1、1专题 33 电磁感应中的“双杆”模型1一空间有垂直纸面向里的匀强磁场 B，两条电阻不计的平行光滑导轨竖直放置在磁场内，如图所示，磁感应强度 B0.5 T，导体棒 ab、cd 长度均为 0.2 m，电阻均为 0.1 ，重力均为 0.1 N，现用力向上拉动导体棒 ab，使之匀速上升（导体棒 ab、cd 与导轨接触良好） ，此时 cd 静止不动，则 ab 上升时，下列说法正确的是Aab 受到的拉力大小为 2 N Bab 向上运动的速度为 2 m/sC在 2 s 内，拉力做功，有 0.4 J 的机械能转化为电能D在 2 s 内，拉力做功为 0.6 J【答案】BC2粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框原先
2、整个置于有界匀强磁场内，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行，现使线框沿四个不同方向以相同速率 v 匀速平移出磁场，如图所示，线框移出磁场的整个过程A四种情况下 ab 两端的电势差都相同B图中流过线框的电荷量与 v 的大小无关C图中线框的电功率与 v 的大小成正比D图中磁场力对线框做的功与 v2 成正比【答案】B2【解析】由法拉第电磁感应定律 E/t ，闭合电路欧姆定律 IE/R，电流定义式 Iq/t 可得q /R，线框沿四个不同方向移出磁场，流过线框的电荷量与 v 的大小无关，选项 B 正确。四种情况下ab 两端的电势差不相同，选项 A 错误。 图中线框的电功率 PE 2/R，
3、EBLv，P 与 v 的二次方大小成正比，选项 C 错误；图中磁场力 FBIL，IE/R，E BL v，磁场力对线框做功 WFL，磁场力对线框做的功 与 v 成正比，选项 D 错误。 7 （多选）在如图所示的倾角为 的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小均为 B 的匀强磁场，区域的磁场方向垂直斜面向上，区域的磁场方向垂直斜面向下，磁场的宽度均为 L，一个质量为 m、电阻为 R、边长也为 L 的正方形导线框，由静止开始沿斜面 下滑，当 ab 边刚越过 GH 进入磁场区时，恰好以速度 v1 做匀速直线运动；当 ab 边下滑到 JP 与 MN 的中间位置时，线框又恰好以速度 v2 做匀速直线运动，从
4、 ab 边越过 GH 到到达 MN 与 JP 的中间位置的过程中，线框的动能变化量为 Ek，重力对线框做功大小为 W1，安培力对线框做功大小为 W2，下列说法中正确的有A在下滑过程中，由于重力做正功，所以有 v2v1B从 ab 边越过 GH 到到达 MN 与 JP 的中间位置的过程中，线框的机械能守恒C从 ab 边越过 GH 到到达 MN 与 JP 的中间位置的过程中，有 W1E k 的机 械能转化为电能D从 ab 边越过 GH 到到达 MN 与 JP 的中间位置的过程中，线框动能的变化量大小 EkW 1W 2【答案】CD8 （多选）如图甲所示，光滑绝缘水平面上，虚线 MN 的右侧存在磁感应强
5、度 B2 T 的匀强磁场，MN 的左侧有一质量 m0.1 kg 的矩形线圈 abcd，bc 边长 L10.2 m，电阻 R2 。t0 时，用一恒定拉力 F 拉线圈，使其由静止开始向右做匀加速运动，经过时间 1 s，线圈的 bc 边到达磁场边界 MN，此时立即将拉力 F 改为变力，又经过 1 s，线圈恰好完全进入磁场，整个运动过程中，线圈中感应电流 i 随时间 t3变化的图象如图乙所示。则A恒定拉力大小为 0.05 NB线圈在第 2 s 内的加速度大小为 1 m/s2C线圈 ab 边长 L20.5 mD在第 2 s 内流过线圈的电荷量为 0.2 C【答案】ABD9如图所示， “凸”字形硬质金属线
6、框质量为 m，相邻各边互相垂直，且处于同一竖直平面内，ab 边长为 l，cd 边长为 2l，ab 与 cd 平行，间距为 2l。匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面。开始时，cd 边到磁场上边界的距离为 2l，线框由静止释放，从 cd 边进入磁场直到 ef、pq 边进入磁场前，线框做匀速运动在 ef、pq 边离开磁场后，ab 边离开磁场之前，线框又做匀速运动。线框完全穿过磁场过程中产生的热量为 Q。线框在下落过程中始终处于原竖直平面内，且 ab、cd 边保持水平，重力加速度为 g。求（1）线框 ab 边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是 cd 边刚进入磁场时的几倍；（2）磁
7、场上下边界间的距离 H。4【答案】 （1）4 倍 （2） 28lQmg【解析】 （1）设磁场的磁感应强度大小为 B，cd 边刚进入磁场时，线框做匀速运动的速度为 v1，cd 边上的感应电动势为 E1，由法拉第电磁感应定律，有 E12Blv 1设线框总电阻为 R，此时线框中电流为 I1，由闭合电路欧姆定律，有 I1 E1R设此时线框所受安培力为 F1，有 F12I 1lB由于线框做匀速运动，其受力平衡，有 mgF 1由式得 v1 mgR4B2l2设 ab 边离开磁场之前，线框做匀速运动的速度为 v2，同理可得 v2 mgRB2l2由式得 v24v 1（2）线框自释放直到 cd 边进入磁场前，由机
8、械能守恒定律，有 2mgl mv 12 21线框完全穿过磁场的过程中，由能量守恒定律有 mg（2lH） mv mv Q12 2 12 21由式得 H 28l Qmg10如图所示，P、Q 为水平面内平行放置的光滑金属长直导轨，间距 L10.5 m，处在竖直向下、磁感应强度大小 B10.5 T的匀强磁场中。导体杆 ef 垂直于 P、Q 放在导轨上，在外力作用下向左做匀速直线运动。质量为 m0.1 kg 的正方形金属框 abcd 置于竖直平面内，其边长为 L20.1 m，每边电阻均为r0.1 .线框的两顶点 a、b 通过细导线与导轨相连磁感应强度大小 B21 T 的匀强磁场垂直金属框 abcd向里，
9、金属框恰好处于静止状态。不计其余电阻和细导线对 a、b 点的作用力，g 取 10 m/s2，求：（1）通过 ab 边的电流 Iab；（2）导体杆 ef 的运动速度 v。【答案】 （1）7.5 A （2）3 m/s5金属框受重力和安培力，处于静止状态，有 mgB 2IabL2B 2IdcL2，联立解得 I10 A，I ab7.5 A。（2）设导体 杆切割磁感线产生的电动势为 E，则 EB 1L1v，设 ad、dc、cb 三边电阻串联后与 ab 边电阻并联的总电阻为 R，则 R r，r3rr 3r 34根据闭合电路欧姆定律，有 I ，ER解得 v m/s3 m/s。3mgr4B1B2L1L2 30
10、.1100.140.510.50.111如图所示，在高度差为 h 的平行虚线区域内有磁感应强度为 B，方向水平向里的匀强磁场。正方形线框 abcd 的质量为 m，边长为 L（L h） ，电阻为 R，线框平面与竖直平面平行，静止于位置“”时，cd 边与磁场下边缘有一段距离 H。现用一竖直向上的恒力 F 提线框，线框由位置“”无初速度向上运动，穿过磁场区域最后到达位置“” （ab 边恰好出磁场） ，线框平面在运动中保持在竖直平面内，且 ab 边保持水平。当 cd 边刚进入磁场时，线框恰好开始匀速运动。空气阻气不计，g10 m/s 2。求： （1）线框进入磁场前距磁场下边界的距离 H；（2）线框由位
11、置“”到位置“”的过程中，恒力 F 做的功和线框产生的热量。【答案】 （1） （Fmg） （2）F（H hL ） （Fmg） （Lh）mR22B4L4（2）线框由位置“”到位置“”的过程中，恒力 F 做的功为 WF（H hL） 。6只有线框在穿越磁场的过程中才会产生热量，因此从 cd 边进入磁场到 ab 边离开磁场的过程中有F（L h）mg （Lh）Q ，所以 Q（Fmg） （Lh） 。12如图所示，四条水平虚线等间距地分布在同一竖直面上，间距为 h，在、两区间分布着完全相同，方向水平向内的磁场，磁场大小按 Bt 图变化（图中 B0 已知） 。现有一个长方形金属线框 ABCD，质量为 m，电阻
12、为 R，AB CDL ，ADBC 2h.用一轻质的细线把线框 ABCD 竖直悬挂着，AB 边恰好在区的中央。t 0（未知）时刻细 线恰好松弛，之后剪断细线，当 CD 边到达 M3N3 时线框恰好匀速运动。（空气阻力不计，g 取 10 m/s2）（1）求 t0 的值；（2）求线框 AB 边到达 M2N2 时的速率 v；（3）从剪断细线到整个线框通过两个磁场区的过程中产生的电能为多大？【答案】 （1） （2） （3） mghB20L2h2mgR m2g2R2B40L4 6gh 92 m3g2R22B40L4（2）当 CD 边到达 M3N3 时线框恰好匀速运动，速度为 v，对线框受力分析有 B0IL
13、mg，I ，ER因 CD 棒切割产生的感应电动势 EB 0 Lv，v ，mgRB20L2线框 AB 到达 M2N2 时一直运动到 CD 边到达 M3N3 的过程中线框中无感应电流产生，只受到重力作用。线框下落高度为 3h，根据动能定理得 mg3h mv2 mv2，12 127线框 AB 边到达 M2N2 时的速率为 v 。m2g2R2B40L4 6gh（ 3）线框由静止开始下落到 CD 边刚离开 M4N4 的过程中线框中产生电能为 E 电 ，线框下落高度为4.5h，根据能量守恒得重力势能减少量等于线框动能与电能之和为 mg4.5hE 电 mv2，12则 E 电 mgh 。92 m3g2R22B
14、40L413如图所示，足够长的粗糙绝缘斜面与水平面成 37放置，在斜面上虚线 aa和 bb与斜面底边平行，在 aa、bb 围成的区域有垂直斜面向上的有界匀强磁场，磁感应强度为 B1 T；现有一质量为 m10 g、总电阻为 R1 、边长 d0.1 m 的正方形金属线圈 MNPQ，让 PQ 边与斜面底边平行，从斜面上端静止释放，线圈刚好匀速穿过磁场。已知线圈与斜面间的动摩擦因数为 0.5， （取 g10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8）求：（1）线圈进入磁场区域时，受到的安培力大小；（2）线圈释放时，PQ 边到 bb的距离；（3）整个线圈穿过磁场的过程中，线圈上产生的焦耳热。【答
15、案】 （1）210 2 N （2）1 m （3）410 3 J（3）由于线圈刚好匀速穿过磁场，则磁场宽度等于 d0.1 m8QW 安 F 安 2d解得：Q410 3 J。14如图，ab 和 cd 是两条竖直放置的长直光滑金属导轨，MN 和 MN是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为 m 和 2m。竖直向上的外力 F 作用在杆 MN 上，使两杆水平静止，并刚好与导轨接触；两杆的总电阻为 R，导轨间距为 l。整个装置处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直。导轨电阻可忽略，重力加速度为 g。在 t0 时刻将细线烧断，保持 F 不变，金属杆和导轨始终接触良好。求：（1）细线烧断
16、后，任意时刻两杆运动的速度之比；（2）两杆分别达到的最大速度。【答案】 （1）21 （2） 4mgR3B2l2 2mgR3B2l2某时刻 MN 的加速度 a1 2g ，3mg mgm BIlm BIlm同时刻 MN的加速度 a2 g ，2mg2m BIl2m BIl2m因为任意 时刻两杆加速度之比总为 ，a1a2 21所以 。v1v2 a1ta2t 21（2）当 MN 和 MN的加速度为零时，速度最大。MN受力平衡有 BIl2mg，I ，EBlv 1Blv 2，ER9联立得 v1 ，v 2 。4mgR3B2l2 2mgR3B2l215如图甲所示，匀强磁场中有一矩形闭合线圈 abcd，线圈平面与
17、磁场方向垂直。已知线圈的匝数N100 ，边长 ab1.0 m、bc0.5 m，电阻 r2 。磁感应强度 B 随时间变化的规律如图乙所示，取垂直纸面向里为磁场的正方向。求：（1）3 s 时线圈内感应电动势的大小 和感应电流的方向；（2）在 15 s 内通过线圈的电荷量 q；（3）在 05 s 内线圈产生的焦耳热 Q。【答案】 （1）5 V abcda （2）10 C （3）100 J（2）在 15 s 内线圈中的感应电动势 E2 NN2t2 B2St2感应电流 I2 ，电荷量 q I2t2E2r解得 qN ，代入数据解得 q10 C 。B2Sr（3）01 s 内线圈中的感应电动势E3N N 10
18、 V3t3 B3St301 s 内线圈中的感应电流 I3 5 AE3r01 s 内线圈产生的焦耳热 Q1I rt350 J2315 s 内线圈产生的焦耳热 Q2I rt250 J2QQ 1Q 2100 J。16如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角 30的斜面上，导轨电阻不计，间距 L0.4 10m。导轨所在空间被分成区域 和，两区域的边界与斜面的交线为 MN，中的匀强磁场方向垂直斜面向下，中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为 B0.5 T。在区域中，将质量m10.1 kg、电阻 R10.1 的金属条 ab 放在导轨上，ab 刚好不下滑。然后，在区域中将质量 m20.4 kg、电阻 R20.1 的光滑导体棒 cd 置于导轨上，由静止开始下滑。cd 在滑动过程中始终处于区域的磁场中，ab、cd 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取 g10 m/s 2。问：（1）cd 下滑的过程中，ab 中的电流方向； （2）ab 刚要向上滑动时，cd 的速度 v 多大；（3）从 cd 开始下滑到 ab 刚要向上滑动的过程中，cd 滑动的距离 x3.8 m，此过程中 ab 上产生的热量 Q 是多少。【答案】 （1）a 流向 b（2）5 m/s（3）1.3 J
