1、1综合性问题一.选择题1. （2018湖南怀化4 分）下列命题是真命题的是（ ）A两直线平行，同位角相等B相似三角形的面积比等于相似比C菱形的对角线相等D相等的两个角是对顶角【分析】根据平行线的性质、相似三角形的性质、菱形的性质、对顶角的概念判断即可【解答】解：两直线平行，同位角相等，A 是真命题；相似三角形的面积比等于相似比的平方，B 是假命题；菱形的对角线互相垂直，不一定相等，C 是假命题；相等的两个角不一定是对顶角，D 是假命题；故选：A【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理2.（2018江苏苏州3 分）如图
2、，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y= 在第一象限内的图象经过点 D，交 BC 于点 E若 AB=4，CE=2BE，tanAOD= ，则 k 的值为（ ）A3 B2 C6 D12【分析】由 tanAOD= = 可设 AD=3A.OA=4a，在表示出点 D.E 的坐标，由反比例函数经过点 D.E 列出关于 a 的方程，解之求得 a 的值即可得出答案【解答】解：tanAOD= = ，设 AD=3A.OA=4a，则 BC=AD=3a，点 D 坐标为（4a，3a） ，CE=2BE，BE= BC=a，AB=4，点 E（4+4a，a） ，2反比例函数 y= 经过点 D.E
3、，k=12a 2=（4+4a）a，解得：a= 或 a=0（舍） ，则 k=12 =3，故选：A【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点 D.E 的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数 k3.（2018内蒙古包头市3 分）已知下列命题：若 a3b 3，则 a2b 2；若点 A（x 1，y 1）和点 B（x 2，y 2）在二次函数 y=x22x1 的图象上，且满足 x1x 21，则y1y 22；在同一平面内，a，b，c 是直线，且 ab，bc，则 ac；周长相等的所有等腰直角三角形全等其中真命题的个数是（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1
4、 个【分析】依据 a，b 的符号以及绝对值，即可得到 a2b 2不一定成立；依据二次函数 y=x22x1 图象的顶点坐标以及对称轴的位置，即可得 y1y 22；依据 ab，bc，即可得到 ac；依据周长相等的所有等腰直角三角形的边长对应相等，即可得到它们全等【解答】解：若 a3b 3，则 a2b 2不一定成立，故错误；若点 A（x 1，y 1）和点 B（x 2，y 2）在二次函数 y=x22x1 的图象上，且满足 x1x 21，则y1y 22，故正确；在同一平面内，a，b，c 是直线，且 ab，bc，则 ac，故错误；周长相等的所有等腰直角三角形全等，故正确故选：C【点评】本题主要考查了命题与
5、定理，任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可4.（2018山东东营市3 分）如图，点 E 在DBC 的边 DB 上，点 A 在DBC 内部，DAE=BAC=90，AD=AE，AB=AC给出下列结论：BD=CE；ABD+ECB=45；BDCE；BE 2=2（AD 2+AB2）CD 2其中正确的是（ ）A B C D【分析】只要证明DABEAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；3【解答】解：DAE=BAC=90，DAB=EACAD=AE，AB=AC，DABEAC，BD=CE，ABD=ECA，故正确，ABD+ECB=ECA+EC
6、B=ACB=45，故正确，ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=45+45=90，CEB=90，即 CEBD，故正确，BE 2=BC2EC 2=2AB2（CD 2DE 2）=2AB 2CD 2+2AD2=2（AD 2+AB2）CD 2故正确，故选：A【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题5. （2018遂宁4 分）已知如图，在正方形 ABCD 中，AD=4，E，F 分别是 CD，BC 上的一点，且EAF=45，EC=1，将ADE 绕点 A 沿顺时针方向旋转 90后与ABG 重合，连接 EF
7、，过点 B 作 BMAG，交 AF 于点 M，则以下结论：DE+BF=EF，BF= ，AF= ，S MBF = 中正确的是（ ）A B C D【分析】利用全等三角形的性质条件勾股定理求出 BF 的长，再利用相似三角形的性质求出BMF 的面积即可【解答】解：AG=AE，FAE=FAG=45，AF=AF，AFEAFG，EF=FG，DE=BG，EF=FG=BG+FB=DE+BF，故正确，BC=CD=AD=4，EC=1，DE=3，设 BF=x，则 EF=x+3，CF=4x，在 RtECF 中， （x+3） 2=（4x） 2+12，解得 x= ，4BF= ，AF= = ，故正确，错误，BMAG，FBMF
8、GA， =（ ） 2，S FBM = ，故正确，故选：D【点评】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题6. （2018乌鲁木齐4 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，点 P 从点 B 沿折线 BEEDDC 运动到点 C 时停止；点 Q 从点 B 沿 BC 运动到点 C 时停止，速度均为每秒 1 个单位长度如果点 P、Q 同时开始运动，设运动时间为 t，BPQ 的面积为 y，已知 y 与 t 的函数图象如图所示以下结论：BC=10；cosABE= ；
9、当 0t10 时，y= t2；当 t=12 时，BPQ 是等腰三角形；当14t20 时，y=1105t 中正确的有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】根据题意，确定 10t14，PQ 的运动状态，得到 BE.BC.ED 问题可解【解答】解：由图象可知，当 10t14 时，y 值不变，则此时，Q 点到 C，P 从 E 到 DBE=BC=10，ED=4 故正确AE=6RtABE 中，AB=cosABE= ；故错误当 0t10 时，BPQ 的面积为正确；t=12 时，P 在点 E 右侧 2 单位，此时 BPBE=BC5PC=BPQ 不是等腰三角形错误；当 14t20 时，点 P 由
10、D 向 C 运动，Q 在 C 点，BPQ 的面积为 则正确故选：B【点评】本题为双动点问题，解答时既要注意两个动点相对位置变化又要注意函数图象的变化与动点位置变化之间的关联7. （2018广西玉林3 分）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ）A正比例函数 B一次函数 C反比例函数 D二次函数【分析】根据一次函数的定义，可得答案【解答】解：设等腰三角形的底角为 y，顶角为 x，由题意，得y= x+90，故选：B8. （2018广西玉林3 分）圆锥的主视图与左视图都是边长为 4 的等边三角形，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ）A90 B120 C150 D180【分析】由圆锥的主视图为等边
11、三角形知圆锥的底面圆直径为 4.侧面展开图扇形的半径为 4，据此利用弧长公式求解可得【解答】解：圆锥的主视图与左视图都是边长为 4 的等边三角形，圆锥的母线长为 4.底面圆的直径为 4，则圆锥的侧面展开图扇形的半径为 4，设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是 n，根据题意，得： =4，解得：n=180，故选：D9.（2018广西贵港3 分）下列命题中真命题是（ ）A =（ ） 2一定成立B位似图形不可能全等C正多边形都是轴对称图形D圆锥的主视图一定是等边三角形【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念逐一判断即可得6【解答】解：A. =（ ） 2当 a0 不成立，假命
12、题；B.位似图形在位似比为 1 时全等，假命题；C.正多边形都是轴对称图形，真命题；D.圆锥的主视图一定是等腰三角形，假命题；故选：C【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念是解题的关键10.（2018广西贵港3 分）如图，抛物线 y= （x+2） （x8）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，顶点为 M，以 AB 为直径作D下列结论：抛物线的对称轴是直线 x=3；D 的面积为 16；抛物线上存在点 E，使四边形 ACED 为平行四边形；直线 CM 与D 相切其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】根据抛
13、物线的解析式得出抛物线与 x 轴的交点 A.B 坐标，由抛物线的对称性即可判定；求得D 的直径 AB 的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定，过点 C 作 CEAB，交抛物线于 E，如果 CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；求得直线 CM、直线 CD 的解析式通过它们的斜率进行判定【解答】解：在 y= （x+2） （x8）中，当 y=0 时，x=2 或 x=8，点 A（2，0） 、B（8，0） ，抛物线的对称轴为 x= =3，故正确；D 的直径为 8（2）=10，即半径为 5，D 的面积为 25，故错误；在 y= （x+2） （x8）= x2 x4 中，当 x=
14、0 时 y=4，点 C（0，4） ，7当 y=4 时， x2 x4=4，解得：x 1=0、x 2=6，所以点 E（6，4） ，则 CE=6，AD=3（2）=5，ADCE，四边形 ACED 不是平行四边形，故错误；y= x2 x4= （x3） 2 ，点 M（3， ） ，设直线 CM 解析式为 y=kx+b，将点 C（0，4） 、M（3， ）代入，得： ，解得： ，所以直线 CM 解析式为 y= x4；设直线 CD 解析式为 y=mx+n，将点 C（0，4） 、D（3，0）代入，得： ，解得： ，所以直线 CD 解析式为 y= x4，由 =1 知 CMCD 于点 C，直线 CM 与D 相切，故正确
15、；故选：B【点评】本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是掌握抛物线的顶点坐标的求法和对称轴，平行四边形的判定，点是在圆上还是在圆外的判定，切线的判定等11.（2018贵州遵义3 分）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，AB=5，BC=10，连接 AC.BD，以BD 为直径的圆交 AC 于点 E若 DE=3，则 AD 的长为（ ）8A5 B4 C3 D2【分析】先求出 AC，进而判断出ADFCAB，即可设 DF=x，AD= x，利用勾股定理求出 BD，再判断出DEFDBA，得出比例式建立方程即可得出结论【解答】解：如图，在 RtABC 中，AB=5，BC=10，AC=5过点
16、D 作 DFAC 于 F，AFD=CBA，ADBC，DAF=ACB，ADFCAB， ， ，设 DF=x，则 AD= x，在 RtABD 中，BD= = ，DEF=DBA，DFE=DAB=90，DEFDBA， ， ，x=2，AD= x=2 ，故选：D二、填空题91. （2018湖北随州3 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=5，BC=CD 且 BCAB，BD=8给出以下判断：AC 垂直平分 BD；四边形 ABCD 的面积 S=ACBD；顺次连接四边形 ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形；当 A，B，C，D 四点在同一个圆上时，该圆的半径为 ；将ABD 沿直线 BD 对折，点
17、A 落在点 E 处，连接 BE 并延长交 CD 于点 F，当 BFCD 时，点 F 到直线 AB的距离为 其中正确的是 （写出所有 正确判断的序号）【分析】依据 AB=AD=5，BC=CD，可得 AC 是线段 BD 的垂直平分线，故正确；依据四边形 ABCD 的面积 S=，故错误；依据 AC=BD，可得顺次连接四边形 ABCD 的四边中点得到的四边形是正方形，故正确；当 A，B，C，D 四点在同一个圆上时，设该圆的半径为 r，则 r2=（r3） 2+42，得 r= ，故正确；连接AF，设点 F 到直线 AB 的距离为 h，由折叠可得，四边形 ABED 是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=
18、DO=4，依据 SBDE= BDOE= BEDF，可得 DF= ，进而得出 GF= ，再根据 SABF =S 梯形 ABFDS ADF ，即可得到 h=，故错误【解答】解：在四边形 ABCD 中，AB=AD=5，BC=CD，AC 是线段 BD 的垂直平分线，故正确；四边形 ABCD 的面积 S= ，故错误；当 AC=BD 时，顺次连接四边形 ABCD 的四边中点得到的四边形是正方形，故正确；当 A，B，C，D 四点在同一个圆上时，设该圆的半径为 r，则r2=（r3） 2+42，得 r= ，故 正确；将ABD 沿直线 BD 对折，点 A 落在点 E 处，连接 BE 并延长交 CD 于点 F，如图
19、所示，连接 AF，设点 F 到直线 AB 的距离为 h，10由折叠可得，四边形 ABED 是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，AO=EO=3，S BDE = BDOE= BEDF，DF= = ，BFCD，BFAD，ADCD，GF= = ，S ABF =S 梯形 ABFDS ADF ， 5h= （5+5+ ） 5 ，解得 h= ，故错误；故答案为：【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是利用图形面积的和差关系进行计算2. （2018江苏宿迁3 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 （x0）与正比例函数 y=kx、 （
20、k1）的图象分别交于点 A.B，若AOB45，则AOB 的面积是_.【答案】2【分析】作 BDx 轴，ACy 轴，OHAB（如图） ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2 ， y 2） ，根据反比例函数 k 的几何意义得 x1y1=x2y2=2；将反比例函数分别与 y=kx，y= 联立，解得 x1= ，x 2= ，从而得 x1x2=2，所以y1=x2， y 2=x1， 根据 SAS 得ACOBDO，由全等三角形性质得 AO=BO，AOC=BOD，由垂直定义和已知11条件得AOC=BOD=AOH=BOH=22.5，根据 AAS 得ACOBDOAHOBHO，根据三角形面积公式得 SABO =SA
21、HO +SBHO =SACO +SBDO = x1y1+ x2y2= 2+ 2=2.【详解】如图：作 BDx 轴，ACy 轴，OHAB，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2 ， y 2） ，A.B 在反比例函数上，x 1y1=x2y2=2， ，解得：x 1= ，又 ，解得：x 2= ，x 1x2= =2，y 1=x2， y 2=x1，即 OC=OD，AC=BD，BDx 轴，ACy 轴，ACO=BDO=90，ACOBDO（SAS） ，AO=BO，AOC=BOD，又AOB45，OHAB，AOC=BOD=AOH=BOH=22.5，ACOBDOAHOBHO，S ABO =SAHO +SBHO =SA
22、CO +SBDO = x1y1+ x2y2= 2+ 2=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质等，正确添加辅助线是解题的关键.3.（2018江苏宿迁3 分）如图，将含有 30角的直角三角板 ABC 放入平面直角坐标系，顶点 A，B 分别落在 x、y 轴的正半轴上，OAB60，点 A 的坐标为（1，0） ，将三角板 ABC 沿 x 轴向右作无滑动的滚动（先绕点 A 按顺时针方向旋转 60，再绕点 C 按顺时针方向旋转 90，）当点 B 第一次落在 x 轴上时，则点 B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积是_.12【
23、答案】 + 【分析】在 RtAOB 中，由 A 点坐标得 OA=1，根据锐角三角形函数可得 AB=2，OB= ，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点 B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S=，计算即可得出答案.【详解】在 RtAOB 中，A（1，0） ，OA=1，又OAB60，cos60= ，AB=2，OB= ，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，点 B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S= = ，故答案为： .【点睛】本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质等，根据题意正确画出图形是解题的关键.4.（2018江苏无锡2 分）如图，已知XOY=60，点 A
24、 在边 OX 上，OA=2过点 A 作 ACOY 于点 C，以 AC为一边在XOY 内作等边三角形 ABC，点 P 是ABC 围成的区域（包括各边）内的一点，过点 P 作 PDOY交 OX 于点 D，作 PEOX 交 OY 于点 E设 OD=a，OE=b，则 a+2b 的取值范围是 2a+2b5 【分析】作辅助线，构建 30 度的直角三角形，先证明四边形 EODP 是平行四边形，得 EP=OD=a，在 RtHEP中，EPH=30，可得 EH 的长，计算 a+2b=2OH，确认 OH 最大和最小值的位置，可得结论【解答】解：过 P 作 PHOY 交于点 H，13PDOY，PEOX，四边形 EOD
25、P 是平行四边形，HEP=XOY=60，EP=OD=a，RtHEP 中，EPH=30，EH= EP= a，a+2b=2（ a+b）=2（EH+EO）=2OH，当 P 在 AC 边上时，H 与 C 重合，此时 OH 的最小值=OC= OA=1，即 a+2b 的最小值是 2；当 P 在点 B 时，OH 的最大值是：1+ = ，即（a+2b）的最大值是 5，2a+2b5【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形 30 度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认 a+2b 的最值就是确认 OH 最值的范围5.（2018江苏苏州3 分）如图，在 RtABC 中，B=90，AB=2 ，BC=
26、 将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90得到ABC，连接 BC，则 sinACB= 【分析】根据勾股定理求出 AC，过 C 作 CMAB于 M，过 A 作 ANCB于 N，求出 BM、CM，根据勾股定理求出 BC，根据三角形面积公式求出 AN，解直角三角形求出即可【解答】解：在 RtABC 中，由勾股定理得：AC= =5，过 C 作 CMAB于 M，过 A 作 ANCB于 N，根据旋转得出 AB=AB=2 ，BAB=90，即CMA=MAB=B=90，CM=AB=2 ， AM=BC= ， BM=2 = ，14在 RtBMC 中，由勾股定理得：BC= = =5，S ABC = = ，5AN=2
27、 2 ，解得：AN=4，sinACB= = ，故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键6.（2018江苏苏州3 分 ）如图，已知 AB=8，P 为线段 AB 上的一个动点，分别以 AP，PB 为边在 AB 的同侧作菱形 APCD 和菱形 PBFE，点 P，C，E 在一条直线上，DAP=60M，N 分别是对角线 AC，BE 的中点当点 P 在线段 AB 上移动时，点 M，N 之间的距离最短为 2 （结果留根号） 【分析】连接 PM、PN首先证明MPN=90设 PA=2a，则 PB=82a，PM=a，PN= （4a） ，构建二次函数，利
28、用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：连接 PM、PN四边形 APCD，四边形 PBFE 是菱形，DAP=60，APC=120，EPB=60，M，N 分别是对角线 AC，BE 的中点，CPM= APC=60，EPN= EPB=30，MPN=60+30=90，设 PA=2a，则 PB=82a，PM=a，PN= （4a） ，MN= = = ，a=3 时，MN 有最小值，最小值为 2 ，故答案为 2 【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理二次函数的性质等知识，解题 的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题7.（2018内蒙古包头市3 分）如图，在 RtACB 中，ACB=90，AC=B
29、C，D 是 AB 上的一个动点（不与点15A，B 重合） ，连接 CD，将 CD 绕点 C 顺时针旋转 90得到 CE，连接 DE，DE 与 AC 相交于点 F，连接 AE下列结论：ACEBCD；若BCD=25，则AED=65；DE 2=2CFCA；若 AB=3 ，AD=2BD，则 AF= 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）【分析】先判断出BCD=ACE，即可判断出正确；先求出BDC=110，进而得出AEC=110，即可判断出正确；先判断出CAE=CEF，进而得出CEFCAE，即可得出 CE2=CFAC，最后用勾股定理即可得出正确；先求出 BC=AC=3，再求出 BD= ，进而求出
30、CE=CD= ，求出 CF= ，即可判断出错误【解答】解：ACB=90，由旋转知，CD=CE，DCE=90=ACB，BCD=ACE，在BCD 和ACE 中， ，BCDACE，故正确；ACB=90，BC=AC，B=45BCD=25，BDC=1804525=110，BCDACE，AEC=BDC=110，DCE=90，CD=CE，CED=45，则AED=AECCED=65，故正确；16BCDACE，CAE=CBD=45=CEF，ECF=ACE，CEFCAE， ，CE 2=CFAC，在等腰直角三角形 CDE 中，DE 2=2CE2=2CFAC，故正确；如图，过点 D 作 DGBC 于 G，AB=3 ，
31、AC=BC=3，AD=2BD，BD= AB= ，DG=BG=1，CG=BCBG=31=2，在 RtCDG 中，根据勾股定理得，CD= = ，BCDACE，CE= ，CE 2=CFAC，CF= = ，AF=ACCF=3 = ，故错误，故答案为：【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出BCDACE 是解本题的关键题8. （2018遂宁4 分）如图，已知抛物线 y=ax24x+c（a0）与反比例函数 y= 的图象相交于点 B，且 B17点的横坐标为 3，抛物线与 y 轴交于点 C（0，6） ，A 是抛物线
32、 y=ax24x+c 的顶点，P 点是 x 轴上一动点，当 PA+PB 最小时，P 点的坐标为 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点 B 的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A 的坐标，进而求得 A的坐标，从而可以求得直线 AB 的函数解析式，进而求得与 x 轴的交点，从而可以解答本题【解答】解：作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 AB，则 AB 与 x 轴的交点即为所求，抛物线 y=ax24x+c（a0）与反比例函数 y= 的图象相交于点 B，且 B 点的横坐标为 3，抛物线与 y 轴交于点 C（0，6） ，点 B（3，3） ， ，解得， ，y=x 24x+6=（x2
33、） 2+2，点 A 的坐标为（2，2） ，点 A的坐标为（2，2） ，设过点 A（2，2）和点 B（3，3）的直线解析式为 y=mx+n，得 ，直线 AB 的函数解析式为 y=5x12，令 y=0，则 0=5x12 得 x= ，故答案为：（ ，0） 18【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答9. （2018广西桂林3 分） 如图，矩形 OABC 的边 AB 与 x 轴交于点 D，与反比例函数 (k0)在第一象限的图像交于点 E，AOD=30，点 E 的纵坐标
34、为 1，ODE 的面积是 ，则 k 的值是_【答案】 【解析】分析：过 E 作 EFx 轴，垂足为 F，则 EF=1，易求DEF=30，从而 DE= ，根据 ODE 的面积是求出 OD= ，从而 OF=3 ，所以 k=3 . 详解：如图，过点 E 作 EFx 轴，垂足为点 F，点 E 的纵坐标为 1，EF=1，19ODE 的面积是 ，OD= ，四边形 OABC 是矩形，且AOD=30,DEF=30, DF=OF=3 ，所以点 E 的坐标为（ 3 ，1） ，把点 E 的坐标代入反比例函数的解析式，可得 k=3 .故答案为 3 .点睛：本题是正方形和反比例函数的综合试题，解题过程中涉及解直角三角形
35、，确定反比例函数的解析式等，确定点 E 的坐标是解题关键.10.（2018贵州黔西南州3 分）如图，已知在ABC 中，BC 边上的高 AD 与 AC 边上的高 BE 交于点 F，且BAC=45，BD=6，CD=4，则ABC 的面积为 60 【分析】首先证明AEFBEC，推出 AF=BC=10，设 DF=x由ADCBDF，推出 = ，构建方程求出 x 即可解决问题；【解答】解：ADBC，BEAC，AEF=BEC=BDF=90，BAC=45，AE=EB，EAF+C=90，CBE+C=90，EAF=CBE，AEFBEC，AF=BC=10，设 DF=xADCBDF， = ， = ，整理得 x2+10x
36、24=0，20解得 x=2 或12（舍弃） ，AD=AF+DF=12，S ABC = BCAD= 1012=60故答案为 60【点评】 本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型11.（2018海南4 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（20，0） ，点 B 的坐标是（16，0） ，点C.D 在以 OA 为直径的半圆 M 上，且四边形 OCDB 是平行四边形，则点 C 的坐标为 （2，6） 【分析】过点 M 作 MFCD 于点 F，则 CF= CD=8，过点 C 作 CEOA 于
37、点 E，由勾股定理可求得 MF 的长，从而得出 OE 的长，然后写出点 C 的坐标【解答】解：四边形 OCDB 是平行四边形，B（16，0） ，CDOA，CD=OB=16，过点 M 作 MFCD 于点 F，则 CF= CD=8，过点 C 作 CEOA 于点 E，A（20，0） ，OE=OMME=OMCF=108=2连接 MC，则 MC= OA=10，在 RtCMF 中，由勾股定理得 MF= =6点 C 的坐标为（2，6）故答案为：（2，6） 【点评】本题考查了勾股定理、垂径定理以及平行四边形的性质，正确作出辅助线构造出直角三角形是解21题关键三.解答题1. （2018湖南郴州8 分）已知 BC
38、 是O 的直径，点 D 是 BC 延长线上一点，AB=AD，AE 是O 的弦，AEC=30（1）求证：直线 AD 是O 的切线；（2）若 AEBC，垂足为 M，O 的半径为 4，求 AE 的长【分析】 （1）先求出ABC=30，进而求出BAD=120，即可求出OAB=30，结论得证；（2）先求出AOC=60，用三角函数求出 AM，再用垂径定理即可得出结论【解答】解：（1）如图，AEC=30，ABC=30，AB=AD，D=ABC=30，根据三角形的内角和定理得，BAD=120，连接 OA，OA=OB，OAB=ABC=30，OAD=BADOAB=90，OAAD，点 A 在O 上，直线 AD 是O
39、的切线；（2）连接 OA，AEC=30，AOC=60，BCAE 于 M，AE=2AM，OMA=90，22在 RtAOM 中，AM=OAsinAOM=4sin60=2 ，AE=2AM=4 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理，求出AOC=60是解本题的关键2. （12.00 分）在矩形 ABCD 中，ADAB，点 P 是 CD 边上的任意一点（不含 C，D 两端点） ，过点 P 作PFBC，交对角线 BD 于点 F（1）如图 1，将PDF 沿对角线 BD 翻折得到QDF，QF 交 AD 于点 E求证：DEF 是等腰三角形；（2）
40、如图 2，将PDF 绕点 D 逆时针方向旋转得到PDF，连接 PC，FB设旋转角为 （0180） 若 0BDC，即 DF在BDC 的内部时，求证：DPCDFB如图 3，若点 P 是 CD 的中点，DF B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时 tanDBF的值，如果不能，请说明理由【分析】 （1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知DFQ=ADF，所以DEF 是等腰三角形；（2）由于 PFBC，所以DPFDCB，从而易证DPFDCB；由于DFB 是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论【解答】解：（1）由翻折可知：DFP=DFQ，PFBC，DFP=ADF，DFQ=
41、ADF，DEF 是等腰三角形，23（2）若 0BDC，即 DF在BDC 的内部时，PDF=PDF，PDFFDC=PDFFDC，PDC=FDB，由旋转 的性质可知：DPFDPF，PFBC，DPFDCB，DPFDCB ，DPCDFB当FDB=90时，如图所示，DF=DF= BD， = ，tanDBF= = ，当DBF=90，此时 DF是斜边，即 DFDB，不符合题意，当DFB=90时，如图所示，DF=DF= BD，DBF=30，tanDBF=24【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识3. （20
42、18湖南怀化12 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC点 E 为 CD 边上一点，AE 与 BE 分别为DAB 和CBA 的平分线（1）请你添加一个适当的条件 AD=BC ，使得四边形 ABCD 是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 O，并以 AB 为直径作O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ；（3）在（2）的条件下，O 交边 AD 于点 F，连接 BF，交 AE 于点 G，若 AE=4，sinAGF= ，求O 的半径【分析】 （1）添加条件 AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相应的图形，如图
43、所示；（3）由平行四边形的对边平行得到 AD 与 BC 平行，可得同旁内角互补，再由 AE 与 BE 为角平分线，可得出AE 与 BE 垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到 AF 与 FB 垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到AGF=AEB，根据 sinAGF 的值，确定出 sinAEB 的值，求出 AB 的长，即可确定出圆的半径【解答】解：（1）当 AD=BC 时，四边形 ABCD 是平行四边形，理由为：证明：ADBC，AD=BC，四边形 ABCD 为平行四边形；故答案为：AD=BC；25（2）作出相应的图形，如图所示；（3）ADBC，DAB+CBA=180，AE 与 B
44、E 分别为DAB 与CBA 的平分线，EAB+EBA=90，AEB=90，AB 为圆 O 的直径，点 F 在圆 O 上，AFB=90，FAG+FGA=90，AE 平分DAB，FAG=EAB，AGF=ABE，sinABE=sinAGF= = ，AE=4，AB=5，则圆 O 的半径为 2.5【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键4.（2018江苏苏州10 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为D，CE 垂直 AB，垂足为 E延长 DA 交O
45、于点 F，连接 FC，FC 与 AB 相交于点 G，连接 OC（1）求证：CD=CE；（2）若 AE=GE，求证：CEO 是等腰直角三角形26【分析】 （1）连接 AC，根据切线的性质和已知得：ADOC，得DAC=ACO，根据 AAS 证明CDACEA（AAS） ，可得结论；（2）介绍两种证法：证法一：根据CDACEA，得DCA=ECA，由等腰三角形三线合一得：F=ACE=DCA=ECG，在直角三角形中得：F=DCA=ACE=ECG=22.5，可得结论；证法二：设F=x，则AOC=2F=2x，根据平角的定义得：DAC+EAC+OAF=180，则 3x+3x+2x=180，可得结论【解答】证明：（1）连接 AC，CD 是O 的切线，OCCD，ADCD，DCO=D=90，ADOC，DAC=ACO，OC=OA，CAO=ACO，DAC=CAO，CEA
