1、1高考大题标准练(三)满分 60 分,实战模拟,60 分钟拿到高考主观题高分!1.在锐角三角形 ABC 中,A,B,C 为三个内角,且 sin 2A= sin .3 (2+)(1)求角 A 的大小.(2)求 sin B+sin C 的取值范围.【解析】(1)因为 sin 2A= sin ,3 (2+)所以 2sin Acos A= cos A,即(2sin A- )cos A=0,3又在锐角三角形 ABC 中,A ,故 cos A0,所以 sin A= ,所以 A= .(2)因为 A+B+C=,所以 sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),所以 sin B+sin C=sin +si
2、n C= cos C+ sin C= sin .(3+) 3 (+6)因为在锐角三角形 ABC 中,A= ,3所以 B+C= ,B= -C,23 23所以 故 |= = ,|-|22+112得 a=1,从而 2a=2.所以棱 PC 的长为 2.3.近年来,双十一购物狂欢节(简称“双 11”)活动已成为中国电子商务行业年度盛事,某网络商家为制定 2018 年“双 11”活动营销策略,调查了 2017 年“双 11”活动期间每位网购客户用于网购的时间 T(单位:小时),发现 T 近似服从正态分布 N(2,0.49).(1)求 P(T1.3)的估计值.(2)该商家随机抽取参与 2017 年“双 11
3、”活动的 10 000 名网购客户,这 10 000 名客户在2017 年“双 11”活动期间,用于网购时间 T 属于区间(2,3.4)的客户数为 X.该商家计划在2018 年“双 11”活动前对这 X 名客户发送广告,所发广告的费用为每位客户 0.05 元.求该商家所发广告总费用的平均估计值;求使 P(X=k)取最大值时的整数 k 的值.附:若随机变量 Z 服从正态分布 ZN(, 2),则 P(-1.3)=P(T-)0.49= = 0.8414.1+(-b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,且离心率为 ,点 M 为椭圆上一2222 12动点,F 1MF2面积的最大值为 .(1)求椭圆 C 的
4、标准方程. (2)设 A,B 分别为椭圆的左右顶点,过点 B 作 x 轴的垂线 l1,D 为 l1上异于点 B 的一点,以 BD为直径作圆 E.若过点 F2的直线 l2(异于 x 轴)与圆 E 相切于点 H,且 l2与直线 AD 相交于点 P,试判断|PF 1|+|PH|是否为定值,并说明理由.【解析】(1)由题意可知解得 a=2,b= ,3所以椭圆 C 的方程为 + =1.2423(2)由(1)可知 A(-2,0),B(2,0),F2(1,0),因为过 F2与圆 E 相切的直线分别切于 B,H 两点,所以|F 2H|=|F2B|=1,所以|PF 1|+|PH|=|PF1|+|PF2|-|F2
5、H|=|PF1|+|PF2|-1.设点 E(2,t)(t0),则 D(2,2t),圆 E 的半径为|t|,5则直线 AD 的方程为 y= (x+2),l2的方程设为 x=ky+1,则 =|t|,化简得 k= .由 得=2(+2),=1-22+1所以点 P ,因为 + = =1,( 63+2)234+62+9(3+2)2所以点 P 在椭圆 C 上,所以|PF 1|+|PF2|=4,即|PF 1|+|PH|=4-1=3.5.已知函数 p(x)= ,q(x)= ax2-(1+a2)x. 12(1)讨论函数 f(x)=q(x)+axp(x)的单调性.(2)是否存在 kZ,使得 kxp(x)+2 对任意
6、 x0 恒成立?若存在,求出 k 的最小值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知得 f(x)=q(x)+axp(x)= ax2-(1+a2)x+aln x,f(x)的定义域为(0,+),126则 f(x)=ax-(1+a 2)+ = ,当 a0 时,x-a0, 0,ax-10 时,令 f(x)=0,得 x= 或 x=a,()当 =a(a0),即 a=1 时,所以 f(x)= 0(x0),(-1)2所以函数 f(x)在(0,+)上单调递增;()当 01 时,在 和(a,+)上函数 f(x)0,在 上函数(1,)f(x)0,在 上函数(1,+) (,1)f(x)p(x)+2 对任意 x0 恒
7、成立,则 k + ,2记 g(x)= + ,只需 kg(x)max.27又 g(x)= - = ,22记 h(x)=1-2x-2ln x,则 h(x)=-2- 0,12 34所以存在唯一的 x0 ,使得 h(x0)=0,(34,1)即 1-2x0-2ln x0=0,当 x0 时,h(x),g(x),g(x)的变化情况如表:x (0,x0) x0 (x0,+)h(x) + 0 -g(x) + 0 -g(x) 极大值 所以 g(x)max=g(x0)= ,又因为 1-2x0-2ln x0=0,所以 2x0+2ln x0=1,所以 g(x0)= =(20+2 0)+20220= + ,12(10)2
8、10因为 x0 ,所以 ,(34,1) 10(1,43)8所以 g(x)max,即 kg(x0),且 kZ,故 k 的最小整数值为 3,所以存在最小整数 k=3,使得 kxp(x)+2 对任意 x0 恒成立.6.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 cos 2=2asin (a0),过点 P(-1,-2)的直线 l 的参数方程为(t 为参数), l 与 C 交于 A,B 两点.=-1+22=-2+22(1) 求 C 的直角坐标方程和 l 的普通方程.(2) 若|PA|,|AB|,|PB|成等比数列,求 a 的值.【解析】(1)由
9、cos 2=2asin ,两边同乘 ,得 2cos2=2asin ,所以 C 的直角坐标方程为 x2=2ay(a0).将 消去参数 t,=-1+22=-2+22得直线 l 的普通方程为 x-y-1=0.(2)把 代入 x2=2ay,=-1+22=-2+22整理得 t2-2 (1+a)t+8a+2=0.所以 t1+t2=2 (1+a),t1t2=8a+2,由 =8(1+a) 2 -4(8a+2)0,得 a2 或 a0,所以 a 2,所以 t1t2=8a+20.因为|PA|,|AB|,|PB|成等比数列,所以|AB| 2=|PA|PB|由 t 的几何意义得(t 1-t2)2=|t1t2|=t1t2,即(t 1+t2)2=5t1t2 .所以2 (1+a)2=5(8a+2),即 4a2-12a-1=0,解得 a= .又 a2,所以 a= .7.设函数 f(x)=|2x+1|+|x-a|(a0).(1)当 a=2 时,求不等式 f(x)8 的解集.(2)若 xR,使得 f(x) 成立,求实数 a 的取值范围.32【解析】(1)当 a=2 时,f(x)8 |2x+1|+|x-2|8 或 或2,3-18, -128, -12,-3+18,x3 或 x或 x0,12 32所以实数 a 的取值范围为(0,1.
