1、1专题 30 电磁感应中的动力学问题1如图所示，有两根和水平方向成 角的光滑平行金属轨道，上端接有可变电阻 R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为 B，一根质量为 m 的金属杆（电阻忽略不计）从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度 vm，则A如果 B 增大， vm将变大 B如果 增大， vm将变大C如果 R 变小， vm将变大 D如果 m 变小， vm将变大【答案】B 2如图所示，两光滑平行金属导轨间距为 L，直导线 MN 垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为 B。电容器的电容为 C，除电
2、阻 R 外，导轨和导线的电阻均不计。现给导线 MN 一初速度，使导线 MN 向右运动，当电路稳定后， MN 以速度 v 向右做匀速运动时A电容器两端的电压为零 B电阻两端的电压为 BLv C电容器所带电荷量为 CBLv 2D为保持 MN 匀速运动，需对其施加的拉力大小为B2L2vR【答案】C 3 （多选）如图所示，在水平桌面上放置两条相距为 l 的平行光滑导轨 ab 与 cd，阻值为 R 的电阻与导轨的 a、 c 端相连。质量为 m、电阻也为 R 的导体棒垂直于导轨放置并可沿导轨自由滑动。整个装置放于匀强磁场中，磁场的方向竖直向上，磁感应强度的大小为 B。导体棒的中点系一不可伸长的轻绳，绳绕过
3、固定在桌边的光滑轻滑轮后，与一个质量也为 m 的物块相连，绳处于拉直状态。现若从静止开始释放物块，用 h 表示物块下落的高度（物块不会触地） ， g 表示重力加速度，其他电阻不计，则A电阻 R 中的感应电流方向由 c 到 a B 物块下落的最大加速度为 gC若 h 足够大，物块下落的最大速 度为 2mgRB2l2D通过电阻 R 的电荷量为BlhR【答案】AC 4 （多选）如图所示，两足够长平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒 ab、 cd 与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两金属棒 ab、 cd 的质量之比为 21。用一沿导轨方向的恒力 F 水平向右拉金属棒
4、 cd，经过足够长时间以后3A金属棒 ab、 cd 都做匀速运动 B金属棒 ab 上的电流方向是由 b 向 aC金属棒 cd 所受安培力的大小等于 2F3D两金属棒间距离保持不变【答案】BC 5如图所示， L10.5 m， L20.8 m，回路总电阻为 R0.2 ， M0.04 kg，导轨光滑，开始时磁场 B01 T。现使磁感应强度以 0.2 T/s 的变化率均匀地增大。试求：当 t 为多少时， M 刚好离开地 B t面？（ g 取 10 m/s2）【答案】5 s【解析】回路中原磁场方向向下，且磁感应强度增加，由楞次定律可以判知，感应电流的磁场方向向上，根据安培定则可以判知， ab 中的感应电
5、流的方向是 a b，由左手定则可知， ab 所受安培力的方向水平向左，从而向上拉起重物。设 ab 中电流为 I 时 M 刚好离开地面，此时有 F BIL1 Mg I E L1L2 ER t B tB B0 t B t联立以上各式，代入数据解得 t5 s。 8如图所示，两根足够长平行金属导轨 MN、 PQ 固定在倾角 37的绝缘斜面上，顶部接有一阻值R3 的定值电阻，下端开口，轨道间距 L1 m。整个装置处于磁感应强度 B2 T 的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上。质量 m1 kg 的金属棒 ab 置于导轨上， ab 在导轨之间的电阻 r1 ，电路中其余电阻不计。金属棒 ab 由静止释放后沿导轨
6、运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好。不计空气阻力影响。已知金属棒 ab 与导轨间动摩擦因数 0.5，sin 370.6，cos 370.8，取 g10 m/s 2。4（1）求金属棒 ab 沿导轨向下运动的最大速度 vm；（2）求金属棒 ab 沿导轨向下运动过程中，电阻 R 上的最大电功率 PR；（3）若从金属棒 ab 开始运动至达到最大速度过程中，电阻 R 上产生的焦耳热总共为 1.5 J，求流过电阻 R 的总电荷量 q。【答案】 （1）2.0 m/s（2）3 W（3）1.0 C由牛顿第二定律有 mgsin mg cos F 安 0 F 安 BIL I E BLvmER r由以上各式代入数
7、据解得 vm2.0 m/s。（2）金属棒以最大速度 vm匀速运动时，电阻 R 上的电功率最大，此时 PR I2R，解得： PR3 W。（3）设金属棒从开始运动至达到最大速度过程中，沿导轨下滑距离为 x由能量守恒定律： mgxsin mgx cos QR Qr mvm212根据焦耳定律 ，解得 x2.0 mQRQr Rr根据 q I t， ， E BLx，ER r t解得 q 1.0 C。 BLxR r9如图所示，在竖直向下的磁感应强度为 B 的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道 MN、 PQ固定在水平面内，相距为 L。一质量为 m 的导体棒 cd 垂直于 MN、 PQ 放在轨道上，与轨道
8、接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。5（1）如图，若轨道左端 M、 P 间接一阻值为 R 的电阻，导体棒在拉力 F 的作用下以速度 v 沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间 t 内，拉力 F 所做的功与电路获得的电能相等。（2）如图，若轨道左端接一电动势为 E、内阻为 r 的电源和一阻值未知的电阻。闭合开关 S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度 vm，求此时电源的输出功率。（3）如图，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为 C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图，已知 t1时刻电容器两极板间的电势差为 U1
9、。求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。【答案】 （1）见解析（2） （3） EBLvm B2L2vm2r BLCU1t1 mU1BLt1（2）导体棒达到最大速度 vm时，棒中没有电流，电源的路端电压 U BLvm电源与电阻所在回路的电流 IE Ur电源的输出功率 P UI 。EBLvm B2L2vm2r（3）感应电动势与电容器两极板间的电势差相等 BLv U由电容器的 U t 图像可知 U tU1t1导体棒的速度随时间变化的关系为 v tU1BLt1可知导体棒做匀加速直线运动，其加速度 aU1BLt1由 C 和 I ，得 I QU Qt CUt CU1t1由牛顿第二定律有 F BIL ma
10、可得 F 。BLCU1t1 mU1BLt1610如图，两根粗细均匀的金属杆 AB 和 CD 的长度均为 L，电阻均为 R，质量分别为 3m 和 m，用两根等长的、质量和电阻均不计的、不可伸长的柔软 导线将它们连成闭合回路，悬跨在绝缘的、水平光滑的圆棒两侧， AB 和 CD 处于水平。在金属杆 AB 的下方有高度为 H 的水平匀强磁场，磁感强度的大小为 B，方向与回路平面垂直，此时 CD 处于磁场中。现从静止开始释放金属杆 AB，经过一段时间（ AB、 CD 始终水平） ，在 AB 即将进入磁场的上边界时，其加速度为零，此时金属杆 CD 还处于磁场中，在此过程中金属杆 AB 上产生的焦耳热为 Q
11、。重力加速度为 g，试求：（1）金属杆 AB 即将进入磁场上边界时的速度 v1；（2）在此过程中金属杆 CD 移动的距离 h 和通过导线截面的电量 q；（3）设金属杆 AB 在磁场中运动的速度为 v2，通过计算说明 v2大小的可能范围。【答案】 （1） （2） （3） v2 4mgRB2L2 16m3g2R2 QB4L42RmgB3L3 mgRB2L2 4mgRB2L2解得： v1 。4mgRB2L2（2） AB、 CD 棒组成的系统在此过程中，根据能的转化与守恒有：（3 m m） gh2 Q 4mv1212h mv12 Qmg 16m3g2R2 QB4L4mgB4L4q I t 2R BLh
12、2R 16m3g2R2 QB4L42RmgB3L3（3） AB 杆与 CD 杆都在磁场中运动，直到达到匀速，此时系统处于平衡状态，对 AB 杆：3 mg2 T BIL对 CD 杆：2 T mg BIL又 F BIL ，B2L2v2R解得 v2mgRB2L27所以 v2mgRB2L2 4mgRB2L211如图所示，粗糙斜面的倾角 37，半径 r0.5 m 的圆形区域内存在着垂直于斜面向下的匀强磁场。一个匝数 n10 匝的刚性正方形线框 abcd，通过松弛的柔软导线与一个额定功率 P1.25 W 的小灯泡 A 相连，圆形磁场的一条直径恰好过线框 bc 边。已知线框质量 m2 kg，总电阻 R01.
13、25 ，边长L2 r，与斜面间的动摩擦因数 0.5。从 t0 时起，磁场的磁感应强度按 B2 tT 的规律变化 。开2始时线框静止在斜面上，在线框运动前，灯泡始终正常发光。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力， g 取 10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8。求：（1）小灯泡正常发光时的电阻 R；（2）线框保持不动的时间内，小灯泡产生的热量 Q。【答案】 （1）1.25 （2）3.1 J小灯泡正常发光，有 P I2R 由闭合电路欧姆定律有 E I（ R0 R）则有 P RE02R，代入数据解得 R1.25 。（2）对线框受力分析如图设线框恰好要运动时，磁场的磁感应强度大小为 B由力的平
14、衡条件有 mgsin F 安 Ff F 安 mg cos F 安 nB I2r联立解得线框刚要运动时，磁场的磁感应强度大小 B0.4 T由 B2 t，得线框在斜面上可保持静止的时间 t s s2 1.62/ 458小灯泡产生的热量 Q Pt1.25 J3.1 J。4512如图，两固定的绝缘斜面倾角均为 ，上沿相连。两细金属棒 ab（仅标出 a 端）和 cd（仅标出c 端）长度均为 L，质量分别为 2m 和 m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路 abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平。右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向 垂直于斜
15、面向上。已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为 R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为 ，重力加速度大小为 g。已知金属棒 ab 匀速下滑。求（1）作用在 金属棒 ab 上的安培力的大小；（2）金属棒运动速度的大小。【答案】 （1） mg（sin 3 cos ） （2） （sin 3 cos ）mgRB2L22mgsin N 1 T F N12 mgcos 对于 cd 棒，同理有 mgsin N 2 TN2 mgcos 联立式得 F mg（sin 3 cos ）（2）由安培力公式得 F BIL这里 I 是回路 abdca 中的感应电流。ab 棒上的感应电动势为 BLv式中， v 是 ab 棒下滑
16、速度的大小。由欧姆定律得 I R联立式得 v（sin 3 cos ）mgRB2L213如图所示，相互平行的光滑金属导轨固定在倾角为 30的绝缘斜面上，相距为 L，导轨下端连接一个定值电阻 R1，上端通 过开关 S（S 是闭合的）也连接一个定值电阻 R2。导体棒 ab 放在导轨上靠近下端的位置，与导轨垂直并良好接触。在斜面上虚线 MN 以下的区域内，存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为 B。现对 ab 棒施以平行导轨斜向上的恒定拉力 F，使它沿导轨先向上加速运动，在到达虚线 MN 之前，导体棒 ab 已经开始做匀速运动。当导体棒到达 MN 时，立即撤去拉力，导体棒向上运动一段后又向下滑
17、动，进入磁场后又做匀速运动。已知 R1 R2 R，导体棒 ab 的阻值为 r ，质量为 m，重R29力加速度为 g，拉力做的功为 W，导轨电阻不计。（1）求拉力 F 的大小和导体棒 ab 匀速运动时的速度 v；（2）当导体棒 ab 匀速运动时，求电阻 R1的发热功率 P1；并求导体棒 ab 从开始运动到回到初始位置的过程中电阻 R1产生的热量 Q1。（3）若在导体棒 ab 再次进入磁场时断开开关 S，则导体棒 ab 将如何运动？【答案】 （1） mg （2）（ 4238LBRgmW） （3）匀速运动mgR2B2L2 14导体棒在 MN 上方运动时只受重力，机械能守恒，因此当导体棒再次进入磁场时
18、速度也为 v，匀速运动时受力如乙所示，有 mgsin 0B2L2vR由解得 v mgR2B2L2由得 F mg（2）由于 R1与 R2并联后电阻值等于 ，因此 Pr2 P1，有 P1 P 总 FAvR2 14 1410由联立得 P1 m2g2R16B2L2从导体棒 ab 开始运动到回到初始位置，重力做功为 0，由功能关系得 W Q mv2012Q1 Q14由解得 Q1 （ 4238LBRgmW） 。1414如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角 30的斜面上，导轨电阻不计，间距L0.4 m。导轨所在空间被分成区域和，两区域的边界与斜面的交线为 MN，中的匀强磁场方向垂直斜面向下，中的匀强
19、磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为 B0.5 T。在区域中，将质量 m10.1 kg、电阻 R10.1 的金属条 ab 放在导轨上， ab刚好不下滑。然后，在区域中将质量m20.4 kg、电阻 R20.1 的光滑导体棒 cd 置于导轨上，由静止开始下滑。 cd 在滑动过程中始终处于区域的磁场中， ab、 cd 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取 g10 m/s 2。问：（1） cd 下滑的过程中， ab 中的电流方向；（2） ab 刚要向上滑动时， cd 的速度 v 多大；（3）从 cd 开始下滑到 ab 刚要向上滑动的过程中， cd 滑动的距离 x3.8 m，此过程中
20、ab 上产生的热量 Q 是多少。【答案】 （1） a 流向 b（2）5 m/s（3）1.3 J【解析】 （1）由右手定则可判断出电流由 a 流向 b。（2）开始放置 ab 刚好不下滑时， ab 所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为 Fmax，有 Fmax m1gsin 设 ab 刚好要上滑时， cd 棒的感应电动势为 E，由法拉第电磁感应定律有 E BLv设电路中的感应电流为 I，由闭合电路欧姆定律有 I 21RE设 ab 所受安培力为 F 安 ，有 F 安 ILB11此时 ab 受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有 F 安 m1gsin Fmax综合式，代入数据解得 v5 m/s（3）
21、设 cd 棒运动过程中电路中产生的总热量为 Q 总 ，由能量守恒有 m2gxsin Q 总 m2v212又 Q 21RQ 总 解得 Q1.3 J15如图所示，间距 l0.3 m 的平行金属导轨 a1b1c1和 a2b2c2分别固定在两个竖直面内。在水平面a1b1b2a2区域内和倾角 37的斜面 c1b1b2c2区域内分别有磁感应强度 B10.4T、方向竖直向上和 B21 T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场。电阻 R0.3 、质量 m10.1 kg、长为 l 的相同导体杆 K、 S、 Q 分别放置在导轨上，S 杆的两端固定在 b1、 b2点， K、 Q 杆可沿导轨无摩擦滑动且始终接触良好。一端系于
22、 K杆中点的轻绳平行于导轨绕过轻质定滑轮自然下垂，绳上穿有质量 m20.05 kg 的小环。已知小环以a6m/s 2的加速度沿绳下滑， K 杆保持静止， Q 杆在垂直于杆且沿斜面向下的拉力 F 作用下匀速运动。不计导轨电阻和滑轮摩擦，绳不可伸长。取 g10 m/s 2，sin 370.6，cos 370.8。求：（1）小环所受摩擦力的大小；（2） Q 杆所受拉力的瞬时功率。【答案】 （1）0.2 N（2）2 W对 Q 杆，根据并联电路特点以及平衡条件得 2IlB2 F m1gsin 由法拉第电磁感应定律的推论得 E B2lv根据欧姆定律有 2I 总R且 R 总 R 瞬时功率表达式为 P Fv
23、联立以上各式得 P2 W16如图，两根电阻不计、相距 L、足够长的平行金属直角导轨，一部分处在水平面内，另一部分处在竖直平面内。导轨所在空间存在大小为 B、方向竖直向下的匀强磁场。金属棒 ab 质量为 2m，电阻为R； cd 质量为 m，电阻为 2R，两棒与导轨间动摩擦因数均为 ， ab 棒在水平向左拉力作用下，由静止开始12沿水平轨道做匀加速运动，同时 cd 棒由静止释放， cd 棒速度从 0 达到最大的过程中拉力做功为 W，重力加速度为 g。求：（1） cd 棒稳定状态时所受的摩擦力；（2） cd 棒速度最大时， ab 棒两端的电势差；（3） cd 棒速度从 0 达到最大的过程中， ab
24、棒克服阻力做的功。【答案】 （1） mg，方向：竖直向上（2） （3） W2mgR BL 9R2m3g2 2B4L4ab 棒两端的电势差 U I2R 。2mgR BL（3） cd 棒速度从 0 达到最大的过程中， ab 棒克服阻力做的功为 W 阻 W 摩 W 安W W 阻 2mvab2， I12 BLvab3R对棒有： BIL mg联立解得： vab ， W 阻 W 。3Rmg B2L2 9R2m3g2 2B4L417一实验小组想要探究电磁刹车的效果在遥控小车底面安装宽为 L、长为 2.5L 的 N 匝矩形线框，线框总电阻为 R，面积可认为与小车底面相同，其平面与水平地面平行，线圈上有一个可以
25、控制线圈通断的开关（被称为电磁刹车开关） ，小车总质量为 m.其俯视图如图所示，小车在磁场外行驶时的功率保持 P不变，且在进入磁场前已达到最大速度，当车头刚要进入磁场时立即撤去牵引力，同时将线圈闭合，完全进入磁场时速度恰好为零。已知有界磁场 PQ 和 MN 间的距离为 2.5L，磁感应强度大小为 B，方向竖直向上，在行驶过程中小车受到地面阻力恒为 Ff。不考虑车身其他金属部分的电磁感应现象，求：（1）小车车头刚要进入磁场时的速度大小 v0；（2）小车车头刚进入磁场时，线框中的感应电动势 E； （3）电磁刹车过程中产生的焦耳热 Q。13【答案】 （1） （2） （3） 2.5 FfLPFf NBLPFf mP22Ff2
