1、第3课时 导数的简单应用与定积分,热点考向一导数的几何意义(切线问题) 考向剖析:本考向考题的形式主要是选择题与填空题,主要考查利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程,或应用切线的性质求参数值或求解某些问题等.2019年高考仍将以选择题、填空题的形式出现,考查切入点将会灵活多变.,1.(2018茂名一模)曲线y=ln(x+1)在点(1, ln 2)处 的切线方程为_. 【解析】因为y=ln(x+1), 所以y= ,所以 故所求的切线方程为y-ln 2= (x-1),即x-2y-1+ 2ln 2=0. 答案:x-2y-1+2ln 2=0,2.(2018东莞二调)设函数f(x)=x3+ax2,
2、若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为 ( ) A.(0,0) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1),【解析】选D.因为f(x)=x3+ax2,所以f(x)=3x2+2ax, 因为函数在点(x0,f(x0)处的切线方程为x+y=0, 所以3 +2ax0=-1, 因为x0+ +a =0,解得x0=1. 当x0=1时,f(x0)=-1, 当x0=-1时,f(x0)=1.,3.(2018开封一模)已知函数f(x)=ax3+bx+1的图象在点(1,f(1)处的切线方程为4x-y-1=0,则a+b=_.,【解析】函数f(x)=ax
3、3+bx+1的导数为f(x)=3ax2+b, f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为4x-y-1=0, 可得3a+b=4,f(1)=3=a+b+1, 解得a=1,b=1, 则a+b=2. 答案:2,4.(2018成都二模)已知函数f(x)为奇函数,当x0时,f(x)=x3-ln x,则曲线y=f(x)在点(-1,-1)处的切线的斜率为_.,【解析】因为当x0时,f(x)=x3-ln x, 所以当x0,f(-x)=-x3-ln(-x), 因为函数f(x)为奇函数, 所以f(x)=-f(-x)=x3+ln(-x),则f(x)=3x2+ ,所以f(-1)=2, 所以曲线y=f(x)在点(-1
4、,-1)处的切线的斜率为2. 答案:2,【易错提醒】注意复合函数的求导问题.,【加练备选】 函数f(x)的图象如图所示,下列数值排序正确的是( ),A.0f(3)-f(2)f(2)f(3) B.0f(2)f(3)f(3)-f(2) C.0f(3)f(3)-f(2)f(2) D.0f(3)f(2)f(3)-f(2),【解析】选C.观察图象可知,该函数在(2,3)上为连续可导的增函数,且增长得越来越慢. 所以各点处的导数在(2,3)上处处为正,且导数的值逐渐减小,所以f(2)f(3)0.,而f(3)-f(2)= ,表示连接点(2,f(2)与点 (3,f(3)割线的斜率,根据导数的几何意义,一定可以
5、 在(2,3)之间找到一点,该点处的切线与割线平行,则割 线的斜率就是该点处的切线的斜率,即该点处的导数, 则必有:0f(3) f(2). 所以C选项是正确的.,5.已知函数f(x)=ex在点(0,f(0)处的切线为l,动点 (a,b)在直线l上,则2a+2-b的最小值是 ( )世纪金榜导学号 A.4 B.2 C.2 D.,【解析】选D.由题得f(x)=ex,f(0)=e0=1,k=f(0)= e0=1. 所以切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0,所以a-b+1=0,所 以a-b=-1,所以2a+2-b (当且仅当a=- ,b= 时取等号).,【易错提醒】注意应用基本不等式的条件“一正、
6、二定、三相等”.,【名师点睛】与切线有关问题的处理策略 (1)已知切点A(x0,y0)求斜率k,即求该点处的导数值, k=f(x0). (2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1),即解方程f(x1) =k.,(3)求过某点M(x1,y1)的切线方程时,需设出切点A(x0, f(x0),则切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0),再把点 M(x1,y1)代入切线方程,求x0.,热点考向二导数与函数的基本问题 考向剖析:本考向考查的题型通常是选择题与填空题, 着重考查导数的意义、运算,利用导数研究函数的图 象、零点、性质等基本问题.2019年的高考仍将以小题 的形式出现,也不排除在大题中
7、作为一个小问题来考查.,1.设函数f(x)= -aln x,若f(2)=3,则实数a的值 为 ( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 【解析】选B.f(x)= ,故f(2)= =3,因 此a=-4.,2.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:,函数y=f(x)在区间 内单调递增; 函数y=f(x)在区间 内单调递减; 函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; 当x=2时,函数y=f(x)有极小值; 当x=- 时,函数y=f(x)有极大值.,则上述判断中正确的是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选D.当x(-3,-2)时,f(x)0,f(x)单调递增, 当x(
8、2,3)时,f(x)0,f(x)单调递减,错; 当x=2时,函数y=f(x)有极大值,错; 当x=- 时,函数y=f(x)无极值,错.故选D.,3.若幂函数f(x)的图象过点 ,则函数g(x)= exf(x)的单调递减区间为 ( ) A.(-,0) B.(-,-2) C.(-2,-1) D.(-2,0),【解析】选D.设幂函数f(x)=x,因为图象过点 , 所以 ,=2,所以f(x)=x2,故g(x)=exx2,令 g(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x)0,得-2x0,故函数单 调减区间为(-2,0),故选D.,4.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,
9、且x00,则a的取值范围是 ( ) 世纪金榜导学号 A.(2,+) B.(1,+) C.(-,-2) D.(-,-1),【解析】选C.显然a=0时,函数有两个不同的零点,不符 合.当a0时,由f(x)=3ax2-6x=0,得x1=0,x2= .当 a0时,函数f(x)在(-,0), 上单调递增,在上单调递减,又f(0)=1,所以函数f(x)存在小于0 的零点,不符合题意;当a0时,函数f(x)在 ,(0,+)上单调递减,在 上单调递增,所以只需 f 0,解得a-2,所以选C.,5.设定义在R上的函数y=f(x)的导函数为f(x).如果 存在x0a,b,使得f(b)-f(a)=f(x0)(b-a
10、)成立,则 称x0为函数f(x)在区间a,b上的“中值点”.那么函 数f(x)=x3-3x在区间-2,2上的“中值点”为_.,【解析】由f(x)=x3-3x求导可得f(x)=3x2-3,设x0为 函数f(x)在区间-2,2上的“中值点”,则f(x0)=1,即3 -3=1,解得x0= . 答案:,【名师点睛】利用导数研究函数零点的一般思路 (1)转化为可用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题. (2)函数图象在某点处切线的斜率的变化情况反映了函数图象在相应点处的变化情况.,热点考向三定积分与微积分基本定理 考向剖析:本考向考题形式为选择题与填空题,主要考查定积分的概念、
11、几何意义、微积分基本定理的含义及应用.2019年高考仍将以选择题、填空题形式出现,关注与几何概型等问题的结合考查.,1.计算定积分: exdx=_. 【解析】 =e-1. 答案:e-1,2. dx=_. 【解析】因为y= 表示以(0,0)为圆心,以2为半 径的半圆,故 dx=2, 所以 = +2=4+2. 答案:4+2,3.曲线y= 与直线y=x-1及x=4所围成的封闭图形的 面积为 ( ) A.2ln 2 B.2-ln 2 C.4-ln 2 D.4-2ln 2,【解析】选D.由曲线y= 与直线y=x-1联立,解求得在 第一象限的交点(2,1),如图所示,故所求图形的面积为 S=,【加练备选】
12、 (2018资阳二模)由曲线y=x2和直线y=1所围成的封闭图形面积为_.,【解析】联立方程组 解得 或 所以曲线y=x2与直线y=1围成的封闭图形的面积为S=答案:,4.已知函数f(x)=3x2+2x+1,若 f(x)dx=2f(a)(a0) 成立,则a=_.,【解析】因为 f(x)dx= (3x2+2x+1)dx =(x3+x2+x) =4, 所以2(3a2+2a+1)=4, 即3a2+2a-1=0, 解得a= 或a=-1(舍去),所以a= . 答案:,5.(2018长春二模)若向区域=(x,y)|0x1,0 y1内投点,则该点落在由直线y=x与曲线y= 围成 区域内的概率为 世纪金榜导学号( ),【解析】选B.由 解得 或 由直线 y=x与曲线y= 围成区域的面积为 ( -x)dx=,从而所求概率为 .,【名师点睛】利用定积分求平面图形面积的方法 (1)正确画出几何图形.(2)结合图形位置,准确确定积分区间以及被积函数,从而得到面积的积分表达式. (3)利用微积分基本定理求出积分值.,
