1、1弧长与扇形面积一.选择题1. （2018湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市3 分）一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（ ）A120 B180 C240 D300【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的 2 倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数【解答】解：设母线长为 R，底面半径为 r，底面周长=2r，底面面积=r 2，侧面面积=rR，侧面积是底面积的 2 倍，2r 2=rR，R=2r，设圆心角为 n，则 =2r=R，解得，n=180，故选：B【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥
2、的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长2.（2018内蒙古包头市3 分）如图，在ABC 中，AB=2，BC=4，ABC=30，以点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，交 BC 于点 D，则图中阴影部分的面积是（ ）A2 B2 C4 D4【分析】过 A 作 AEBC 于 E，依据 AB=2，ABC=30，即可得出 AE= AB=1，再根据公式即可得到，阴影部分的面积是 41 =2 【解答】解：如图，过 A 作 AEBC 于 E，AB=2，ABC=30，AE= AB=1，又BC=4，2阴影部分的面积是 41 =2 ，故选：A【点评】
3、本题主要考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积，常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法3. （2018遂宁4 分）已知圆锥的母线长为 6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为 120，则该扇形的面积是（ ）A4 B8 C12 D16【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算【解答】解：该扇形的面积= =12故选：C【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长4. （2018广西玉林3 分）圆锥的主视图与左视图都是边长为 4 的等边
4、三角形，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ）A90 B120 C150 D180【分析】由圆锥的主视图为等边三角形知圆锥的底面圆直径为 4.侧面展开图扇形的半径为 4，据此利用弧长公式求解可得【解答】解：圆锥的主视图与左视图都是边长为 4 的等边三角形，圆锥的母线长为 4.底面圆的直径为 4，则圆锥的侧面展开图扇形的半径为 4，设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是 n，根据题意，得： =4，解得：n=180，故选：D5. （2018广西南宁3 分）如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若 AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（
5、 ）3A B C2 D2【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可【解答】解：过 A 作 ADBC 于 D，ABC 是等边三角形，AB=AC=BC=2，BAC=ABC=ACB=60，ADBC，BD=CD=1，AD= BD= ，ABC 的面积为 = ，S 扇形 BAC= = ，莱洛三角形的面积 S=3 2 =22 ，故选：D【点评】本题考查了等边三角形的性质好扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键6. （ 2018广 西 北 海 3分 ） 如 图 ，
6、 分 别 以 等 边 三 角 形 ABC 的 三 个 顶 点 为 圆 心 ， 以 边 长 为 半 径 画弧 ， 得 到 的 封 闭 图 形 是 莱 洛 三 角 形 ， 若 AB2， 则 莱 洛 三 角 形 的 面 积 （ 即 阴 影 部 分 面 积 ）为A. B. C. 2 D. 22【答案】 D4【考点】等边三角形的性质与面积计算、扇形的面积计算公式.【 解 析 】 莱 洛 三 角 形 的 面 积 实 际 上 是 由 三 块 相 同 的 扇 形 叠 加 而 成 ， 其 面 积 等 于三 块 扇 形 的 面 积 相 加 减 去 两 个 等 边 三 角 形 的 面 积 ， 即 S 阴影 =3S
7、扇 形 -2SABC .60 2由题意可得 ，S 扇形 =2 2 = .360 3要 求 等 边 三 角 形 ABC 的 面 积 需 要 先 求 高 . 如下 图 ， 过 AD 垂 直 BC 于 D,可知，在 RtABD 中 ，sin60= AD = AD ，AB 2所以 AD=2sin60= ，所以 SABC= 1 BCAD= 1 2= .2 2所以 S 阴影 =3S 扇形 -2SABC=3 2 -2 =2-2 .3故选 D.【点评】求不规则图形面积关键是转化到规则图形中应用公式求解。7.（2018贵州遵义3 分）若要用一个底面直径为 10，高为 12 的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆
8、柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）5A60 B65 C78 D120【分析】直接得出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面及求法得出答案【解答】解：由题意可得：圆锥的底面半径为 5，母线长为： =13，该圆锥的侧面积为：513=65故选：B8. （2018遂宁4 分）已知圆锥的母线长为 6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为 120，则该扇形的面积是（ ）A4 B8 C12 D16【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算【解答】解：该扇形的面积= =12故选：C【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于
9、圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长二.填空题1. （2018湖南郴州3 分）如图，圆锥的母线长为 10cm，高为 8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇 形）的弧长为 12 cm （结果用 表示）【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解【解答】解：设底面圆的半径为 rcm，由勾股定理得：r= =6，2r=26=12，故答案为：12【点评】此题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般2.（2018江苏宿迁3 分）已知圆锥的底面圆半径为 3cm，高为 4cm，则圆锥的侧面积是_cm2.【答案】15【分析】设圆锥母线长为 l
10、，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出6答案.【详解】设圆锥母线长为 l，r=3，h=4， 母线 l= ，S 侧= 2r5= 235=15，故答案为：15.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.3.（2018江苏苏州3 分）如图，88 的正方形网格纸上有扇形 OAB 和扇形 OCD，点O，A，B，C，D 均在格点上若用扇形 OAB 围成一个圆锥的侧面，记这 个圆锥的底面半径为 r1；若用扇形 OCD 围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为 r2，则 的值为 【分析】由 2r 1= 、2r 2= 知 r1= 、r
11、 2=，据此可得 = ，利用勾股定理计算可得【解答】解：2r 1= 、2r 2= ，r 1= 、r 2= ， = = = = ，故答案为： 【点评】本题主要考查圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥体底面周长与母线长间的关系式及勾股定理4.（2018江苏宿迁3 分）如图，将含有 30角的直角三角板 ABC 放入平面直角坐标系，顶点 A，B 分别落在 x、y 轴的正半轴上，OAB60，点 A 的坐标为（1，0） ，将三角板7ABC 沿 x 轴向右作无滑动的滚动（先绕点 A 按顺时针方向旋转 60，再绕点 C 按顺时针方向旋转 90，）当点 B 第一次落在 x 轴上时，则点 B 运动的路径与坐标轴围成的
12、图形面积是_.【答案】 + 【分析】在 RtAOB 中，由 A 点坐标得 OA=1，根据锐角三角形函数可得 AB=2，OB= ，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点 B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S= ，计算即可得出答案.【详解】在 RtAOB 中，A（1，0） ，OA=1，又OAB60，cos60= ，AB=2，OB= ，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，点 B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S= = ，故答案为： .【点睛】本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质等，根据题意正确画出图形是解题的关键.5.（2018山东聊城市3 分）用一块圆心
13、角为 216的扇形铁皮，做一个高为 40cm 的圆锥形工件（接缝忽略不计） ，那么这个扇形铁皮的半径是 50 cm【分析】设这个扇形铁皮的半径为 Rcm，圆锥的底面圆的半径为 rcm，根据圆锥的侧面展开8图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 2r= ，解得 r= R，然后利用勾股定理得到 402+（ R） 2=R2，最后解方程即可【解答】解：设这个扇形铁皮的半径为 Rcm，圆锥的底面圆的半径为 rcm，根据题意得 2r= ，解得 r= R，因为 402+（ R） 2=R2，解得 R=50所以这个扇形铁皮的半径为 50cm故答案为 50【点评】本
14、题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长6. （2018乌鲁木齐4 分）将半径为 12，圆心角为 120的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为 【分析】设圆锥的底面圆的半径为 r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2r= ，然后解关于 r 的方程即可【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为 r，根据题意得 2r= ，解得 r=4，即这个圆锥的底面圆的半径为 4故答案为 4【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的
15、周长，扇形的半径等于圆锥的母线长7. （2018贵州安顺4 分） 如图，为半圆内一点，为圆心，直径 长为 ， ，将 绕圆心逆时针旋转至 ，点在 上，则边 扫过区域（图中阴影部分）的面积为_ （结果保留）9【答案】【解析】分析：根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案详解：BOC=60，BOC是BOC 绕圆心 O 逆时针旋转得到的，BOC=60，BCO=BCO，BOC=60，CBO=30，BOB=120，AB=2cm，OB=1cm，OC=，BC= ，S 扇形 BOB = ，S 扇形 COC = ，阴影部分面积=S 扇形 BOB +SBCO -S
16、BCO -S 扇形 COC =S 扇形 BOB -S 扇形 COC = .故答案为：点睛：此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键8. （2018黑龙江大庆3 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC=2，将 RtABC绕点 A 逆时针旋转 30后得到 RtADE，点 B 经过的路径为弧 BD，则图中阴影部分的面积为 【分析】先根据勾股定理得到 AB=2 ，再根据扇形的面积公式计算出 S 扇形 ABD，由旋转的性质得到 RtADERtACB，于是 S 阴影部分 =SADE +S 扇形 ABDS ABC =S 扇形 ABD【解答】解：A
17、CB=90，AC=BC=2，AB=2 ，S 扇形 ABD= = 10又RtABC 绕 A 点逆时针旋转 30后得到 RtADE，RtADERtACB，S 阴影部分 =SADE +S 扇形 ABDS ABC =S 扇形 ABD= 故答案为： 9. （2018黑龙江哈尔滨3 分）一个扇形的圆心角为 135，弧长为 3cm，则此扇形的面积是 6 cm 2【分析】先求出扇形对应的圆的半径，再根据扇形的面积公式求出面积即可【解答】解：设扇形的半径为 Rcm，扇形的圆心角为 135，弧长为 3cm， =3，解得：R=4，所以此扇形的面积为 =6（cm 2） ，故答案为：6【点评】本题考查了扇形的面积计算和
18、弧长的面积计算，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键10. （2018黑龙江齐齐哈尔3 分）已知圆锥的底面半径为 20，侧面积为 400，则这个圆锥的母线长为 20 【分析】设圆锥的母性长为 l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到 220l=400，然后解方程即可【解答】解：设圆锥的母性长为 l，根据题意得 220l=400解得 l=20，即这个圆锥的母线长为 20故答案为 20【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长1111. （201
19、8湖北省恩施3 分）在 RtABC 中，AB=1，A=60，ABC=90，如图所示将 RtABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 RtDEF，则点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积为 （结果不取近似值）【分析】先得到ACB=30，BC= ，利用旋转的性质可得到点 B 路径分部分：第一部分为以直角三角形 30的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150的弧长；第二部分为以直角三角形 60的直角顶点为圆心，1 为半径，圆心角为 120的弧长，然后根据扇形的面积公式计算点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积【解答】解：RtABC 中，A=60，ABC=90，ACB=30
20、，BC= ，将 RtABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 RtDEF，点 B 路径分部分：第一部分为以直角三角形 30的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150的弧长；第二部分为以直角三角形60的直角顶点为圆心，1 为半径，圆心角为 120的弧长；点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积= + =故答案为 【点评】本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相应的几何量12.（2018广东3 分）如图，矩形 ABCD 中，BC=4，CD=2，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，连接 BD，则阴影部分的面积为 （结果保留 ）【分析】连接 O
21、E，如图，利用切线的性质得 OD=2，OEBC，易得四边形 OECD 为正方形，先利用扇形面积公式，利用 S 正方形 OECDS 扇形 EOD计算由弧 DE.线段 EC.CD 所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积【解答】解：连接 OE，如图，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，OD=2，OEBC，12易得四边形 OECD 为正方形，由弧 DE.线段 EC.CD 所围成的面积=S 正方形 OECDS 扇形 EOD=22 =4，阴影部分的面积= 24（4）=故答案为 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连
22、过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了矩形的性质和扇形的面积公式13.（2018广西贵港3 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB=4，BC=2，将ABC 绕点 B 顺时针方向旋转到ABC的位置，此时点 A恰好在 CB 的延长线上，则图中阴影部分的面积为 4 （结果保留 ） 【分析】由将ABC 绕点 B 顺时针方向旋转到ABC的位置，此时点 A恰好在 CB 的延长线上，可得ABCABC，由题给图可知：S 阴影 =S 扇形 ABA +SABC S 扇形 CBC S ABC 可得出阴影部分面积【解答】解：ABC 中，ACB=90，AB=4，BC=2，BAC=30，ABC=60，A
23、C=2 将ABC 绕点 B 顺时针方向旋转到ABC的位置，此时点 A恰好在 CB 的延长线上，ABCABC，ABA=120=CBC，S 阴影 =S 扇形 ABA +SABC S 扇形 CBC S ABC=S 扇形 ABA S 扇形 CBC= = =4故答案为 413【点评】本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，扇形的面积，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键14. （2018乌鲁木齐4 分）将半径为 12，圆心角为 120的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为 【分析】设圆锥的底面圆的半径为 r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径
24、等于圆锥的母线长和弧长公式得到2r= ，然后解关于 r 的方程即可【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为 r，根据题意得 2r= ，解得 r=4，即这个圆锥的底面圆的半径为 4故答案为 4【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长三.解答题1. （2018湖南怀化12 分）已知：如图，AB 是O 的直径，AB=4，点 F，C 是O 上两点，连接 AC，AF，OC，弦 AC 平分FAB，BOC=60，过点 C 作 CDAF 交 AF 的延长线于点 D，垂足为点 D（1）求扇形 OBC 的面积（结果保留） ；（2）求证：CD 是
25、O 的切线【分析】 （1）由扇形的面积公式即可求出答案（2）易证FAC=ACO，从而可知 ADOC，由于 CDAF，所以 CDOC，所以 CD 是O 的切线【解答】解：（1）AB=4，OB=2COB=60，S 扇形 OBC= =14（2）AC 平分FAB，FAC=CAO，AO=CO，ACO=CAOFAC=ACOADOC，CDAF，CDOCC 在圆上，CD 是O 的切线【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用扇形面积公式以及切线的判定方法，本题属于中等题型2.（2018江苏无锡10 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点 B 顺时针方向旋转 （090）得到矩形
26、A1BC1D1，点 A1在边 CD 上（1）若 m=2，n=1，求在旋转过程中，点 D 到点 D1所经过路径的长度；（2）将矩形 A1BC1D1继续绕点 B 顺时针方向旋转得到矩形 A2BC2D2，点 D2在 BC 的延长线上，设边 A2B 与 CD 交于点 E，若 = 1，求 的值【分析】 （1）作 A1HAB 于 H，连接 BD，BD 1，则四边形 ADA1H 是矩形解直角三角形，求出ABA 1，得到旋转角即可解决问题；（2）由BCEBA 2D2，推出 = = ，可得 CE= 由 = 1 推出 = ，推出 AC= ，推出 BH=AC= = ，可得 m2n 2=6 ，可得 1 =6，由此解方
27、程即可解决问题；【解答】解：（1）作 A1HAB 于 H，连接 BD，BD 1，则四边形 ADA1H 是矩形15AD=HA 1=n=1，在 RtA 1HB 中，BA 1=BA=m=2，BA 1=2HA1，ABA 1=30，旋转角为 30，BD= = ，D 到点 D1所经过路径的长度= = （2）BCEBA 2D2， = = ，CE= = 1， = ，AC= ，BH=AC= = ，m 2n 2=6，m 4m 2n2=6n4，1 =6 ， = （负根已经舍弃） 【点评】本题考查轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型3.（201
28、8江苏淮安10 分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，切点为 A，BC 交O 于点 D，点 E 是 AC 的中点（1）试判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若O 的半径为 2，B=50，AC=4.8，求图中阴影部分的面积【分析】 （1）连接 OE.OD，如图，根据切线的性质得OAC=90，再证明AOEDOE 得到ODE=OAE=90，然后根据切线的判定定理得到 DE 为O 的切线；（2）先计算出AOD=2B=100，利用四边形的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积【解答】解：（1）直线 DE 与O 相切理由如下：16连接 OE.OD，如图，AC 是O 的切线，A
29、BAC，OAC=90，点 E 是 AC 的中点，O 点为 AB 的中点，OEBC，1=B，2=3，OB=OD，B=3，1=2，在AOE 和DOE 中，AOEDOE，ODE=OAE=90，OAAE，DE 为O 的切线；（2）点 E 是 AC 的中点，AE= AC=2.4，AOD=2B=250=100，图中阴影部分的面积=2 22.4 =4.8 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理和扇形的面积公式4. （2018湖州8 分）如图，已知 AB 是O 的直径，C，D 是O 上的点，OCBD，交 AD于点
30、E，连结 BC（1）求证：AE=ED；（2）若 AB=10，CBD=36，求 的长17【分析】 （1）根据平行线的性质得出AEO=90，再利用垂径定理证明即可；（2）根据弧长公式解答即可【解答】证明：（1）AB 是O 的直径，ADB=90，OCBD，AEO=ADB=90，即 OCAD，AE=ED；（2）OCAD， ，ABC=CBD=36，AOC=2ABC=236=72， 【点评】此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答4. （2018黑龙江龙东地区6 分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，4） ，B（1，
31、1） ，C（3，1） （1）画出ABC 关于 x 轴对称的A 1B1C1；（2）画出ABC 绕点 O 逆时针旋转 90后的A 2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段 BC 扫过的面积（结果保留 ） 【分析】 （1）利用轴对称的性质画出图形即可；18（2）利用旋转变换的性质画出图形即可；（3）BC 扫过的面积= ，由此计算即可；【解答】解：（1）ABC 关于 x 轴对称的A 1B1C1如图所示；（2）ABC 绕点 O 逆时针旋转 90后的A 2B2C2如图所示；（3）BC 扫过的面积= = =2【点评】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键
