1、1仿真模拟(一)本试卷分第卷(选择 题)和第卷(非选择题)两部分共 150分 ，考试时间 120分钟第卷一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给 出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集 U为实数集 R，已知集合 M x|x240， N x|x24 x33C x|1 x2 D x|x3 或 x0 x|x2或 x1，则 a21”的否命题是“若 a1，则 a21”B “若 am24x0成立D “若 sin ，则 ”是真命题12 6答案 D解析 “若 a1，则 a21”的否命题是“若 a1，则 a21” ，故 A错误；“若am23x，故 C错误；“若 sin ，则
2、 ”的逆否命题为“若 ，则 sin ”，12 6 6 12且其逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选 D.24根据如图所示程序框图，当输入 x为 2020时，输出的 y等于( )A2 B4 C10 D28答案 C解析 x每执行一次循环减少 2，当 x变为2 时，跳出循环 y3 x13 2110，故选 C.5已知 f(x) ，其中 e为自然对数的底数，则( )ln xxA f(2)f(e)f(3) B f(3)f(e)f(2)C f(e)f(2)f(3) D f(e)f(3)f(2)答案 D解析 f(x) ， f( x) ，令 f( x)0，解得 xe，当 x(0，e)时，ln xx 1 l
3、n xx2f( x)0，函数 f(x)单调递增，当 x(e，)时， f( x)f(3)f(2)，故选 D.ln 22 ln 33 3ln 2 2ln 36 ln 8 ln 966某广播电台只在每小时的整 点和半点开始播放新闻，时长均为 5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是( )A. B. C. D.114 112 17 16答案 D解析 由题意可知，该广播电台在一天内播放新闻的时长为 2425240 分钟，即4个小时，所以所求的概率为 ，故选 D.424 167已知等比数列 an的前 n项和为 Sn，且 a1 ， a2a68( a42)，则 S2018(
4、 )123A2 2017 B1 201712 (12)C2 2018 D1 201812 (12)答案 A解析 由等比数列的性质及 a2a68( a42)，得 a 8 a416，解得 a44.又24a4 q3，故 q2，所以 S2018 2 2017 ，故选 A.12 12 1 220181 2 128将函数 y2sin cos 的图象向左平移 ( 0)个单位长度，所得图象(x3) (x 3)对应的函数恰为奇函数，则 的最小值为( )A. B. C. D.12 6 4 3答案 B解析 根据题意可得 ysin ，将其图象向左平移 个单位长度，可得(2x23)ysin 的图象，因为该图象所对应的函
5、数恰为奇函数，所以(2x23 2 )2 k( kZ)， (kZ)，又 0，所以当 k1 时， 取得最小值，23 k2 3且 min ，故选 B.69.设 P， Q分别为 x2( y6) 22 和椭圆 y21 上的点，则 P， Q两点间的最大距x210离是( )A5 B. 2 46 2C7 D62 2答案 D解析 依题意， P， Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径 .2设 Q(x， y)，则 y21， x21010 y2，所以圆心到椭圆的最大距离 dx210 5 .所以 P， Q两点间的最大距离x2 y 6 2 9y2 12y 46 9(y 23)2 50 2是
6、 6 .故选 D.210某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )4A. B. C. D.12 22 33 23答案 D解析 由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为 2,1,1的长方体中，截去一个三棱柱 AA1D1 BB1C1和一个三棱锥 C BC1D后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥D ABC1D1，四棱锥 D ABC1D1的底面积为 S四边形 ABC1D12 2 ，高 h ，其体2 222积 V S四边形 ABC1D1h 2 .故选 D.13 13 2 22 2311若 P是函数 f(x)( x1)ln (x1)图象上的动点，点 A(1，1)，则直线 AP斜率的取值范围为( )A
7、1，) B0,1C(e 1 ，e D(，e 1 答案 A解析 由题意可得， f( x)ln (x1)1，结合函数 f(x)的定义域可知， f(x)在上单调递减，在 上单调递增，且 f 1，绘制( 1， 11e) ( 1 1e， ) ( 1 1e) 1ef(x)大致图象如图所示，当直线 AP与函数 f(x)的图象相切时直线 AP的斜率取得最小值设切点坐标( x0，( x01)ln (x01)，则切线的斜率 kln (x01)1，切线方程为y( x01)ln (x01) ln (x01)1( x x0)，则切线过点(1，1)，则1( x01)ln (x01)ln (x01)1(1 x0)，解得 x
8、00，则切线的斜率 kln (x01)11.综上可得，直线 AP斜率的取值范围为1，)，故选 A.512已知函数 f(x)为 R上的奇函数，且图象关于点(2,0)对称，且当 x(0,2)时， f(x) x3，则函数 f(x)在区间2018,2021上( )A无最大值 B最大值为 0C最大值为 1 D最大值为1答案 C解析 因为函数 f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以 f(4 x) f(x)又函数 f(x)是奇函数，所以 f( x) f(x)，所以 f(4 x) f( x)令 t x，得 f(4 t) f(t)，所以函数 f(x)是周期为 4的周期函数又函数 f(x)的定义域为 R，且函数
9、 f(x)是奇函数，所以 f(0)0， f(2) f(2)，由函数 f(x)的周期为 4，得 f(2) f(2)，所以 f(2) f(2)，解得 f(2)0.所以 f(2)0.依此类推，可以求得 f(2n)0( nZ)作出函数f(x)的大致图象如图所示，根据周期性，可得函数 f(x)在区间2018,2021上的图 象与在区间2,1上的图象完全一样. 观察图象可知，函数 f(x)在区间(2,1上单调递增，且 f(1)1 31，又 f(2)0，所以函数 f(x)在区间2,1上的最大值是 1，故函数 f(x)在区间 2018,2021上的最大值也是 1.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 1321
10、题为必考题，每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答6二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分13已知单位向量 e1， e2，且 e1， e2 ，若向量 a e12 e2，则| a|_.3答案 3解析 因为| e1| e2|1， e1， e2 ，所以| a|2| e12 e2|214| e1|e2|cos34| e2|21411 43，即| a| .3 12 314设变量 x， y满足约束条件Error!则 z2 x2 y的取值范围为_答案 6，)解析 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示目标函数 z2 x2 y可化为 y x z，直线的纵截距与 z
11、同号，故当直线 y x12z经过点 A(3,0)时，纵截距取得最小值， z也取得最小值，为 23206，随着直线12y x z向上移动，纵截距变大， z也随之变大，但取不到最大值，所以 z2 x2 y的12取值范围为6，)15若直线 l： ax3 y120( aR)与圆 M： x2 y24 y0 相交于 A， B两点，且 ABM的平分线过线段 MA的中点，则实数 a_ _.答案 3解析 如图，易知直线 l过定点(0,4)，且该点在圆 M上，即直线 l与圆 M的一个交点是 A(0，4)圆 M的圆心 M(0,2)，半径 r2.在 MAB中， MA MB2，又 ABM的平分线过线段 MA的中点，由平
12、面几何知识，得 MAB为正三角形，则 ABM60.于是直线 l的倾斜角为 30或 150，斜率 k ，所以 ，即 a .33 a3 33 3716对任一实数序列 A a1， a2， a3，定义新序列 A( a2 a1， a3 a2， a4 a3，)，它的第 n项为 an1 an.假定序列 ( A)的所有项都是 1，且 a12 a220，则 a2_.答案 100解析 令 bn an1 an，依题意知数列 bn为等差数列，且公差为 1，所以bn b1( n1)1，a1 a1，a2 a1 b1，a3 a2 b2，an an1 bn1 ，累加得 an a1 b1 bn1 a1( n1) b1 n 1
13、n 22( n1) a2( n2) a1 ， n 1 n 22分别令 n12， n22，得Error! 解得 a1 ， a2100.2312三、解答题：共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 12分)已知 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且tan Atan B.3cacosB(1)求角 A的大小；(2)设 AD为 BC边上的高， a ，求 AD的取值范围3解 (1)在 ABC中， tan Atan B，3cacosB ，3sinCsinAcosB sinAcosA sinBcosB即 ，3sinCsinAcosB sinAcosB sinBc
14、osAcosAcosB ，则 tanA ， A .3sinA 1cosA 3 3(2) S ABC ADBC bcsinA，12 128 AD bc.12由余弦定理得 cosA ，12 b2 c2 a22bc 2bc 32bc05.024，所以能在犯错误的概率不超过 0.025的前提下认为主要的休闲方式与性别有关(3)主要的休闲方式为看电视的共 60人，按分层抽样的方法选取 6人，则男性有9202 人，可记为 A， B，女性有 404 人，可记为 c， d， e， f.660 660现从 6人中选取 2人，总的基本事件有AB， Ac， Ad， Ae， Af， Bc， Bd， Be， Bf， c
15、d， ce， cf， de， df， ef，共 15个，选取的 2人恰好都是女性的基本事件有 cd， ce， cf， de， df， ef，共 6个，故所求概率 P .615 2519. (本小题满分 12分)如图，在四面体 ABCD中， AC6， BA BC5， AD CD3 .2(1)求证： AC BD；(2)当四面体 ABCD的体积最大时，求点 A到平面 BCD的距离解 (1)证明：如图，取 AC的中点 O，连接 OB与 OD， BA BC， AC OB， AD CD， AC OD，又 OD OB O， AC平面 OBD，又 BD平面 OBD， AC BD.(2)由题可知，当四面体 AB
16、CD的体积最大时，平面 DAC平面 ABC， DO AC， DO平面 ABC，又 OB平面 ABC， DO OB， DA DC3 ， AC6， AB BC5，2 OD 3，DA2 OA2 18 9OB 4，AB2 OA2 25 9 DB 5，OB2 OD2 16 9又 BC5，在 BCD中， CD边上的高h ，BC2 (CD2)2 25 184 82210 S BCD CDh 3 ，12 12 2 822 3412S ABC ACOB 6412.12 12设点 A到平面 BCD的距离为 d， VA BCD VD ABC，即 S BCDd S ABCOD，13 13 d ，S ABCODS BC
17、D 1233412 244141点 A到平面 BCD的距离为 .24414120(本小题满分 12分)已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，准线为 l，过焦点F的直线交 C于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，且 y1y24.(1)求抛物线 C的方程；(2)如图，点 B在准线 l上的投影为 E， D是 C上一点，且 AD EF，求 ABD面积的最小值及此时直线 AD的方程解 (1)依题意 F ，(p2， 0)当直线 AB的斜率不存在时， y1y2 p24， p2.当直线 AB的斜率存在时，设 AB： y k ，(xp2)由Error! 化简得 y2 y p20.2pk
18、由 y1y24 得 p24， p2.综上所述，抛物线方程为 y24 x.(2)设 D(x0， y0)， B ，则 E(1， t)，又由 y1y24，可得 A .(t24， t) (4t2， 4t)因为 kEF ， AD EF，t211所以 kAD ，故直线 AD： y ，2t 4t 2t(x 4t2)化简得 2x ty4 0.8t2由Error! 化简得 y22 ty8 0，16t2所以 y1 y02 t， y1y08 .16t2所以| AD| |y1 y0|1 t24 1 t24 y1 y0 2 4y1y0 .4 t2t2 16t2 8设点 B到直线 AD的距离为 d，则d .|t22 t2 4 8t2|4 t2|t2 16t2 8|24 t2所以 S ABD |AD|d 16，当且仅当 t416，即 t2 时取最小12 14 (t2 16t2 8)3值当 t2 时，直线 AD： x y30；当 t2 时，直线 AD： x y30.21(本小题满分 12分)已知函数 f(x)e x x a(其中 aR，e 为自然对数的底数，e2.71828)(1)若 f(x)0 对任意的 xR 恒成立，求实数 a的取值范围；(2)设 t为整数，对于任意正整数 n， n n n n0 时， x0； f( x)e x10， 0， t21 3 t. t 3 t2 1t 3t
