1、1专题 04 零点个数与参数范围通过函数的零点个数确定参数的范围是今年来选择题或者填空的压轴题的热门，题目本身难度不算很大，但是涉及到分类讨论，数形结合，整体，换元，利用导数分析函数的单调性，最值和极值等等数学思想及方法。【题型示例】1、已知函数，若关于 的函数 有 8 个不同的零点，则实数 的取值范围为.【答案】2、已知函数 .若函数 有 个零点，则实数 的取值范围是 .【答案】【解析】2令 ，当 时 有两个零点 ，需 ， ；当 时 有三个零点， ， ， 所以函数 有 个零点，舍；当 时，由于所以 ，且 ，所以 ，综上实数 的取值范围是 .3、函数 是 上的偶函数， 恒有 ，且当 时， ，若
2、 在区间 上恰有 个零点 ， 则 的取值范围是 【答案】【解析】对于任意的 ,都有 ，当 时，易得： ，又函数 是 上的偶函数，易得： ，故函数 是一个周期函数，且又当 时, ,且函数 是定义在 上的偶函数，故函数 在区间 上的图象如下图所示：3若在区间 内关于 的方程 恰有 3 个不 同的实数解则 ，解得： ，即 的取值范围是 ；故答案为： .4、已知函数 ，若函数 有四个不同的零点，则实数 的取值范围是 .【答案】【专题练习】1、设定义域为 的函数 ，若关于 的函数 有 8 个不同的零点，则实数 的取值范围是 【答案】【解析】令 ，则原函数等价为 。作出函数 的图象如图， 4图象可知当由
3、时，函数 有四个交点。要使关于 的函数 有 8 个不同的零点，则函数 在 上有两个不同的实 根，令 ，则由根的分布可得，整理得 ，解得 。所以实数 的取值范围是 。2、已知函数 若函数 的 图象与直线 有且仅有两 个交点，则实数 的取值范围为 【答案】【解析】函数 的图象与 直线 有且仅有两个交点，即方程 有且仅有两个不同的实数根作出函数 的图象如图所示.由图象可知，当 时，直线 与函数 的图象只有一个交点，要使直线 与函数 的图象有且仅有两个交点，则 ，即实数 的取值范围为53、已知 , 有 个零点，则实数 的取值范围是 【答案】【解析】由题意， 有两个零点，即函数 的图象与直线 有两个交点
4、，直线 过原点，又，因此一个交点为原点，又记 ， ， ，即 在原点处切线斜率大于，并随 的增大，斜率减小趋向于 0，可知 的图象与直线 在 还有一个交点，因此 没有负实数根所以 4、已知函数 有零点，则 的取值范围是 .【答案】5、已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D.6【答案】A【解析】当 时， ，方程有两解，不符合题意，舍去；当 时，解得 或 ，则函数 在区间单调递增；在区间 上单调递减，因为 ， 而，所以存在 ，使得 ，不符合题意 存在唯一的零点 ，且 ，舍去；当 时， ，解得 或 ，则函数在区间 单调递减；在区间 上单调递增，而，所以存在
5、，使得 ，因为函数 存在唯一的零点 ，且 ，所以极小值 ，整理得 ，因为 ，所以 ，故选 .6、若函数 有零点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函数 有零点，可知方程 有解，则当 时，当 时，综上， ，则 .7、已知函数 ，函数 ，若函数 恰有 4个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】7由题意知方程 恰有 个实数根，当 时，由 ，解得 或，所以 ，得： .当 ，由 ，得 或，所以 得： .综上 ,选 .8、已知函数 ，则方程 恰有两个不同的实根时，实数 的取值范围是（ ）（注： 为自然对数的底数）A. B. C. D.【
6、答案】C【解析】画出函数 图象如下图所示，由图可知，当 时，直线 与 有两个交点；当 增大到直线 与 图象相切时，交点个数从 2 个变为 1 个，结合选项可知 C 正确（D 选项 ，从图象上看，显然不正确) 9、已知函数 是奇函数, 且函数 有两个零点,则实数 的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为函数 是奇数，所以 ，即 ，所以 ，所以当 时 ，当 或 时8，所以在 上函数单调递增，在 上单调递减，所以函数 的极大值为 ，极小值 为 因为函数 有两个零点，即方程有两个根，又 ，由函数图象可得 或 或，解得 或 ，故选 .10、已知函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围为（ ） A.B.C. D. 【答案】C
