEO 是等腰直角三角形【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用3.（2018江苏无锡8 分）如图，四边形 ABCD内接于O，AB=17，CD=10，A=90，cosB= ，求 AD的长【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出C=90，ABC+ADC=180作 AEBC 于
35、E，DFAE 于 F，则 CDFE是矩形，EF=CD=10解 RtAEB，得出 BE=ABcosABE= ，AE= ，那么 AF=AEEF= 再证明ABC+ADF=90 ，根据互余角的互余函数相等得出 sinADF=cosABC= 解 RtADF，即可求出 AD= =6【解答】解：四边形 ABCD内接于O，A=90，23C=180A=90，ABC+ADC=180作 AEBC 于 E，DFAE 于 F，则 CDFE是矩形，EF=CD=10在 RtAEB 中，AEB=90，AB=17，cosABC= ，BE=ABcosABE= ，AE= = ，AF=AEEF= 10= ABC+ADC=180，CD
36、F=90，ABC+ADF=90，cosABC= ，sinADF=cosABC= 在 RtADF 中，AFD=90，sinADF= ，AD= = =6【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，求出 AF= 以及 sinADF= 是解题的关键4.（2018江苏宿迁12 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=（x-a） （x-3）（0a3）的图象与 x轴交于点 A.B（点 A在点 B的左侧） ，与 y轴交于点 D，过其顶点 C作直线 CPx 轴，垂足为点 P，连接 AD.BC.（1）求点 A.B.D的坐标；（2）若AOD 与BPC 相似，求 a的值；（3）
37、点 D.O、C.B 能否在同一个圆上，若能，求出 a的值，若不能，请说明理由.【答案】 （1） （1）A（a，0） ，B（3,0） ，D（0,3a）.（2）a 的值为 .（3）当 a= 时，24D.O、C.B 四点共圆. 【分析】 （1）根据二次函数的图象与 x轴相交，则 y=0，得出 A（a，0） ，B（3，0） ，与 y轴相交，则 x=0，得出 D（0，3a）.（2）根据（1）中 A.B.D的坐标，得出抛物线对称轴 x= ，AO=a，OD=3a，代入求得顶点 C（ ，- ） ，从而得 PB=3- = ，PC= ；再分情况讨论：当AODBPC 时，根据相似三角形性质得 ， 解得：a= 3（舍
38、去） ；AODCPB，根据相似三角形性质得 ，解得：a 1=3（舍） ，a 2= ；（3）能；连接 BD，取 BD中点 M，根据已知得 D.B.O在以 BD为直径，M（ ， a）为圆心的圆上，若点 C也在此圆上，则 MC=MB，根据两点间的距离公式得一个关于 a的方程，解之即可得出答案.【详解】 （1）y=（x-a） （x-3） （0a3）与 x轴交于点 A.B（点 A在点 B的左侧） ，A（a，0） ，B（3，0） ，当 x=0时，y=3a，D（0，3a） ；（2）A（a，0） ，B（3，0） ，D（0，3a）.对称轴 x= ，AO=a，OD=3a，当 x= 时，y=- ，C（ ，- ） ，
39、PB=3- = ，PC= ，当AODBPC 时， ，即 ， 解得： a= 3（舍去） ；AODCPB， ，即 ，解得：a 1=3（舍） ，a 2= .综上所述：a 的值为 ；（3）能；连接 BD，取 BD中点 M，25D.B.O 三点共圆，且 BD为直径，圆心为 M（ ， a） ，若点 C也在此圆上，MC=MB， ，化简得：a 4-14a2+45=0，（a 2-5） （a 2-9）=0，a 2=5或 a2=9，a 1= ，a 2=- ，a 3=3（舍） ，a 4=-3（舍） ，0a3，a= ，当 a= 时，D.O、C.B 四点共圆.【点睛】本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等，综合
40、性较强，有一定的难度，正确进行分析，熟练应用相关知识是解题的关键.5. （2018杭州10 分）如图，在ABC 中，ACB=90，以点 B为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段 AB于点 D，以点 A为圆心，AD 长为半径画弧，交线段 AC于点 E，连结 CD。（1）若A=28，求ACD 的度数； （2）设 BC=a，AC=b；线段 AD的长度是方程 的一个根吗？说明理由。若线段 AD=EC，求 的值 【答案】 （1）因为A=28，所以B=62又因为 BC=BD，所以BCD= （180-62）=59ACD=90-59=31（2）因为 BC=a，AC=b，所以 AB= 所以 AD=AB-BD= 因
41、为 = =026所以线段 AD的长是方程 x2+2ax-b2=0的一个根。因为 AD=EC=AE= 所以 是方程 x2+2ax-b2=0的根，所以 ，即 4ab=3b因为 b0，所以 = 【考点】一元二次方程的根，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的认识 【解析】 【分析】 （1）根据三角形内角和定理可求出B 的度数，再根据已知可得出BCD是等腰三角形，可求出BCD 的度数，从而可求得ACD 的度数。（2）根据已知BC=a，AC=b，利用勾股定理可求出 AB的值，再求出 AD的长，再根据AD是原方程的一个根，将 AD的长代入方程，可得出方程左右两边相等，即可得出结论；根据已知条件可得出 AD=EC
42、=AE= ，将 代入方程化简可得出 4ab=3b，就可求出 a与b之比。6. （2018湖州8 分）如图，已知 AB是O 的直径，C，D 是O 上的点，OCBD，交 AD于点 E，连结 BC（1）求证：AE=ED；（2）若 AB=10，CBD=36，求 的长【分析】 （1）根据平行线的性质得出AEO=90，再利用垂径定理证明即可；（2）根据弧长公式解答即可【解答】证明：（1）AB 是O 的直径，ADB=90，OCBD，AEO=ADB=90，即 OCAD，AE=ED；（2）OCAD， ，ABC=CBD=36，27AOC=2ABC=236=72， 【点评】此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径
43、定理解答7. （2018广西桂林10 分） 如图 1，已知O 是 ADB 的外接圆，ADB 的平分线 DC交AB于点 M，交O 于点 C，连接 AC，BC.（1）求证：AC=BC；（2）如图 2，在图 1 的基础上做O 的直径 CF交 AB于点 E，连接 AF，过点 A作O 的切线 AH，若 AH/BC，求ACF 的度数；（3）在（2）的条件下，若 ABD 的面积为 ，ABD 与 ABC 的面积比为 2：9，求 CD的长.【答案】 （1）证明见解析；（2）30；（3） 【解析】分析：（1）运用“在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解；（2）连接 AO并延长交 BC于 I交O 于 J,由
44、AH是O 的切线且 AHBC 得 AIBC，易证IAC=30，故可得ABC=60=F=ACB，由 CF是直径可得ACF 的度数；（3）过点 D作 DGAB ，连接 AO，知 ABC为等边三角形，求出 AB.AE的长，在 RtAEO 中，求出 AO的长，得 CF的长，再求 DG 的长，运用勾股定理易求 CD的长.详解：（1）DC 平分ADB，ADC=BDC， AC=BC（2）如图，连接 AO并延长交 BC于 I交O 于 J28AH 是O 的切线且 AHBC，AIBC，BI=IC，AC=BC，IC= AC，IAC=30，ABC=60=F=ACBFC 是直径，FAC=90，ACF=180-90-60
45、=30（3）过点 D作 ，连接 AO由（1） （2）知 ABC为等边三角形ACF=30， ，AE=BE， ，29AB= ， 在 RtAEO 中，设 EO=x，则 AO=2x， ， ， x=6，O 的半径为 6，CF=12 ，DG=2如图，过点 D作 ,连接 OD , ，CF/DG，四边形 G DGE为矩形， ，在 Rt 中， ， ，点睛：本题是一道圆的综合题.考查了圆的基本概念，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等相关知识.比较复杂，熟记相关概念是解题关键.8. （2018黑龙江大庆9 分）如图，AB 是O 的直径，点 E为线段 OB上一点（不与O，B 重合） ，作 ECOB，交O 于点 C，作直径 CD，过点 C的切线交 DB的延长线于点 P，作 AFPC 于点 F，连接 CB（1）求证：AC 平分FAB；（2）求证：BC 2=CECP；（3）当 AB=4 且 = 时，求劣弧 的长度30【分析】 （1）根据等角的余角相等证明即可；（2）只要证明CBECPB，可得 = 解决问题；（3）作 BMPF 于 M则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=3a，PC=4a，
