1、1专题 04 带电粒子在电场中的运动一、带电粒子在电场中的平衡和非平衡问题这里说的“平衡”是指带电体加速度为零的静止或匀速直线运动，属“静力学”问题，只是带电体受的外力中包括电场力在内的所有外力，解题的一般思维程序为：（1）明确研究对象；（2）对研究对象进行受力分析，注意电场力的方向；（3）根据平衡的条件或牛顿第二定律列方程求解。【题 1】竖直放置的两块足够长的平行金属板间有匀强电场。其电场强度为 E，在该匀强电场中，用丝线悬挂质量为 m 的带电小球，丝线跟竖起方向成 角时小球恰好平衡，如图所示，请问：（1）小球带电荷量是多少？（2）若剪断丝线，小球碰到金属板需多长时间？【答案】 （1） Em
2、gtan（2） cotgb由得（2）丝线剪断后小球受重力和电场力，其合力与剪断前丝线拉力大小相等方向相反，所以：T=ma小球由静止开始沿着拉力的反方向做匀加速直线运动，当碰到金属板上时，它的位移为： sinbx由运动学公式： 21atx 2由得 。 【题 3】 如图所示，一个质量为 30g 带电量 1.7108 C 的半径极小的小球，用丝线悬挂在某匀强电场中，电力线与水平面平行。当小球静止时，测得悬线与竖直夹角为 30，由此可知：匀强电场方向怎样？电场强度大小为多少？（ g 取 10m/s2）【答案】 （1）水平向右（2）210 7N/C（2）小球在三个力作用下处于平衡状态，三个力的合力必为零
3、。所以 F=mgtg30又 F=qE 由得： 代入数据解得： E=2107N/C。 二、带电粒子（或带电体）在电场中的直线运动1做直线运动的条件（1）粒子所受合外力 F 合 0，粒子或静止，或做匀速直线运动。（2）粒子所受合外力 F 合 0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动或匀减速直线运动。2解决粒子在电场中直线运动问题的两种方法（1）运动状态的分析：带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，受到的电场力与运动方向在同一条直线上，做加（减）速直线运动。（2）用动能定理或能量守恒定律电场力对带电粒子做的功等于带电粒子动能的变化量，即 qU mv2 mv 。12 12 20
4、匀强电场中： W Eqd qU mv2 mv 非匀强电场中： W qU Ek2 Ek1。12 12 20选取思路：前者适用于粒子受恒力作用时，后者适用于粒子受恒力或变力作用时。这和解决物体受重3力、弹力、摩擦力等做直线运动的问题的思路是相同的，不同的是受力分析时，不要遗漏电场力。解决此类问题的关键是灵活利用动力学分析的思想，采用受力分析和运动学方程相结合的方法进行解决，也可以采用功能结合的观点进行解决，往往优先采用动能定理。3带电粒子在电场中运动时重力的处理（1）基本粒子：如电子、质子、 粒子、离子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力（但并不忽略质量） 。（2）带电颗粒：如液滴、油滴
5、、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力。4带电粒子在电场中的加速带电粒子沿与电场线平行的方向进入电场，带电粒子将做加（减）速运动。有两种分析方法：（1）用动力学观点分析： a ， E ， v2 v 2 ad。qEm Ud 20（2）用功能观点分析：粒子只受电场力作用，电场力做的功等于物体动能的变化， qU mv2 mv 。12 12 20【题 4】如图，电子由静止开始从 A 板向 B 板运动，到达 B 板的速度为 v，保持两板间电压不变，则A当减小两板间的距离时，速度 v 增大 B当减小两板间的距离时，速度 v 减小 C当减小两板间的距离时，速度 v 不变D当减小两板间
6、的距离时，电子在两板间运动的时间变长【答案】C【题 5】 （多选）如图，平行板电容器的两个极板与水平地面成一角度，两极板与一直流电源相连。若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器，则在此过程中，该粒子4A所受重力与电场力平衡 B电势能逐渐增加C动能逐渐增加 D做匀变速直线运动【答案】BD【解析】带电粒子在平行板电容器之间受到两个力的作用，一是重力 mg，方向竖直向下；二是电场力F Eq，方向垂直于极板向上 ，因二力均为恒力，又已知带电粒子做直线运动，所以此二力的合力一定在粒子运动的直线轨迹上，根据牛顿第二定律可知，该粒子做匀减速直线运动，选项 D 正确，选项 A、C 错误；从粒子运动的方向
7、和电场力的方向可判断出，电场力对粒子做负功，粒子的电势能增加，选项 B 正确。【题 6】 （多选）某同学设计了一种静电除尘装置，如图甲所示，其中有一长为 L、宽为 b、高为 d 的矩形通道，其前、后面板为绝缘材料，上、下面板为金属材料。图乙是装置的截面图，上、下两板与电压恒定为 U 的高压直流电源相连。带负电的尘埃被吸入矩形通道的水平速度为 v0，当碰到下板后其所带电荷被中和，同时被收集。将被收集尘埃的数量与进入矩形通道尘埃的数量的比值，称为除尘率。不计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用。要增大除尘率，则下列措施可行的是A只增大电压 U B只增大长度 L C只增大高度 d D只增大尘埃被吸入的水平
8、速度 v0【答案】AB5【题 7】如图所示，充电后的平行板电容器水平放置，电容为 C，极板间距离为 d，上极板正中有一小孔。质量为 m，电荷量为 q 的小球从小孔正上方高 h 处由静止开始下落，穿过小孔到达下极板处速度恰为零（空气阻 力忽略不计，极板间电场可视为匀强电 场，重力加速度为 g） 。求：（1）小球到达小孔处的速度；（2）极板间电场强度大小和电容器所带电荷量； （3）小球从开始下落运动到下极板处的时间。【答案】 （1） （2） C （3）2ghmg h dq h dh 2hg【解析】 （1） 由 v22 gh，得 v 2gh（2）在极板间带电小球受重力和电场力作用，由牛顿运动定律知：
9、 mg qE ma由运动学公式知：0 v22 ad整理得电场强度 Emg h dqd由 U Ed， Q CU，得电容器所带电荷量 Q Cmg h dq（3）由 h gt ，0 v at2， t t1 t212 21整理得 th dh 2hg5带电体在匀强电场中的直线运动问题的分析方法（1）选取研究对象：一个带电体，也可以是几个带电体构成的系统。（2）两个分析：受力分析，多了个电场力（多了个电场力 F=qE） ；运动分析，运动情况反映受力情况。（3）选用规律：两种方法，见上面 2 中解决粒子在电场中直线运动问题的两种方法。【题 8】如图所示，在 A 点固定一正电荷，电量为 Q，在离 A 高度为
10、H 的 C 处由静止释放某带同种电荷的液珠，开始运动瞬间向上的加速度大小恰好等于重力加速度 g。已知静电力常量为 k，两电荷均可看成点电荷，不计空气阻力。求：6（1）液珠的比荷；（2）液珠速度最大时离 A 点的距离 h；（3）若已知在点电荷 Q 的电场中，某点的电势可表示成 ，其中 r 为该点到 Q 的距离（选无限kQr远的电势为零） 。求液珠能到达的最高点 B 离 A 点的高度 rB。【答案】 （1） （2） H （3）2 H2gH2kQ 2对液珠由释放处至液珠到达最高点（速度为零）的全过程应用动能定理得 qUCB mg（ rB H）0即 q（ ） mg（ rB H）0kQH kQrB将第（
11、1）问的结果代入化简 r 3 HrB2 H202B解得： rB2 H rB H（舍去）三、带电粒子在匀强电场中的偏转 1进入电场的方式：以初速度 v0垂直场强方向射入匀强电场中的带电粒子，受恒定电场力作用，做类似平抛的匀变速曲线运动。运动性质：匀变速曲线运动。2两个特点（1）受力特点：电场力大小恒定，且方向与初速度 v0的方向垂直。（2）运动特点：做匀变速曲线运动，与力学中的平抛运动类似。3两个分析7（1）条件分析：不计重力，且带电粒子的初速度 v0与电场方向垂直， 则带电粒子将在电场中只受电场力作用做类平抛运动。（2）运动分析：一般用分解的思想来处理，即将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的
12、匀加速直线运动和垂直电场力方向上的匀速直线运动。 4处理方法：利用运动的合成与分解。分解成相互垂直的两个方向上的直线运动，类似于平抛运动。沿初速度方向：做匀速直线运动。沿电场方向：做初速为零的匀加速直线运动。5运动规律：设粒子带电荷量为 q，质量为 m，两平行金属板间的电压为 U，板长为 l，板间距离为d（忽略重力影响） ，则有（1）加速度： a 。Fm qEm qUmd（2）在电场中的运动时间：能飞出电容器： 0vlt；不能飞出电容器： qUmdyt2， 。（3）速度： E 方向（初速度方向） ， vx=v0； E 方向， vy=at。末速度 v ，粒子离开电场时的偏转角 tan 。vx2
13、vy2vyvx vyv0 qUlmv02d动能一定时 tan 与 q 成正比，电荷量一定时 tan 与动能成反比。（4）位移： E 方向（初速度方向） ， x=l=v0t； E 方向，粒子离开电场时的侧移为： y= 21at 。ql2U2mv20d粒子离开电场时位移与初速度夹角的正切 tan 。yl qUl2mv20d6分析粒子在电场中偏转运动的两种方法8（1）分解观点：垂直射入匀强电场的带电粒子，在电场中只受电场力作用，与重力场中的平抛运动相类似，研究这类问题的基本方法是将运动分解，可分解成平行电场方向的匀加速直线运动和垂直电场方向的匀速直线运动。（2）功能观点：首先对带电粒子进行受力分析，
14、再进行运动过程分析，然后根据具体情况选用公式计算。若选用动能定理，则要分清有多少个力做功，是 恒力做功还是变力做功，同时要明确初、末状态及运动过程中的动能的增量。若选用能量守恒定律，则要分清带电粒子在运动中共有多少种能量参与转化，哪些能量是增加的，哪些能量是减少的。7关于两个偏转物理量（1）粒子的偏转角问题a已知电荷情况及初速度如上图所示，设带电粒子质量为 m，带电荷量为 q，以速度 v0垂直于电场线方向射入匀强偏转电场，偏转电压为 U1。若粒子飞出电场时偏转角为 ，则 tan ，式中 vy at ， vx v0， vyvx qU1dm lv0代入得 tan qU1lmv20d结论：动能一定时
15、 tan 与 q 成正比，电荷量相同时 tan 与动能成反比。 b已知加速电压 U0若不同的带电粒子是从静止经过同一加速电压 U0加速后进入偏转电场的，则由动能定理有： qU0 mv 12 20由式得：tan U1l2U0d结论：粒子的偏转角与粒子的 q、 m 无关，仅取决于加速电场和偏转电场。即不同的带电粒子从静止经过同一电场加速后进入同一偏转电场，它们在电场中的偏转角度总是相同的。（2）粒子的偏转量问题9a y at2 （ ） 2 12 12 qU1dm lv0作粒子速度的反向延长线，设交于 O 点， O 点与电场边缘的距离为 x，则 x 。ytanqU1l22dmv20qU1lmv20d
16、 l2结论：粒子从偏转电场中射出时，就像是从极板间的 l/2 处沿直线射出。b若不同的带电粒子是从静止经同一加速电压 U0加速后进入偏转电场的，则由和，得：y 。U1l24U0d结论： 粒子的偏转距离与粒子的 q、 m 无关，仅取决于加速电场和偏转电场。即不同的带电粒子从静止经过同一电场加速后进入同一偏转电场，它们在电场中的偏转距离总是相同的。8几个推论（1）粒子从偏转电场中射出时，其速度反向延长线与初速度方向延长线交于一点，此点平分沿初速度方向的位移。 （如图所示， l ）l2（2）位移方向与初速度方向间夹角的正切等于速度偏转角正切的 ，即 tan tan 。12 12（3）先加速后偏转：若
17、不同的带电粒子都是从静止经同一加速电压 U0加速后进入同一偏转电场 U 的，则由动能定理有： qU0 mv 得： 。12 20偏移量 dULy04。则偏转距离 y 和偏转角 相同，也就是运动轨迹完全重合。粒子的偏转角与粒子的 q、 m 无关，仅取决于加速电场和偏转电场。（4）带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系：当讨论带电粒子末速度 v 时也可以从能量的角度进行求解： qUy mv2 mv ，其中 Uy y，指初、末位置间的电势差。12 12 20 Ud（5）计算粒子打到屏上的位置离屏中心距离 Y 的方法： Y y Dtan （ D 为屏到偏转电场的 水平距离） Y（ 2L D）tan （ L
18、为电场宽度） Y y vy 0 10根据三角形相似： 2LDyY。【特别提醒】 （1）对带电粒子在电场中的偏转问题也可以选择动能定理求解，但只能求出速度大小，不能求出速度方向，涉及方向问题，必须采用把运动分解的方法。（2）让不同的粒子以相同的速度进入偏转电场，由于轨迹不同，可以把不同的粒子分离开。【题 9】如图所示，两平行金属板间有一匀强电场，板长为 L，板间距离为 d，在板右端 L 处有一竖直放置的光屏 M.一带电荷量为 q、质量为 m 的质点从两板中央射入板间，最后垂直打在 M 屏上，则下列结论正确的是A板间电场强度大小为mgqB板间电场强度大小为mg2qC质点在板间的运动时间和它从板的右
19、端运动到光屏的时间相等D质点在板间的运动时间大于它从板的 右端运动到光屏的时间【答案】C【题 10】如图的装置放置在真空中，炽热的金属丝可以发射电子，金属丝和竖直金属板之间加一电压U12 500 V，发射出的电子被加速后，从金属板上的小孔 S 射出。装置右侧有两个相同的平行金属极板水平正对放置，板长 l6.0 cm，相距 d2 cm，两极板间加以电压 U2200 V 的偏转电场。从小孔 S 射出的电子恰能沿平行于板面的方向由极板左端中间位置射入偏转电场。已知电子的电荷量 e1.610 19 C，电子的质量 m0.910 30 kg，设电子刚离开金属丝时的速度为 0，忽略金属极板边缘对电场的影响
20、，不计电子受到的重力。求：11（1）电子射入偏转电场时的动能 Ek；（2）电子射出偏转电场时在竖直方向上的侧移量 y；（3）电子在偏转电场运动的过程中电场力对它所做的功 W。【答案】 （1）4.010 16 J（2）0.36 cm（3）5.7610 18 J【解析】 （1）电子在加速电场中，根据动能定理有 eU1 Ek解得 Ek4.010 16 J（2）设电子在偏转电场中运动的时间为 t 电子在水平方向做匀速运动，由 l v1t，（3）电子射出偏转电场的位置与射入偏转电场位置的电势差 U yU2d电场力所做的功 W eU解得 W5.7610 18 J6分析粒子在电场中偏转运动的两种方法（1）分
21、解观点：垂直射入匀强电场的带电粒子，在电场中只受电场力作用，与重力场中的平抛运动相类似，研究这类问题的基本方法是将运动分解，可分解成平行电场方向的匀加速直线运动和垂直电场方向的匀速直线运动。（2）功能观点：首先对带电粒子进行受力分析，再进行运动过程分析，然后根据具体情况选用公式计算。若选用动能定理，则要分清有多少个力做功，是恒力做功还是变力做功，同时要明确初、末状态及运动过程中的动能的增量。若选用能量守恒定律，则要分清带电粒子在运动中共有多少种能量参与转化，哪些能量是增加的，哪些能量是减少的。12【题 11】如图所示是示波管的示意图，竖直偏转电极的极板长 l4 cm，板间距离 d1 cm.板右端距离荧光屏 L18 cm。 （水平偏转电极上不加电压，没有画出） 。电子沿中心线进入竖直偏转电场的速度是1.6107 m/s，电子电荷量 e1.6010 19 C，质量 m0.9110 30 kg。（1）要使电子束不打在偏转电极的极板上，加在竖直偏转电极上的最大偏转电压 U 不能超过多大？（2）若在偏转电极上加 U40sin100 t V 的交变电压，在荧光屏的竖直坐标轴上能观测到多长的线段？当 Um40 V 时，由 vx v， vy t，eUmdm得偏转角的正切值 tan 0.11，vyvx偏移量 y（ L）tan ，l2得在荧光屏的竖直坐标轴上的观测量为 2y4.4 cm。
