1、1专题 6 选考真题引领洞悉考情1.(2018全国卷)在直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为 ( 为参数),直线 l的参数方程为 (t为参数).=1+,=2+,(1)求 C和 l的直角坐标方程.(2)若曲线 C截直线 l所得线段的中点坐标为(1,2),求 l的斜率.【解析】(1)曲线 C的直角坐标方程为 + =1.24当 cos 0 时, l的直角坐标方程为 y=tan x+2-tan ,当 cos =0 时, l的直角坐标方程为 x=1.(2)将 l的参数方程代入 C的直角坐标方程,整理得关于 t的方程(1+3cos2)t 2+4(2cos +sin )t-8=0.因为曲线 C截直线
2、l所得线段的中点(1,2)在 C内,所以有两个解,设为 t1,t2,则 t1+t2=0.又由得 t1+t2=- ,故 2cos +sin =0,于是直线 l的斜率k=tan =-2.2.(2017全国卷)已知 a0,b0,a3+b3=2,证明:(1)(a+b)(a 5+b5)4.(2)a+b2.【证明】(1)(a+b)(a 5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+ (a+b)=2+ ,3(+)34所以(a+b) 38,因此 a+b2.2
3、3.(2017全国卷)在直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为 =3,=( 为参数),直线 l的参数方程为 (t为参数).(1)若 a=-1,求 C与 l的交点坐标.(2)若 C上的点到 l的距离的最大值为 ,求 a.17【解题指南】本题主要考查参数方程及普通方程的互化.【解析】(1)a=-1 时,直线 l的方程为 x+4y-3=0.曲线 C的标准方程是 +y2=1,29联立方程 解得: 或=3,=0则 C与 l的交点坐标是 和 .(3,0) (-2125,2425)(2)直线 l一般式方程是 x+4y-4-a=0.设曲线 C上点 P .(3,)则 P到 l的距离 d= ,其中 tan =
4、 .|5(+)-4-|17 34依题意得:d max= ,解得 a=-16或 a=8.4.(2017全国卷)已知函数 f(x)=-x2+ax+4,g(x)=x+1+x-1.(1)当 a=1时,求不等式 f(x)g(x)的解集.(2)若不等式 f(x)g(x)的解集包含-1,1,求 a的取值范围.【解析】方法一:(1)当 a=1时,不等式 f(x)g(x)等价于 x2-x+|x+1|+|x-1|-40. 当 x1时,式化为 x2+x-40,从而 1x ,所以 f(x)g(x)的解集为 .-1, 17-12 (2)依题意得:-x 2+ax+42 在 恒成立.即 x2-ax-20 在 恒成立.则只需 解得-1a1. 12-1-20,(-1)2-(-1)-20,故 a取值范围是 .方法二:将函数 g(x)=|x+1|+|x-1|化简,可得 g(x)=(1)当 a=1时,作出函数图象可得 f(x)g(x)的范围在 F和 G点中间,联立可得点 F(-1,2).联立 可得点 G()=-2,()=-2+4,因此可得解集为 .( 17-12 , 17-1) -1, 17-12 (2)即 f(x)g(x)在-1,1内恒成立,故而可得-x 2+ax+42x 2-2ax 恒成立,根据图象可得:函数 y=ax必须在 l1,l2之间,故而可得-1a1.4
