1、1专题 39 有界磁场问题1 （多选）如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面为一正方形的匀强磁场区，在从 ab 边离开磁场的电子中，下列判断正确的是A从 b 点离开的电子速度最大 B从 b 点离开的电子在磁场中运动时间最长C从 b 点离开的电子速度偏转角最大D在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线一定重合【答案】AD2如图所示，为一圆形区域的匀强磁场，在 O 点处有一放射源，沿半径方向射出速率为 v 的不同带电粒子，其中带电粒子 1 从 A 点飞出磁场，带电粒子 2 从 B 点飞出磁场，不考虑带电粒子的重力，则A带电粒子 1 的比荷与带电粒子 2 的比荷的比为 31B带电粒子 1
2、 的比荷与带电粒子 2 的比荷的比为 13C带电粒子 1 与带电粒子 2 在磁场中运动时间的比为 21D带电粒子 1 与带电粒子 2 在磁场中运动时间的比为 12【答案】A【解析】带电粒子在匀强磁场中运动， r ，设圆形磁场区域的半径为 R，由几何关系得，tan 60mvqB ，tan 30 ，联立解得带电粒子的运动半径之比 ，由 知粒子 1 的比荷与带电粒子 2 的Rr1 Rr2 r1r2 13 qm vBr2比荷的比为 31，A 正确，B 错误；由 t T 知带电粒子 1 与带电粒子 2 在磁2 2 2 mqB mqB rv场中运动时间的比值为 ，C、D 错误。 t1t223r1 3r2
3、2r1r2 2311如图所示， ABC 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中 AB 为倾斜直轨道， BC 为与 AB 相切的圆形轨道，并且圆形轨道处在匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。质量相同的甲、乙、丙三个小球中，甲球带正电、乙球带负电、丙球不带电现将三个小球在轨道 AB 上分别从不同高度处由静止释放，都恰好通过圆形轨道的最高点，则A经过最高点时，三个小球的速度相等B经过最高点 时，甲球的速度最小C甲球的释放位置比乙球的高D运动过程中三个小球的 机械能均保持不变【答案】CD12如图所示，在某空间实验室中，有两个靠在一起的等大的圆柱形区域，分别存在着等大反向的匀强磁场，磁感应强度 B0.10 T，
4、磁场区域的半径 r m，左侧区域圆心为 O1，磁场方向垂直纸面向23 3里，右侧区域圆心为 O2，磁场方向垂直纸面向外，两区域切点为 C。今有质量为 m3.210 26 kg、带电荷量为 q1.610 19 C 的某种离子，从左侧区域边缘的 A 点以速度 v10 6 m/s 正对 O1的方向垂直磁场射入，它将穿越 C 点后再从右侧区域穿出。求：3（1）该离子通过两磁场区域所用的时间；（2）离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离为多大？（侧移距离指垂直初速度方向上移动的距离）【答案】 （1）4.1910 6 s（2）2 m13匀强磁场区域由一个半径为 R 的半圆和一个长为 2R、宽为
5、 的矩形组成，磁场的方向如图所R2示一束质量为 m、电荷量为 q 的粒子（粒子间的相互作用和重力均不计）以速度 v 从边界 AN 的中点 P垂直于 AN 和磁场方向射入磁场中问：（1）当磁感应强度为多大时，粒子恰好从 A 点射出？（2）对应于粒子可能射出的各段磁场边界，磁感应强度应满足什么条件？4【答案】 （1） （2）见解析2mvqR【解析】 （1）由左手定则判定，粒子向左偏转，只 能从 PA、 AC 和 CD 三段边界射出，如图所示。当粒子从 A 点射出时，运动半径 r1 由 qB1vR2 mv2r1得 B1 。2mvqR（2）当粒子从 C 点射出时，由勾股定理得：（ R r2） 2（ ）
6、 2 r ，解得 r2 R258由 qB2v ，得 B2mv2r2 8mv5qR据粒子在磁场中运动半径随磁场减弱而增大，可以判断当 B 时，粒子从 PA 段射出；2mvqR当 B 时，粒子从 AC段射出；2mvqR 8mv5qR当 B 时，粒子从 CD 段射出。 8mv5qR14带电粒子的质量 m1.710 27 kg，电荷量 q1.610 19 C，以速度 v3.210 6 m/s 沿垂直于磁场同时又垂直于磁 场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为 B0.17 T，磁场的宽度l10 cm， g 取 10 m/s2，如图所示。（1）求带电粒子离开磁场时的速度和偏转角（2）求带电粒子在磁
7、场中运动的时间以及射出磁场时偏离入射方向的距离【答案】 （1）3.210 6 m/s 30（2）3.2710 8 s 2.6810 2 m5（1）由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时速度仍为 3.2106 m/s由 qvB m 得轨迹半径 r m0.2 mv2r mvqB 1.710 273.21061.610 190.17由题图可知偏转角 满足 sin 0.5，故 30.lr（2）带电粒子在磁场中运动的周期 T2 mqB可见带电粒子在磁场中运动的时间 t T T 30360 112 m6qB 3.141.710 2761.610 190.17s3.2710 8 s离开磁场时偏离入射方向
8、的距离 d r（1cos ）0.2（1 ） m2.6810 2 m.3215如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径 A2A4为边界的两个半圆形区域、中， A2A4与 A1A3的夹角为 60.一质量为 m、电荷量为 q 的粒子以某一速度从区的边缘点 A1处沿与 A1A3成 30角的方向射入磁场，随后该粒子沿垂直于 A2A4的方向经过圆心 O 进入区，最后再从 A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为 t，求：（1）画出粒子在磁场和中的运动轨迹；（2）粒子在磁场和中的轨迹半径 R1和 R2的比值；（3）区和区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力） 。
9、【答案】 （1）见解析（2）2 1（3） ，5 m6qt 5 m3qt6（2）设粒子的入射速度为 v，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从 A4点射出，用 B1、 B2， R1、 R2， T1、 T2分别表示在磁场、区的磁感应强度、轨迹半径和周期。设圆形区域的半径为 r，已知带电粒子过圆心且垂直 A2A4进入区磁场，连接 A1A2， A1OA2为等边三角形， A2为带电粒子在区磁场中运动轨迹的圆心，其半径 R1 A1A2 OA2 r粒子在区磁场中运动的轨迹半径 R2 即 2 1。r2 R1R2（3） qvB1 m ， qvB2 m ，v2R1 v2R2T1
10、 ， T2 .2 R1v 2 mqB1 2 R2v 2 mqB2圆心角 A1A2O60 ，带电粒子在区磁场中运动的时间为 t1 T116在区磁场中运动的时间为 t2 T212带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间 t t1 t2由以上各式可得 B1 ， B2 。5 m6qt 5 m3qt16磁聚焦被广泛地应用在电真空器件中。如图所示，在坐标 xOy 中存在有界的匀强聚焦磁场，方向垂直坐标平面向外，磁场边界 PQ 直线与 x 轴平行，与 x 轴的距离为 ，边界 POQ 的曲线方程为 y23a3，且方程关于 y 轴对称在坐标 x 轴上 A 处有一粒子源，向着不同方向射出大量质量均为 m、电x a x
11、a23 x2荷量均为 q 的带正电粒子，所有粒子的初速度大小相同，均为 v，粒子通过有界的匀强磁场 后都会聚焦在x 轴上的 F 点。已知 A 点坐标为（ a,0） ， F 点坐标为（ a,0） ，不计粒子所受的重力和相互作用。7（1）求匀强磁场的磁感应强度。（2）粒子射入磁场时的速度方向与 x 轴的夹角为多大时，粒子在磁场中运动时间最长？最长时间为多少？【答案】 （1） （2） 3mvaq 3 23 a9v（2）设粒子射入磁场时的速度方向与 x 轴夹角为 时，粒子 在磁场中运动的轨迹与 PQ 相切，运动的时间最长，最长时间为 t，粒子的轨迹对应的圆心角为 ，且设此时，粒子飞出磁场时的位置坐标为
12、（ x， y） ， 由几何知识得 r y rcos23a3x rsin解得 sin ， 6032 3且 t ， 2 mqB解得 t 。2 mqB 23 a9v17一圆筒的横截面如图所示，其圆心为 O。筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B。圆筒下面有相距为 d 的平行金属板 M、 N，其中 M 板带正电荷， N 板带等量负电荷。质量为 m、电荷量为 q的带正电粒子自 M 板边缘的 P 处由静止释放，经 N 板的小 孔 S 以速度 v 沿半径 SO 方向射入磁场中。粒子与圆筒发生两次碰撞后仍从 S 孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的情况下，求：8
13、（1） M、 N 间电场强度 E 的大小；（2）圆筒的半径 R；（3）保持 M、 N 间电场强度 E 不变，仅将 M 板向上平移 d，粒子仍从 M 板边缘的 P 处由静止释放，粒23子自进入圆筒至从 S 孔射出期间，与圆筒的碰撞次数 n。【答案】 （1） （2） （3）3mv22qd 3mv3qB（2）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，运用几何关系作出圆心为 O，圆半径为 r。设第一次碰撞点为 A，由于粒子与圆筒发生两次碰撞又从 S孔射出，因此， SA 弧所对的圆心角 AOS 等于 。23由几何关系得 r Rtan 3粒子运动过程中洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律得 qvB m v2r联立式得 R 3mv3qB（3）保持 M、 N 间电场强度 E 不变， M 板向上平移 d 后，设板间电压为 U，则 U 23 Ed3 U3设粒子进入 S 孔时的速度为 v，由式看出 UU v 2v2综合式可得 v v33设粒子做圆周运动的半径为 r，则 r 3mv3qB9设粒子从 S 到第一次与圆筒碰撞期间的轨迹所对圆心角为 ，比较两式得到 r R，可见 2粒子须经过四个这样的圆弧才能从 S 孔射出，故 n3
