1、1专题 07 带电粒子在复合场中的运动1. 在如图所示的平行板器件中，匀强电场 E和匀强磁场 B 互相垂直一束初速度为 v 的带电粒子从左侧垂直电场射入后沿图中直线从右侧射出粒子重力不计，下列说法正确的是( )A若粒子沿轨迹射出，则粒子的初速度一定大于 vB若粒子沿轨迹射出，则粒子的动能一定增大C若粒子沿轨迹射出，则粒子可能做匀速圆周运动D若粒子沿轨迹射出，则粒子的电势能可能增大【答案】D2.如图 2 所示，空间存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，图中虚线为匀强电场的等势线，一不计重力的带电粒子在 M 点以某一初速度垂直等势线进入正交电磁场中，运动轨迹如图所示(粒子在 N 点的速度比在 M 点的
2、速度大)。则下列说法正确的是( )图 2A粒子一定带正电B粒子的运动轨迹一定是抛物线C电场线方向一定垂直等势面向左D粒子从 M 点运动到 N 点的过程中电势能增大【答案】C 【解析】根据粒子在电、磁场中的运动轨迹和左手定则可知，粒子一定带负电，选项 A 错误；由于洛2伦兹力方向始终与速度方向垂直，故粒子受到的合力是变力，而物体只有在恒力作用下做曲线运动时，轨迹才是抛物线，选项 B 错误；由于空间只存在电场和磁场，粒子的速度增大，说明在此过程中电场力对带电粒子做正功，则电场线方向一定垂直等势面向左，选项 C 正确；电场力做正功，电势能减小，选项 D 错误。 (2)在水平金属板间时，微粒做直线运动
3、，则：Bqv0 qUd解得： U Bd2qU1m(3)若微粒进入磁场偏转后恰与右边界相切，此时对应宽度为 D，则： Bqv0 m 且 r D解得： DmBq 2qU1m11在第象限内紧贴两坐标轴的一边长为 L 的正方形区域内存在匀强磁场，磁感应强度为 B，在第、象限 x L 区域内存在沿 y 轴负方向的匀强电场，电场强度大小为 E；在 x L 区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度为 B的矩形匀强磁场，矩形的其中一条边在直线 x L 上。一质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子(不计粒子重力)从第象限的正方形匀强磁场区域的上边界和左边界的交点处以沿 y 轴负方向的某一速度进入磁场区域，从坐标原点
4、O 沿 x 轴正方向射入匀强电场区域。图 6(1)求带电粒子射入第象限的匀强磁场时的速度大小；(2)求带电粒子从匀强电场区域射出时的坐标；(3)若带电粒子进入 x L 区域的匀强磁场时速度方向与 x 轴正方向成 45角，要使带电粒子能够回到x L 区域，则 x L 区域中匀强磁场的最小面积为多少？【答案】(1) (2)( L， ) (3)qBLm mE2qB2 2（ 2 2） B2L2B 23(2)设带电粒子从匀强电场区域射出时的纵坐标为 y1，带电粒子从坐标原点 O 沿 x 轴正方向射入匀强电场区域做类平抛运动，设带电粒子运动的加速度大小为 a，在电场区域运动的时间为 t，则有L vt， y
5、1 at2， qE ma12联立解得 y1mE2qB2所以带电粒子从匀强电场区域射出时的坐标为(L， )。mE2qB2(3)带电粒子以与 x 轴正方向成 45角的方向进入 x L 区域的匀强磁场，其速度大小v v22qBLm由 qv B m ，解得 Rv 2R 2BLB画出粒子在 x L 区域磁场中的运动轨迹，如图所示，12如图 7 所示，在 xOy 平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、 y 轴方向为电场强度的正方向)。在 t0 时刻由原点 O 发射初速度大小为 v0，方向沿 y 轴方向的带负电粒子(不计重力)。其
6、中已知 v0、 t0、 B0、 E0，且E0 ，粒子的比荷 ， x 轴上有一点 A，坐标为( ，0)。 B0v0 qm B0t0 48v0t04图 7(1)求 时带电粒子的位置坐标；t02(2)粒子运动过程中偏离 x 轴的最大距离；(3)粒子经多长时间经过 A 点。【答案】(1)( ， ) (2)( )v0t0 (3)32 t0v0t0 v0t0 32 2【解析】(1)由 T 得 T2 t02 mqB所以 ，运动了t02 T4 T4由牛顿第二定律得： qv0B0 m解得： r1 mv0qB0 v0t0所以位置坐标为( ， ) v0t0 v0t0(2)带电小球 a 从 N 点运动到 Q 点的过程
7、中，设运动半径为 R，有： qvB2 mv2R5(3)带电小球 a 在第三象限内做匀速圆周运动的周期T 2 Rv 24 l5g带电小球 a 第一次在第二象限竖直上下运动的总时间为 t0 2vg 10 l3g绝缘小球 b 平抛运 动至 x 轴上的时间为t 22hg 10 l3g两球相碰有 t n(t0 )T3 T2联立解得 n1 设绝缘小球 b 平抛的初速度为 v0，则 l v0t72解得 v0147gl16014在两个水平平行金属极板间存在着竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，其中磁感应强度的大小 B1T。一个比荷为 q/m210 2 C/kg 的带正电微粒恰好能沿水平直线以速度v1
8、110 3m/s 通过该区域，如图所示。 计算中取重力加速度 g10m/s 2。(1)求电场强度 E 的大小。(2)若极板间距足够大，另一个比荷与前者相同的带负电液滴刚好可以在板间做半径为 5m 的匀速圆周运动，求其速度 v2的大小以及在纸面内旋转的方向。【答案】(1)500V/m (2)0.1m/s 顺时针方向615如图所示，空间中有场强为 E 的匀强电场和磁感应强度为 B 的匀强磁场， y 轴为两种场的分界线，图中虚线为磁场区域的右边界。现有一质量为 m，电荷量为 q 的带电粒子从电场中坐标位置( l,0)处，以初速度 v0沿 x 轴正方向开始运动，且已知 l (重力不计)。试求：mv20
9、qE(1)带电粒子进入磁场时速度的大小。(2)若要使带电粒子能穿越磁场区域而不再返回电场中，磁场的宽度 d 应满足的条件？【答案】(1) v0 (2) d2 2 1 mv0qB【解析】(1)带电粒子在匀强电场中运动时l v0t 7(2)进入磁场后做匀速圆周运动， qvB m v2Rd R(1sin ) 解得： d 2 1 mv0qB即磁场宽度 d 2 1 mv0qB16如图所示，某空间中有四个方向垂直于纸面向里、磁感应强度的大小相同的、半径均为 R 的圆形匀强磁场区域 1、2、3、4。其中 1 与 4 相切，2 相切于 1 和 3,3 相切于 2 和 4，且第 1 个磁场区域和第 4个磁场区域
10、的竖直方向的直径在一条直线上。一质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子，静止置于电势差为U0的带电平行板(竖直放置)形成的电场中(初始位置在负极板附近)，经过电场加速后，从第 1 个磁场的最左端水平进入，并从第 3 个磁场的最下端竖直穿出。已知 tan22.50.4，不计带电粒子的重力。(1)求带电 粒子进入磁场时的速度大小。(2)试判断：若在第 3 个磁场的下面也有一电势差为 U0的带电平行板(水平放置，其小孔在第 3 个磁场的最下端的正下方)形成的电场，带电粒子能否按原路返回？请说明原因。(3)求匀强磁场的磁感应强度 B。(4)若将该带电粒子自该磁场中的某个位置以某个速度释放后恰好可在四个磁
11、场中做匀速圆周运动，则该粒子的速度大小 v为多少？【答案】(1) (2)不能 (3) (4)2qU0m 25R 2mU0q 25 2qU0m【解析】(1)根据动能定理有： qU0 mv212解得： v 2qU0m8从矩形边界 MN 到 C 点的过程中， t2 2Ra 2mRqE故所求时间 t t1 t2( 1) 。 4 2mRqE18如图 4 所示的平行板器件中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度 B10.20 T，方向垂直纸面向里，电场强度 E11.010 5 V/m， PQ 为板间中线。紧靠平行板右侧边缘 xOy 坐标系的第一象限内，有一边界线 AO，与 y 轴的夹角 AO
12、y45，边界线的上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 B20.25 T，边界线的下方有竖直向上的匀强电场，电场强度 E25.010 5 V/m。一束带电荷量q8.010 19 C、质量 m8.010 26 kg 的正离子从 P 点射入平行板间，沿中线 PQ 做直线运动，穿出平行板后从 y 轴上坐标为(0，0.4 m)的 Q 点垂直 y 轴射入磁场区，多次穿越边界线 OA。求：(1)离子运动的速度；(2)离子从进入磁场到第二次穿越边界线 OA 所需的时间。【答案】(1)5.010 5 m/s (2)8.2810 7 s【解析】(1)设正离子的速度为 v，由于沿中线 PQ 做直线运动，则有 q
13、E1 qvB1代入数据解得 v5.010 5 m/s。(2)离子进入磁场，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有 qvB2 m ，解得 r0.2 mv2r919.在竖直 xOy 平面内，第、象限存在沿 y 轴负方向的匀强电场 1，场强大小为 E1，在第、象限内，存在垂直于 xOy 平面的匀强磁场和沿 y 轴正方向的匀强电场 2，场强大小为 E2，磁场方向如图 5 所示，磁感应强度 B1 B0， B2 ，电场强度大小 E1 E2 。两质量为 m、带电荷量为 q 的粒子 a、 b 同B02 mgq时分别从第、象限的 P、 Q 两点(图中没有标 出)由静止释放后，同时进入匀强磁场和匀强电场复合场区中，且第
14、一次经过 y 轴时都过点 M(0， l)。粒子 a 在 M 点时的速度方向与 y 轴正方向成 60角，3不计两粒子间的相互作用。求：图 5(1)粒子 a 第一次在第、象限复合场中运动的时间之比；(2)粒子 b 在第象限内复合场中运动的轨迹半径。【答案】(1)14 (2)4 l【解析】(1)粒子 a 进入复合场区中，电场力和重力平衡， qE mg，粒子 a 在第象限做匀速圆周运动，画出粒子 a 的运动轨迹，如图所示，10洛伦兹力提供向心力，设粒子 a 从第象限进入第象限时的速度大小为 v，在第象限内运动的轨迹半径为 r1，则 qvB0 ，解得 r1 mv2r1 mvqB021如图所示，直线 y
15、x 与 y 轴之间有垂直于 xOy 平面向外的匀强磁场 B1，直线 x d 与 y x 间有沿 y 轴负方向的匀强电场，电场强度 E1.010 4 V/m，另有一半径 R1.0 m 的圆形匀强磁场区域，磁感应强度 B20.20 T，方向垂直坐标平面向外，该圆与直线 x d 和 x 轴均相切，且与 x 轴相切于 S 点一带负电的粒子从 S 点沿 y 轴的正方向以速度 v0进入圆形磁场区域，经过一段时间进入磁场区域 B1，且第一次进入磁场 B1时的速度方向与直线 y x 垂直粒子速度大小 v01.010 5 m/s，粒子的比荷为5.010 5 C/kg，粒子重力不计求：qm(1)坐标 d 的值(2
16、)要使粒子无法运动到 x 轴的负半轴，则磁感应强度 B1应满足的条件【答案】(1)4 m(2)0B10.11 T 或 B10.24 T11由几何关系得： d R y1 x14 m.(2)设当匀强磁场磁感应强度为 B3时，粒子从电场垂直边 界进入匀强磁场后，轨迹与 y 轴相切，粒子将无法运动到 x 轴负半轴，此时粒子在磁场中运动半径为 r1，运动轨迹如图所示：由几何关系得： r1 r1 d x12 2 2解得： r1(42 ) m2由牛顿第二定律得：qB3 v02m 2v0 2r1解得： B30.24 T.1222.如图所示，在第一 象限内有沿 y 轴负向 的匀强电场，电场强度为 E4.010
17、6 N/C.紧靠 y 轴有一方形匀强磁场区域，匀强磁场的磁感应强度 B10.2 T，方向垂直坐标平面向里在第四象限内有磁感应强度 B2 101 T，方向垂直坐标平面向外的匀强磁场 P 是 y 轴上坐标为(0,1)的一点，比荷为431.5108 C/kg 的粒子以平行于 x 轴的速度 v0从 y 轴上的 P 点射入，沿直线通过电场、磁场叠加场区域，然后经电场偏转，从 x 轴上某点 Q 点射入匀强磁场 B2，粒子刚好能够到达 y 轴上某点 C(计算结果保留两位有效数字)求：(1)粒子射出的初速度 v0以及离开 x 轴时的速度；(2)求 Q 和 C 的坐标；(3)粒子从 P 点出发再次回到 y 轴的
18、时间【答案】(1)2.010 7 m/s 4.010 7 m/s，与 x 轴成 60角(2)Q(3.7,0)， C(0，1)(3)3.7107 s【解析】(1)电场力与洛伦兹力平衡时粒子做直线运动所以 qE qv0B1 13v0 m/s2.010 7 m/s EB1 4.01060.2又因为 yl 12vytv0t vy2v0根据可得 2 vyv0 yl 3粒子离开电场时的速度v2 v04.010 7 m/s 因为 ，所以粒子离开 x 轴时与 x 轴成 60角vyv0 3(2)粒子在第四象限的匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力qvB2 m v2r14由几何关系知： r d，洛伦兹力提
19、供向心力，由牛顿第二定律得： qv1B me ，v12r解得： d ；mev1qB(3)画出速率分别为 v1和 v2的粒子离开区域的轨迹如图丙所示，速率在 v1vv2区域间射出的 粒子束宽为 y1 y2，y12 d ， y22( r2 ) (v2 ) 2mev1qB r22 d2 2meqB v22 v1225如图 6 所示，在第二象限半径为 r 的圆形区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁场边界恰好与两坐标轴相切 x 轴上切点 A 处有一粒子源，能够向 x 轴上方发射速率均为 v，质量为 m，电荷量为15 q 的粒子，粒子重力不计圆形区域磁场的磁感应强度 B1 ， y 轴右侧 0 x r
20、的范围内存在沿 y 轴mvqr负方向的匀强电场，已知某粒子从 A 处沿 y 方向射入磁场后，再进入匀强电场，发现粒子从电场右边界MN 射出，速度方向与 x 轴正方向成 45角斜向下，求：图 6(1)匀强电场的电场强度大小；(2)若在 MN 右侧某区域存在另一圆形匀强磁场 B2，发现 A 处粒子源发射的所有粒子经磁场 B1、电场 E射出后均能进入 B2区域，之后全部能够经过 x 轴上的 P 点，求圆形匀强磁场 B2的最小半径；(3)继第二问，若圆形匀强磁场 B2取最小半径，试求 A 处沿 y 方向射入 B1磁场的粒子，自 A 点运动到 x 轴上的 P 点所用的时间【答案】(1) (2) r (3)(2)mv2qr 22 3r4v粒子从电场右边界 MN 射出，速度方向与 x 轴正方向成 45斜向下，则 vy v，联立得匀强电场的电场强度大小 E .mv2qr16(3)粒子在磁场 B1中运动时间 t1 T 14 14 2 rv r2v粒子在匀强电场中运动时间 t2 ，rv粒子在无场区运动速度 v v，2粒子在无场区运动的距离 x3 r，22粒子在无场区运动的时间 t3 ，x3v r2v粒子在磁场 B2中运动时间 t4 T 14 14 2 rB2v r4v故粒子自 A 点运动到 x 轴上的 P 点的总时间t t1 t2 t3 t4(2) .3r4v
