1、1专题 39 有界磁场问题1带电粒子在有界磁场中运动的常见情形（1）直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示）（2）平行边界（存在临界条件，如图所示）（3）圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如图所示）（4）矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。（5）三边形边界：如图所示是正 ABC 区域内某正粒子垂直 AB 方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。已知边长为 2a， D 点距 A 点 a，粒子能从 AB 间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从 AC 间射出的临界3轨迹如图乙所示。2带电粒子在有界磁场中的常用几何关系（1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直
2、线的交点。2（2）三个角：速 度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的 2 倍。3几点注意（1）当带电粒子射入磁场时的速度 v 大小一定，但射入方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径 R是确定的。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件。（2）当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入 时的速度 v 大小或磁场的磁感应强度 B 变化时，粒子做圆周运动的 轨道半径 R 随之变化可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件。4求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法由于带电粒子往往是在有
3、界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场 边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件（带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零；射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边 界 相切。），然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。（1）两种思路一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、 讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。（2）两种方法一是物理方法：利用临界条件求极值；利用问题的边界条件求极值；利
4、用矢量图求极值。二是数学方法：利用三角函数求极值；利用二次方程的判别式求极值；利用不等式的 性质求极值；利用图象法等。（3）从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示。审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。一、带电粒子在圆形磁场中的运动 3【题 1】圆心为 O、半径为 r 的圆形区域中有一个磁感强度为 B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为 L 的 O处有一竖直放置的荧屏 MN，今有一质量为 m 的电子以速率 v 从左侧沿OO方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之 P
5、 点，如图所示，求 O P 的长度和电子通过磁场所用的时间。【答案】由于原有 BP O B，可见 O、 B、 P 在同一直线上，且 O OP= AO B= ，在直角三角形 OO P 中，O P=（ L+r）tan ，而 ， Rr)2tan(，所以求得 R 后就可以求出 O P 了，电子经过磁场的时间可用 t= VRAB来求得。由 得 R=， ， 4例 2、如图，半径为 r=10cm 的匀强磁场区域边界跟 y 轴相切于坐标原点 O，磁感强度 B=0.332T，方向垂直纸面向里。在 O 处有一放射源 S，可向纸面各个方向射出速度为 v=3.2106m/s 的粒子。已知 粒子质量 m=6.6410-
6、27kg，电量 q=10-27C，试画出 粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出 粒子通过磁场空间的最大偏角。【答案】60由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角。在半径 R 一定的条件下，为使 粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长。该弦是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的弦。显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径。即 粒子应从磁场圆直径的 A 端射出。5如图，作出磁偏转角 及对应轨道圆心 O，据几何关系得 ，得 =60，即 粒子穿过磁场空间的最大偏转角为60。 例 4、如图所示，在真空中坐标 xoy 平面的 x0 区域内，有磁感强度 B=1.010-2T 的匀强磁场，方
7、向与 xoy 平面垂直，在 x 轴上的 p（10，0），点，有一放射源，在 xoy 平面内向各个方向发射速率v=1.0104m/s 的带正电的粒子，粒子的质量为 m=1.610-25kg，电量为 q=1.610-18C，求带电粒子能打到 y 轴上的范围。【答案】如图所示，当带电粒子打到 y 轴上方的 A 点与 P 连线正好为其圆轨迹的直径时， A 点既为粒子能打到y 轴上方的最高点。因 ， ，则 。 当带电粒子的圆轨迹正好与 y 轴下方相切于 B 点时， B 点既为粒子能打到 y 轴下方的最低点，易得。综上，带电粒子能打到 y 轴上的范围为： 。 三、带电粒子在长方形磁场中的运动例 5、如图，
8、长为 L间距为 d的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为 B，两板6不带电，现有质量为 m，电量为 q的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率 v 水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率 v应满足什么条件。【答案】： mBqdv4或则其圆轨迹半径为 41dR，又由 得 mBqdv41，则粒子入射速率小于 v1时可不打在板上。设粒子以速率 v2运动时，粒子正好打在右极板边缘（图中轨迹 2），由图可得 ，则其圆轨迹半径为 ，又由 得 ，则粒子入射速率大于 v2时可不打在板上。综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足： mBqdv4或 。例 6、长为 L 的水平极板
9、间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为 B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为 m，电量为 q 的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中 点处垂直磁感线以速度 v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是：A使粒子的速度 v mBqL45；C使粒子的速度 v ； D使粒子速度 qL4 L45时粒子能从右边穿出。粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在 O点，有 r2 4L，又由 r2 m Bqv= 4L得 v2 mBq v2 时粒子能从左边穿出。综上可得正确答案是 A、B。四、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动例 7、在边长为 2a 的 ABC 内存在垂直纸面向里的磁感强度为
10、 B 的匀强磁场，有一带正电 q，质量为m 的粒子从距 A 点 3的 D 点垂直 AB 方向进入磁场，如图所示，若粒子能从 AC 间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从 AC 间什么范围内射出。8【答案】见解析又由 得 ，则要粒子能从 AC 间离开磁场，其速率应大于 v1。如图所示，设粒子速率为 v2时，其圆轨迹正好与 BC 边相切于 F 点，与 AC 相交于 G 点。易知 A 点即为粒子轨迹的圆心，则 。又由 得 ，则要粒子能从 AC 间离开磁场，其速率应小于等于 v2。综上，要粒子能从 AC 间离开磁场，粒子速率应满足 。粒子从距 A 点 的 EG间射出。五、带电粒子在“宽度一定的无
11、限长磁场区域”中的运动例 8、如图所示， A、 B 为水平放置的足够长的平行板，板间距离为 d=1.010-2m， A 板中央有一电子9源 P，在纸面内能向各个方向发射速度在 03.2107m/s 范围内的电子， Q 为 P 点正上方 B 板上的一点，若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度 B=1.010-3T，已知电子的质量 m=9.110-31kg，电子电量e=1.610-19C，不计电子的重力和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地。求：（1） 沿 PQ 方向射出的电子击中 A、 B 两板上的范围。（2）若从 P 点发出的粒子能恰好击中 Q 点，则电子的发射方向（用图中 角表
12、示）与电子速度的大小 v之间应满足的关系及各自相应的取值范围。【答案】（1） 电子能击中 B 板 Q 点右侧与 Q 点相距 2.6810-3m1.010-2m 的范围。电子能击中 A板 P 点右侧与 P 点相距 02.010-2m 的范围。（2） vsin =8106，且 ，该电子运动轨迹圆心在 A 板上 H 处，恰能击中 PQ 板 M 处。随着电子速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小。击中 B 板的电子与 Q 点最远处相切于 N 点，此时电子的轨迹半径为 d，并恰能落在 A 板上 H 处。所以电子能击中 B 板 MN 区域和 A 板 PH 区域。在 MFH 中，有 ， 。电子能击中 B 板 Q
13、 点右侧与 Q 点相距 2.6810-3m1.010-2m 的范围。电子能击中 A 板 P 点右侧与 P点相距 02.010-2m 的范围。10（2）如图所示，要使 P 点发出的电子能击中 Q 点，则有 Bemvr， 2sind。解得 vsin =8106。v 取最大速度 3.2107m/s 时，有 41sin， ； v 取最小速度时有 2max，vmin=8106m/s。所以电子速度与 之间应满足 vsin =8106，且 ， 六、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动例 9、如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为 E、方向水平向右，电场宽度为 L；中
14、间区域匀强磁场的磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电量为 q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的 O 点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到 O 点，然后重复上述运动过程。求：（1）中间磁场区域的宽度 d；（2）带电粒子从 O 点开始运动到第一次回到 O 点所用时间 t。【答案】（1） （2）11可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图所示，三段圆弧的圆心组成的三角形 O1O2O3是等边三角形，其边长为 2R。所以中间磁场区域的宽度为（2）在电场中 ，在中间磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间 ，则粒子第一次回到 O 点的所用时间为 。七、带电粒子在环形
15、或有孔磁场中的运动例 10、核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为 R1=0.5m，外半径 R2=1.0m，磁场的磁感强度 B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为mq=4107C/kg，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算12（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。【答案】（1）1.510 7
16、m/s（2）1.010 7m/s由图中知 ，解得 r1=0.375m由 得所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为 v1=1.5107m/s。（2）当粒子以 v2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以 v1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图所示。由图中知由 得所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度 v2=1.0107m/s例 11、如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、 b、 c 和 d，外筒的外半径为 r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为 B。13在两极间加上电压，使两 圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为 、带电量为 q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝 a 的 S 点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压 U 应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）【答案】 mqrB2
