1、1专题 21 洛伦磁力、带电粒子在匀强磁场中的运动一、洛伦兹力1定义：磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。2洛伦兹力的方向（1）判定方法：左手定则：掌心磁感线垂直穿入掌心；四指指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；拇指指向洛伦兹力的方向。（2）方向特点： F B， F v，即 F 垂直于 B 和 v 决定的平面。3洛伦兹力的大小（1） v B 时，洛伦兹力 F0。 （ 0或 180）（2） v B 时，洛伦兹力 F qvB。 （ 90）（3） v0 时，洛伦兹力 F0。（4） v 与 B 夹角为 时， F qvBsin_ 。4洛伦兹力的特点（1）洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场
2、方向确定的平面。（2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。 （3）运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。（4）左手判断洛伦兹力方向，但一定分正、负电荷。负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向（5）洛伦兹力一定不做功。一个力与速度方向如果始终垂直，则这个力对该物体始终不做功。由于洛伦兹力方向始终与电荷运动方向垂直，洛伦兹力对运动电荷永不做功，即洛伦兹力不能改变速度的大小和动能大小，仅能够改变运动电荷的速度方向。影响带电体所受其他力的大小和带电体的运动时间等。【题 1】下列关于洛伦兹力的说法中，正确的是A只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同B如果把 q
3、 改为 q，且速度反向，大小不变，则洛伦兹力的大小、方向均不变C洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直D粒子在只受到洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变【答案】B与磁场垂直时 F qvB，当粒子速度与磁场平行时 F0。又由于洛伦兹力的方向永远与粒子的速度方向垂2直，因而速度方向不同时，洛伦兹力的方向也不同，所以 A 选项错。因为 q 改为 q 且速度反向，由左手定则可知洛伦兹力方向不变，再由 F qvB 知大小也不变，所以 B 选项正确。因为电荷进入磁场时的速度方向可以与磁场方向成任意夹角，所以 C 选项错。因为洛伦兹力总与速度方向垂直，因此，洛伦兹力不做功，粒子动
4、能不变，但洛伦兹力可改变粒子 的运动方向，使粒子速度的方向不断改变，所以 D 选项错 。 【题 6】如图，在赤道处，将一小球向东水平抛出，落地点为 a；给小球带上电荷后，仍以原来的速度抛出，考虑地磁场的影响，下列说法正确的是A无论小球带何种电荷，小球仍会落在 a 点 B无论小球带何种电荷，小球下落时间都会延长C若小球带负电荷，小球会落在更远的 b 点 D若小球带正电荷，小球会落在更远的 b 点【答案】D二、带电粒子在匀强磁场中的运动1若 v B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动。2若 v B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度 v 做匀速圆周运动，洛伦兹
5、力提供向心力。 基本公式：向心力公式： qvB m ；v2r轨道半径公式： r ；mvBq周期公式： T ； f ； 2 f 。2 rv 2 mqB 1T Bq2 m 2T Bqm注意：带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速率无关。3运动方向与磁场方向既不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中做等半径、等螺距的螺旋线运动。【题 7】 （多选）如图所示，一重力不计的带电粒子以一定的速率从 a 点对准圆心射入一圆形匀强磁场，3恰好从 b 点射出。增大粒子射入磁场的速率，下列判断正确的是A该粒子带正电 B该粒子带负电C粒子从 ab 间射出 D粒子从 bc 间射出【答案】BD【解析】根据带电粒子在磁场中偏转的方
6、向，由左手定则判断可知该粒子带负电，选项 A 错误，B 正确；带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径 r ，所以当粒子入射的速率增大时，其轨道半mvqB径 r 会增大，粒子会从图中的 bc 之间射出磁场，故选项 C 错误，D 正确。 【题 8】质量和电荷量都相等的带电粒子 M 和 N，以不同的速率经小孔 S 垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示。下列表述正确的是A M 带负电， N 带正电 B M 的速率小于 N 的速率C洛伦兹力对 M、 N 做正功D M 的运行时间大于 N 的运行时间【答案】A【题 9】 （多选）如图甲所示，某空间存在着足够大的匀强磁场，磁场沿水平方向。磁场
7、中有 A、 B 两个物块叠放在一起，置于光滑水平面上。物块 A 带正电，物块 B 不带电且表面绝缘。在 t0 时刻，水平4恒力 F 作用在物块 B 上，物体 A、 B 由静止开始做加速度相同的运动。在物块 A、 B 一起运动的过程中，图乙反映的可能是A物块 A 所受洛伦兹力大小随时间 t 变化的关系B物块 A 对物块 B 的摩擦力大小随时间 t 变化的关系C物块 A 对物块 B 的压力大小随时间 t 变化的关系D物块 B 对地面压力大小随时间 t 变化的关系【答案】CD三、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动研究带电粒子在磁场中的匀速圆周运动的关键是圆心、半径、运动时间的确定轨道圆的“三个确定”
8、 。1如何确定“圆心”由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点） ，过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向） ，则两垂线的交点就是圆心，如图（ a）所示。若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（ b）所示。若只已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（ c）所示，此时要将其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（ PAM） ，画出该角
9、的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点 O，该点就是圆心。轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。某点的速度垂线与切点法线的交点。如图。52如何确定“半径”：方法一：由物理方程求：半径 R ；mvqB方法二：由几何方程求：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等） 计算来确定。例：（右图） R 或由 R2 L2（ R d） 2求得 R 。Lsin L2 d22d3如何确定“圆心角与时间”（1）圆心角的确定速度的偏向角 圆弧所对应的圆心角（回旋角） 2 倍的弦切角 ，即 2 t ，如图（ d）所示。偏转角 与弦切角 的关系： 180时， 3602 。（2）时间的计算方法。方法一：由圆心角求， t T；2
10、方法二：由弧长求， t 。 Rv【题 10】如图，纸面内有 E、 F、 G 三点， GEF30， EFG135，空间有一匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外。先使带有电荷量为 q（ q0）的点电荷 a 在纸面内垂直于 EF 从 F 点射出，其轨迹经过 G 点；再使带有同样电荷量的点电荷 b 在纸面内与 EF 成一定角度从 E 点射出，其轨迹6也经过 G 点，两点电荷从射出到经过 G 点所用的时间相同，且经过 G 点时的速度方向也相同。已知点电荷a 的质量为 m，轨道半径为 R，不计重力，求： （1）点电荷 a 从射出到经过 G 点所用的时间；（2）点电荷 b 的速度的大小。【答案
11、】（1）设点电荷 a 的速度大小为 v，由牛顿第二定律得 qvB m 由式得 v 设点电荷 a 做圆v2R qBRm周运动的周期为 T，有 T 2 mqB如图， O 和 O1分别是 a 和 b 的圆轨道的圆心。设 a 在磁场中偏转的角度为 ， b 在磁场中偏转的角度为 1，由几何关系得 90， 160故 a 从开始运动到经过 G 点所用的时间 t 为 t m2qB（2）设点电荷 b 的速度大小为 v1，轨道半径为 R1，依题意有 t R1 1v1 Rv由式得 v1 vR1 1R7由于两轨道在 G 点相切，所以过 G 点的半径 OG 和 O1G 在同一直线上。由几何关系 和题给条件得 160R1
12、2 R联立式，解得 v1 4qBR3m【题 11】如图，半径为 R 的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面） ，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为 q（ q0） 、质量为 m 的粒子沿平行 于直径 ab 的方向射入磁场区域，射入点与 ab 的距离为 ，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为 60，则粒子的速率为（不计重力）R2A B qBR2m qBRmC D3qBR2m 2qBRm【答案】B【题 12】如图所示的 xOy 平面处于匀强磁场中，磁场方向与 xOy 平面（纸面）垂直，磁感应强度 B 随时间 t 变化的周期为 T，变化图线如图。当 B 为 B0时，磁感应
13、强度方向指向纸外。在坐标原点 O 有一带正电的粒子 P，其电荷量与质量之比恰好等于 。不计重力。设 P 在某时刻 t0以某一初速度沿 y 轴正方2TB08向自 O 点开始运动，将它经过时间 T 到达的点记为 A。（1）若 t00，则直线 OA 与 x 轴的夹角是多少？（2）若 t0 ，则直线 OA 与 x 轴的夹角是多少？T4【答案】 （1）0（2） 2v 2 RT由式与已知条件得 T T。粒子 P 在 t0 到 t 时间内，沿顺时针方向运动半个圆周，到达 x 轴上 B 点，此时磁场方向反转；T2继而，在 t 到 t T 时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达 x 轴上 A 点，如图所示。T2
14、OA 与 x 轴的夹角 0。（2）粒子 P 在 t0 时刻开始运动，在 t 到 t 时间内，沿顺时针方向运动 个圆周，到达 C 点，T4 T4 T2 14此时磁场方向反转；继而，在 t 到 t T 时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达 B 点，此时磁场方T2向再次反转；在 t T 到 t 时间内，沿顺时针方向运动 个圆周，到达 A 点，如图所示。5T4 14由几何关系可知， A 点在 y 轴上，即 OA 与 x 轴的夹角 。 24带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的分析方法三步法（1）画轨迹确定圆心；9（2）找联系轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，即 qBmvR。由几何方法一般由数学知识（勾
15、股定理、三角函数等）计算来确定半径。偏转角度与圆心角、运动时间相联系。粒子在磁场中运动时间与周期相联系。（3）用规律牛顿第二定律和圆周运动的规律等，特别是周期公式、半径公式。5带电粒子在匀强磁场中和匀强电场中的运动特征两种方式都可以使带电粒子发生偏转。（1）带电粒子在匀强电场中的运 动是匀变速运动，其轨迹是抛物线（若运动方向与电场方向不平行） ；带电粒子在匀强磁场中的运动是变加速运动，其轨迹是圆弧（若运动方向与磁场方向不平行） 。（2）由轨道半径： R qBmv，周期： T qB2。可知： T 与 v、 R 无关；只与磁感应强度、荷质比有关。故有结论：荷质比相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中，
16、 T、 f 和 相同。【题 13】如图所示，在某空间实验室中，有两个靠在一起的等大的圆柱形区域，分别存在着等大反向的匀强磁场，磁感应强度 B0.10 T，磁场区域半径 r m，左侧区圆心为 O1，磁场方向向里，右侧区233圆心为 O2，磁场方向向外，两区域切点为 C。今有质量 m3.210 26 kg、带电荷量 q1.610 19 C 的某种离子从左侧区边缘的 A 点以速度 v10 6 m/s 正对 O1的方向垂直磁场射入，它将穿过 C 点后再从右侧区穿 出。求：（1）该离子通过两磁场区域所用的时间。（2）离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离。 （侧移距离指垂直初速度方向上移动的
17、距离）【答案】 （1）4.1910 6 s （2）2 m10由牛顿第二定律有 qvB m v2R又 T 2 Rv联立得 R mvqBT 2 mqB将已知量代入得 R2 m 由轨迹图知 tan ，则 30rR 33则全段轨迹运动时间 t2 2 T360 T3联立并代入已知量得 t s4.1910 6 s。23.143.210 2631.610 190.1（2）在图中过 O2向 AO1作 垂线，由轨迹对称关系侧移总距离 d2 rsin2 2 m。【题 14】磁聚焦被广泛地应用在电真空器件中。如图所示，在坐标 xOy 中存在有界的匀强聚焦磁场，方向垂直坐标平面向外，磁场边界 PQ 直线与 x 轴平行
18、，与 x 轴的距离为 ，边界 POQ 的曲线方程为 y23a3，且方程关于 y 轴对称。在坐标 x 轴上 A 处有一粒子源，向着不同方向射出大量质量均为 m、电x a xa23 x2荷量均为 q 的带正电粒子，所有粒子的初速度大小相同，均为 v，粒子通过有界的匀强磁场 后都会聚焦在x 轴上的 F 点。已知 A 点坐标为（ a，0） ， F 点坐标为（ a，0） ，不计粒子所受的重力和相互作用。（1）求匀强磁场的磁感应强度。11（2）粒子射入磁场时的速度方向与 x 轴的夹角为多大时，粒子在磁场中运动时间最长？最长时间为多少？【答案】 （1） （2） 3mvaq 3 23 a9v又 POQ 的曲线方程为 y 解得 r ax a xa23 x2 33且 r ，解得 B .mvqB 3mvaq解得 sin ， 6032 3且 t ， 2 mqB解得 t 。2 mqB 23 a9v
