1、第六讲 解填空题的4种方法,方法一 直接法,【典例1】(1)(2018全国卷I)记Sn为数列 的前n 项和.若Sn=2an+1,则S6=_. 世纪金榜导学号 (2)(2018全国卷II)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的 切线方程为_.,【解析】(1)依题意, 作差得an+1=2an, 所以数列an是公比为2的等比数列, 又因为a1=S1=2a1+1, 所以a1=-1,所以an=-2n-1, 所以 答案:-63,(2) 所以切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x. 答案:y=2x,【方法点睛】直接法是解决计算型填空题最常用的方法,在计算过程中,我们要根据题目的要求灵活处理,多角度思
2、考问题,注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用,将计算过程简化从而得到结果,这是快速准确地求解填空题的关键.,【跟踪训练】 1.设数列an为等比数列,其中a4=2,a5=5,阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出结果s为_.,【解析】该程序框图的功能是计算并输出s=lg a1+ lg a2+lg a8的值. 由于数列an为等比数列,其中a4=2,a5=5, 所以公比q= ,首项a1= ,所以s=lg a1+lg a2+lg a8=lg q1+2+7= 8lg +28lg =8(lg 16-lg 125)+28(lg 5- lg 2)=4lg 2+4lg 5=4. 答案:4,方法二 特殊值
3、法,【典例2】(1)如图所示,在平行四边形ABCD中,APBD, 垂足为点P,若AP=3,则 =_.,(2)(2018温州模拟)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=_.,【解析】 (1)把平行四边形ABCD看成正方形, 则点P为对角线的交点,AC=6,则 =18. 答案:18,(2)由题意知,函数f(x)的定义域为R, 又因为函数为偶函数,所以 解得a=- ,将a=- 代入原函数, 检验知f(x)是偶函数,故a=- . 答案:-,【方法点睛】运用特殊值法的注意事项 (1)注意观察题目条件是否为一般成立,结果是否唯一. (2)注意多取几个值验证.,【跟踪训练】 2.若函数f(x)
4、=sin 2x+acos 2x的图象关于直线x= - 对称,则a=_. 世纪金榜导学号,【解析】由题意,对任意的xR,答案:-1,方法三 图解法(数形结合法),【典例3】(1)已知当x0,1时,函数y=(mx-1)2的图 象与y= +m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取 值范围是_. (2)(2018全国卷I)已知函数 =2sin x+sin 2x,则的最小值是_.,【解析】(1)函数y=(mx-1)2 的图象的对称轴为x= , 当 1,即0m1时,作出函数y=(mx-1)2与y= +m 的图象,如图,则二者只有一个交点;,当 1时,作出函数y=(mx-1)2与y= +m的图 象,如图所示
5、,要使二者只有一个交点,则需y= +m在x=1时的值小于 等于y=(mx-1)2的值,即m+1(m-1)2,解得m3,综上正 实数m的取值范围是(0,13,+).,答案:(0,13,+) (2)如图,设A(-1,0), B(cos x,sin x), C(cos x,-sin x), D(cos x,0).,因为在单位圆里,等边三角形的面积最大, 则有 所以 即f(x)的最小值为 答案:,【方法点睛】图解法实质上就是数形结合的思想方法,在解决填空题中的应用时,利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论,这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之
6、间的对应关系,利用几何图形中的相关结论求出结果.,【跟踪训练】 3.已知O为ABC的外心,AB=4,AC=2,BAC=120.若=1 +2 ,则21+2=_.,【解析】如图,以A为原点,以AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(-1, ),因为O为ABC的外心,所 以O在AB的中垂线m:x=2上,且在AC的中垂线n上.AC的中 点为 因为kAC=- ,所以直线n的斜率为kn= ,其方程为 把x=2代入 所以外心 因为 =1 +2 ,所以 所以21+2= 答案:3,方法四 构造法,【典例4】(1)如图,已知球O的球面上有四点A,B,C,D, DA平面ABC,ABB
7、C,DA=AB=BC= ,则球O的体积等 于_. 世纪金榜导学号,(2)已知f(x)为定义在(0,+)上的可导函数,且f(x)xf (x)恒成立,则不等式 的解集为_.,【解析】(1)如图,以DA,AB,BC为棱长构造正方体,设正方体的外接球球O的半径为R,则正方体的体对角线 长即为球O的直径,所以 所以R= ,故球O的体积 答案: ,(2)设 又因为f(x)xf(x), 所以 在(0,+)上恒成立, 所以函数g(x)= 为(0,+)上的减函数,又因为 则有 1. 答案:(1,+),【方法点睛】构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向,通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型,从而转化为自己熟悉的问题.(1)题巧妙地构造出正方体,而球的直径恰好为正方体的体对角线,问题很容易得到解决.,【跟踪训练】 4.已知 (aR),则f(-3)+ f(-2)+f(-1)+f(1)+f(2)+f(3)=_.,【解析】由题意得,所以函数g(x)为奇函数. 所以f(x)+f(-x)=2+g(x)+g(-x)=2, f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(1)+f(2)+f(3) =f(-3)+f(3)+f(-2)+f(2)+f(-1)+f(1)=6. 答案:6,
