1、1压轴小题抢分练(二)压轴小题集训练,练就能力和速度,筑牢高考满分根基!一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f(x),且 f(x)+f(x)1,f(1)=0,则不等式 f(x)-1+ 0 的解集是 ( )A.(-,1 B.(-,0C.0,+) D.1,+)【解析】选 A.令 g(x)=ex-1f(x)-ex-1+1,则:g(x)=e x-1(f(x)+f(x)-1),由题意可知:g(x)0,则函数 g(x)在 R 上单调递增,且 g(1)=10-1+1=0,不等式
2、f(x)-1+ 0 即 ex-1f(x)-ex-1+10,即:g(x)g(1),结合函数的单调性可得不等式的解集为:x|x1.2.已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e,过点 F1的直2222线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点,若 =0,且F 1AF2 =150,则 e2=( )A.7-2 B.7- C.7+ D.7+2【解析】选 A.如图:因为 =0,所以 ABBF 2,F 1BF2=90,2因为F 1AF2=150,所以BAF 2=30,设 BF2=x,则 AF2=2x,AB= x,由双曲线定义可得:F 1A+AB-BF2
3、=2a,所以 F1A=2a+x- x,AF2-AF1=2a,F1A=2x-2a,故 2x-2a=2a+x- x,解得 x=2( -1)a,则 F1B=2 a,在 RtF 1BF2中,由勾股定理可得F1B2+B =F1 ,即(2 a)2+2( -1)a2=(2c)2,得(7-2 )a2=c2 ,所以 e2=7-2 .3.若关于 x 的不等式 x(1+ln x)+2kkx 的解集为 A,且(2,+)A,则整数 k 的最大值是 ( )A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选 B.关于 x 的不等式 x(1+ln x)+2kkx 的解集为 A,且(2,+)A,所以当 x2 时,x(1+ln x)k(x
4、-2)恒成立,即 k2.-4-2(-2)2令 (x)=x-4-2ln x,(x)=1- 0,所以 (x)在(2,+)上单调递增,因为 (8)=4-2ln 80,方程 (x)=0 在(2,+)上存在唯一实根 x0,且满足 x0(8,9).则 (x 0)=x0-4-2ln x0=0,即 x0-4=2ln x0.当 x(2,x 0)时,(x)0,h(x)0.故 h(x)在(2,x 0)上单调递减,在(x 0,+)上单调递增.故 h(x)的最小值为 h(x0)=3= = .0(1+ 0)0-2 02 (4,92)所以整数 k 的最大值为 4.4.函数 f(x)= ln x+x2-bx+a(b0,aR)
5、的图象在点(b,f(b)处的切线的倾斜角为 ,则倾14斜角 的取值范围是 ( )A. B.(4,2) 4,2)C. D.34,) (34,)【解析】选 B.依题意得 f(x)= +2x-b,f(b)= +b2 =1(b0),当且仅当=b0,即 b= 时取等号,因此有 tan 1, 0,b0)的左、右两个焦点分别为 F1,F2,以线段 F1F2为直径的圆2222与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M,若|MF 1|-|MF2|=2b,该双曲线的离心率为 e,则 e2=( )A.2 B.3 C. D.5+12【解析】选 D.以线段 F1F2 为直径的圆方程为 x2+y2=c2,双曲线经过第一象限的
6、渐近线方程为 y= x ,联立方程 求得 M(a,b) ,因为|MF 1|-|MF2|=2b0,b0)上,2222所以 - =1 - =1,2222 22-22-22化简得 e4-e2-1=0 ,由求根公式有 e2= (负值舍去).5+127.已知函数 f(x)=2ln x,g(x)=a-x2 -ex- ,其中 e 为自然对数的底数.若总可以在f(x)图象上找到一点 P,在 g(x)图象上找到一点 Q,使得 P,Q 关于原点对称,则实数 a 的取值范围是 ( )A. B.1,e2-21,12+2C. D.e2-2,+)12+2,2-2【解析】选 B.由题意,若总可以在 f(x)图象上找到一点
7、P,在 g(x)图象上找到一点 Q,使得 P,Q 关于原点对称,则函数 f(x)=2ln x 和函数 y=x2-a 有公共点,(1)即方程 2ln x=x2-a 有解,(1)即 a=x2-2ln x 有解.(1)令 y=x2-2ln x ,(1)则 y=2 ,(-1)6当 x0,函数为增函数,故当 x=1 时,函数取最小值为 1,当 x=e 时,函数取最大值为 e2-2,故实数 a 的取值范围是1,e 2-2.8.设 f(x)=ex(x2+2x),令 f1(x)=f(x),f n+1(x)=fn(x),若 fn(x)=ex(Anx2+Bnx+Cn),且数列的前 n 项和为 Sn,则当|S n-
8、1| 时,n 的最小整数值为 ( )A.2 017 B.2 018 C.2 019 D.2 020【解析】选 A.由题意得f1(x)=(2x+2)ex+(x2+2x)ex=(x2+4x+2)ex,f2(x)=(2x+4)ex+(x2+4x+2)ex=(x2+6x+6)ex,f3(x)=(2x+6)ex+(x2+6x+6)ex=(x2+8x+12)ex,由此可得 C1=2,C2=6,C3=12,故可归纳得 Cn=n(n+1),所以 = = - ,1 1(+1) 1+1所以 Sn= + + =1- ,(1-12)(12-13) (1- 1+1) 1+1由题意得|S n-1|= ,所以 ,1+1 1
9、+1解得 n2 017.所以 n 的最小整数值为 2 017.9.已知偶函数 f(x)满足 f(4+x)=f(4-x),且当 x(0,4时,f(x)= ,关于 x 的不等式(2)f2(x)+af(x)0 在区间-200,200上有且只有 300 个整数解,则实数 a 的取值范围是 ( )A. B.(-2,-136) (-2,-1367C. D.(-136,-324) (-136,-324【解析】选 D.因为偶函数 f(x)满足 f(4+x)=f(4-x),所以 f(x+4)=f(4-x)=f(x-4),所以 f(x)的周期为 8,且 f(x)的图象关于直线 x=4 对称,由于-200,200上
10、含有 50 个周期,且 f(x)在每个周期内都是轴对称图形,所以只需满足关于 x 的不等式 f2(x)+af(x)0 在(0,4上有 3 个正整数解即可.当 x(0,4时,f(x)= ,所以 f(x)在 上单调递增,在 上单调递减,因为 f(1)=ln 2, f(2)f(3)f(4)= ln 20,84 34所以当 x=k(k=1,2,3,4)时,f(x)0,所以当 a0 时,f 2(x)+af(x)0 在(0,4上有 4 个正整数,不符合题意,所以 a0 可得 f(x)-a,显然 f(x)-a 在(0,4上有 3 个正整数解,分别为 1,2,3,所以-af(4)= ln 2,-a0,b0)的
11、左右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),双曲线 C 上存2222在一点 P,使得 = ,则双曲线 C 的离心率的取值范围是( )12218A.(1,1+ ) B.(1,1+ )3C.(1, ) D.(1, )【解析】选 A.不妨设点 P 在双曲线的右支上,在PF 1F2中,由正弦定理得= ,|1|21|2|12所以 = = ,1221|2|1|所以 = ,|2|1|-|2| -所以 = ,-所以|PF 2|= ,22-又|PF 2|c-a,所以 c-a,22-所以 c2-2ac-a20,b0,a2+b2=1,9不妨设 a=cos ,b=sin ,(00),若方程 f(f(x)=x 恰
12、好有两个实数解,则实数 a 的取22值范围是( )A.(0,1) B.(e,+)C. D.(22,+) (32,+)【解析】选 D.因为函数 f(x)在(0,+)内单调递增,所以要使方程 f(f(x)=x 恰好有两个实数解,只需满足函数 y=f(x)与 y=x 恰有两个交点,所以 aln x- =x 有两个实数解.令 g(x)22=aln x- -x,因为 g(x)= + -1=- ,当 00,22 222 (+)(-2)2当 x2a 时,g(x)0,即可保证函数 g(x)有两个零点,由 g(2a)=aln(2a)-a-2a0,得 a .32二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共
13、20 分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知定义在 R 上的函数 f(x) 满足:f(1+x)=f(1-x) ,在1,+) 上为增函数;若x 时,f(ax)f(x-1) 成立,则实数 a 的取值范围为_. 12,1【解析】因为函数 f(x)满足,f(1+x)=f(1-x) ,在1,+) 上为增函数;若 x 时,f(ax)f(x-1) 成立,12,1所以 f(x)关于 x=1 对称,所以当自变量距离对称轴 x=1 越近,函数值越小,因为 f(ax)f(x-1),所以|ax-1|(x-1)-1|,即|ax-1|x-2|,设 g(x)=|ax-1|,h(x)=|x-2|,要使 x 时,|ax-1
14、|x-2|,12,1则 x 时,y=g(x)的图象在 y=h(x)的图象下方,画出 y=g(x)与 y=h(x)的图象如图,12,1由图可知,有(12)(12),(1)(1),即 ,|12-1|32|-1|111-3212-132,-1-11,解得 0a2,即 0a2 时,|ax-1|x-2|恒成立,即 f(ax)f(x-1)恒成立.实数 a 的取值范围为(0,2).答案:(0,2)14.在平面四边形 ABCD 中,A=60,ADDC,AB= ,BD=2,则 BC 的最小长度为_. 【解析】如图所示,建立平面直角坐标系,其中 A(0,0),B( ,0),则点 D 为直线 y= x 与圆(x-
15、)2+y2=4 的交点,作 DEAD,则点 C 在射线 DE 上.当 BCDE 时,BC 取得最小值.在ABD 中,由正弦定理,得 = ,解得 sinADB= ,34故 cosCDB= ,34sinCDB= = ,1-212BC 取得最小值时:BC=BDsinCDB= .综上可得:BC 的最小长度为 .答案:15.设等差数列a n的公差为 d,前 n 项的和为 Sn,若数列 也是公差为 d 的等差数列,则 an=_. 【解析】等差数列a n的公差为 d,前 n 项和为 Sn,若数列 也是公差为 d 的等差数列,+所以 = +(n-1)d,+所以 na1+ d+n=a1+1+(n-1)2d2+2 (n-1)d,n1 时,化为 a1+ +12=(n-1)d2+2 d,n=2 时,a 1+d+1=d2+2 d,n=3 时,a 1+ d+1=2d2+2 d,32联立解得:所以 an=-1 或 an=- +(n-1) = n- .34 12125413答案:-1 或 n-125416.设不等式组 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离小于 2 的概率是_. 【解析】区域 D 表示矩形,面积为 3,到坐标原点的距离小于 2 的点位于以原点 O 为圆心,半径为 2 的圆内,图中阴影部分的面积为 1 + 4= + ,故所求概率为 .12 3答案:
