1、解答题双规范案例之 函数与导数问题,【重在“拆分”】函数与导数问题一般以函数为载体,以导数为工, 重点考查函数的一些性质,如含参函数的单调性、极值 或最值的探求与讨论,复杂函数零点的讨论,函数不等 式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点.对于这类综合问题,一般是先求导,再变形、分离或分解出基本函数,再根据题意处理.,【思维流程】,【典例】(12分)(2018全国卷II)已知函数f(x)= ex-ax2. (1)若a=1,证明:当x0时,f(x)1. (2)若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a.,切入点:构造新函数,利用导数判断其单调性进行证明. 关键点:
2、对函数f(x)求导,并构造函数,结合函数的单调性,确定函数零点情况,求a.,【标准答案】 【解析】(1)当a=1时,f(x)1等价于(x2+1)e-x-10. 设函数g(x)=(x2+1)e-x-1, 1分 则g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x. 2分 当x1时,g(x)0,所以g(x)在(0,1)和(1,+)上单 调递减. 3分,而g(0)=0,故当x0时,g(x)0,即f(x)1. 4分 (2)设函数h(x)=1-ax2e-x. f(x)在(0,+)上只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+) 上只有一个零点. (i)当a0时,h(x)0,h(x)没有零点; 5分 (
3、ii)当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x.,当x(0,2)时,h(x)0. 所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增. 故h(2)=1- 是h(x)在(0,+)上的最小值. 6分 若h(2)0,即a ,h(x)在(0,+)上没有零点; 7分,若h(2)=0,即a= ,h(x)在(0,+)上只有一个零点; 8分 若h(2) ,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)上有一个零点, 由(1)知,当x0时,exx2,所以h(4a)=1- =1- 1- = 1- 0. 10分 故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,+)有两 个零点. 综上,f(x)在(0,+)只有一个零点时,a= . 12分,【阅卷现场】 第(1)问踩点得分 构造函数 g(x)=(x2+1)e-x-1得1分. 正确求导得1分. 判断出g(x)在(0,1)和(1,+)上单调递减得1分.,得出结论得1分. 第(2)问踩点得分 判断出当a0时,h(x)没有零点得1分. 求出h(x)在(0,+)的最小值为h(2)得1分. 得出a ,h(x)在(0,+)没有零点得1分. 得出a= ,h(x)在(0,+)只有一个零点,得1分.,对h(2)0得2分. 判断出h(x)在(2,4a)有一个零点,并求出a的值得2分.,
