1、1第 2 讲 导数及其应用配套作业一、选择题1(2018成都模拟)已知函数 f(x) x33 ax ，若 x 轴为曲线 y f(x)的切线，则14a的值为 ( )A. B 12 12C D.34 14答案 D解析 f( x)3 x23 a，设切点坐标为( x0,0)，则Error!解得 Error!故选 D.2(2018赣州一模)函数 f(x) x2ln x 的递减区间为( )12A(，1) B(0,1)C(1，) D(0，)答案 B解析 f(x)的定义域是(0，)，f( x) x ，1x x2 1x令 f( x)0，解得 0 x1，故函数 f(x)在(0,1)上递减故选 B.3(2018安徽
2、示范高中二模)已知 f(x) ，则( )ln xxA f(2) f(e) f(3) B f(3) f(e) f(2)C f(3) f(2) f(e) D f(e) f(3) f(2)答案 D解析 f(x)的定义域是(0，)，因为 f( x) ，所以 x(0，e)， f( x)0；1 ln xx2x(e，)， f( x)f(3)f(2)故选 D.4(2018安徽芜湖模拟)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f( x)，且函数y(1 x)f( x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )2A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值
3、f(1)C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)答案 D解析 当 x2 时，1 x0.(1 x)f( x)0， f( x)0，即 f(x)在(，2)上是增函数当2 x1 时，1 x0.(1 x)f( x)0， f( x)0，即 f(x)在(2,1)上是减函数当 1 x2 时，1 x0.(1 x)f( x)0， f( x)0，即 f(x)在(1,2) 上是减函数当 x2 时，1 x0.(1 x)f( x)0， f( x)0，即 f(x)在(2，)上是增函数综上， f(2)为极大值， f(2)为极小值5(2018河南八校联考)已知 f
4、(x) x2cos x， f( x)为 f(x)的导函数，则 f( x)的14图象大致为( )答案 A解析 因为 f(x) x2cos x，所以 f( x) xsin x，这是一个奇函数，图象关于14 12原点对称，故排除 B，D，又 f(1) sin1 sin 0， f(2)1sin20，所12 12 4以 f( x)的图象大致为 A.6已知 f(x) ax3， g(x)9 x23 x1，当 x1,2时， f(x) g(x)恒成立，则 a 的取值范围为( )A a11 B a11 3C a D a418 418答案 A解析 f(x) g(x)恒成立，即 ax39 x23 x1. x1,2，
5、a .令 t，则当 t 时， a9 t3 t2 t3.令 h(t)9x 3x2 1x3 1x 12， 19 t3 t2 t3， h( t)96 t3 t23( t1) 212. h( t)在 上是增函12， 1数 h( t)min h 120. h(t)在 上是增函数 a h(1)11，故选 A.(12) 34 12， 17(2018宝鸡二检)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)4，且 f(x)的导函数f( x)3ln x1 可以转化为 f(ln x)3ln x10，即 g(ln x)0 g(1)，所以Error!解得 0 xe.二、填空题8(2018陕西一检)已知曲线 y xln
6、 x 在点(1,1)处的切线为 l，若 l 与曲线y ax2( a2) x1 相切，则 a_.答案 8解析 因为 y xln x，所以 y1 ，所以 y x1 2，故曲线 y xln x 在点1x(1,1)处的切线方程为 y2 x1，与 y ax2( a2) x1 联立，可得ax2 ax20， a28 a0，所以 a0(舍)或 a8，所以 a8. 9已知函数 f(x) .若函数 f(x)在区间 (t0)上不是单调函数，则1 ln xx (t， t 12)实数 t 的取值范围为_ _答案 t112解析 f( x) (x0)，由 f( x)0，得 0 x1；由 f( x)0，得 x1.ln xx2
7、所以 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调 递减因为函数 f(x)在区间(t 0)上不是单调函数，所以Error!解得 t1.(t， t12) 1210(2018广西三市调研)已知函数 f(x) axln x，当 x(0，e(e 为自然常数)时，函数 f(x)的最小值为 3，则 a 的值为_答案 e 2解析 易知 a0，由 f( x) a 0，得 x ，当 x 时， f( x)1x ax 1x 1a (0， 1a)40， f(x)单调递减；当 x 时， f( x)0， f(x)单调递增， f(x)在 x 时取(1a， ) 1a得最小值 f 1ln .当 0 e 时，由 1ln 3，
8、得 ae 2，符合题意；当(1a) 1a 1a 1ae 时， x(0，e， f(x)min f(e)，即由 aeln e3，得 a ，舍去1a 4e三、解答题11(2018河北七校联考)已知函数 f(x) x2(2 a2) x(2 a1)ln x.12(1)若曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线的斜率小于 0，求 f(x)的单调区间；(2)若对任意的 a ，函数 g(x) f(x) 在区间1,2上为增函数，求 的取32， 52 x值范围解 (1) f( x) x(2 a2)2a 1x (x0)， x 2a 1 x 1x若曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线的斜率小于 0，则
9、 f(2) a ，2 a121，12 12由 f( x)0 得 02a1；由 f( x)0，则 x1，令 f( x)0 时， x 时， f( x)0，(1a， )若 e，即 00，即 0 时， x 时， f( x)0，1a 1e (0， 1a) (1a， e即 f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，(0，1a) (1a， e则 f(x)min f a aln 0，得 0)，f( x)2 x2 0，1x 2x2 2x 1x x 1 2 x2x所以 f(x)在区间(0，)上单调递增7(2)f( x)2 x2 a ，1x 2x2 2ax 1x由题意得， x1和 x2是方程 2x22 ax10 的两
10、个不相等的正实根，则Error!解得 a，22ax12 x 1,2 ax22 x 1.21 2由于 ，所以 x1 ， x2 .a2 22 (0， 22) (22， )所以 2f(x1) f(x2)2( x 2 ax1ln x1)( x 2 ax2ln x2)21 22 x x 4 ax12 ax2ln x22ln x12 x x ln 1 x ln 21 2 21 2x2x21 12x2 21 x ln x 2ln 21.x32 x1x2 2 12x2 2 32 2令 t x ， g(t) t ln t2ln 21，则 g( t) 1 2(t12) 12t 32 12t2 32t ，2t2 3
11、t 12t2 2t 1 t 12t2当 1 时， g( t)0.12所以 g(t)在 上单调递减，在(1，)上单调递增，(12， 1)则 g(t)min g(1) ，1 4ln 22所以 2f(x1) f(x2)的最小值为 .1 4ln 2215(2018北京高考)设函数 f(x) ax2(3 a1) x3 a2e x.(1)若曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线斜率为 0，求 a；(2)若 f(x)在 x1 处取得极小值，求 a 的取值范围解 (1)因为 f(x) ax2(3 a1) x3 a2e x，所以 f( x) ax2( a1) x1e x.f(2)(2 a1)e 2，由题
12、设知 f(2)0，即(2 a1)e 20，解得 a .12(2)解法一：由(1)得 f( x) ax2( a1) x1e x( ax1)( x1)e x.若 a1，则当 x 时， f( x)0.所以 f(x)在 x1 处取得极小值若 a1，则当 x(0,1)时， ax1 x10.所以 1 不是 f(x)的极小值点综上可知， a 的取值范围是(1，)8解法二： f( x)( ax1)( x1)e x.(1)当 a0 时，令 f( x)0 得 x1.f( x)， f(x)随 x 的变化情况如下表：x (，1) 1 (1，)f( x) 0 f(x) 极大值 f(x)在 x1 处取得极大值，不符合题意
13、(2)当 a0 时，令 f( x)0 得 x1 ， x21.1a当 x1 x2，即 a1 时， f( x)( x1) 2ex0， f(x)在 R 上单调递增， f(x)无极值，不合题意当 x1x2，即 01 时， f( x)， f(x)随 x 的变化情况如下表：x ( ， 1a) 1a (1a， 1) 1 (1，)f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 f(x)在 x1 处取得极小值，即 a1 满足题意(3)当 a0 时，令 f( x)0 得 x1 ， x21.1af( x)， f(x)随 x 的变化情况如下表：x ( ， 1a) 1a (1a， 1) 1 (1，)f( x) 0 0 f(x) 极小值 极大值 f(x)在 x1 处取得极大值，不符合题意综上所述， a 的取值范围为(1，)
