1、1高难拉分攻坚特训(三)1若函数 f(x) ax x2ln x 存在极值，且这些极值的和不小于 4ln 2，则 a 的取值范围为( )A2，) B2 ， )2C2 ，) D4，)3答案 C解析 f( x) a2 x ，因为 f(x)存在极值，所以 f( x)0 在1x 2x2 ax 1x(0，)上有根，即 2x2 ax10 在(0，)上有根，所以 a280，显然当 0 时， f(x)无极值，不符合题意，所以 a280，即 a2 或 a0，则12 a2f(x1)， f(x2)为 f(x)的极值，所以 f(x1) f(x2)( ax1 x ln x1)( ax2 x ln x2)21 2 a(x1
2、 x2)( x x )(ln x1ln x2) ln 24ln 2，所以 a2 .综21 2a22 (a24 1) 3上， a 的取值范围为2 ， )，选 C.32已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且( a2 b2 c2)(acosB bcosA) abc，若 a b2，则 c 的取值范围为_答案 1,2)解析 由 sinAcosBsin BcosAsin( A B)sin C 及正弦定理，可知acosB bcosA c，则由( a2 b2 c2)(acosB bcosA) abc，得 a2 b2 c2 ab，由余弦定理可得 cosC ，则 C ， B A，1
3、2 3 23由正弦定理 ，得 ，又 a b2，所以asinA bsinB csinC asinA bsin(23 A) csin 3 2，即 c ，因为 A ，所以csinA32csin(23 A)32 3sinA sin(23 A) 1sin(A 6) (0， 23)A ，sin ，则 c1，2) 6 ( 6， 56) (A 6) (12， 13已知圆 C： x2 y22 x0，圆 P 在 y 轴的右侧且与 y 轴相切，与圆 C 外切(1)求圆心 P 的轨迹 的方程；(2)过点 M(2,0)，且斜率为 k(k0)的直线 l 与 交于 A， B 两点，点 N 与点 M 关于 y轴对称，记直线
4、AN， BN 的斜率分别为 k1， k2，是否存在常数 m，使得 为定值？1k21 1k2 mk2若存在，求出该常数 m 与定值；若不存在，请说明理由解 (1)圆 C 的方程可化为( x1) 2 y21，则圆心 C(1，0)，半径 r1.设圆心 P 的坐标为( x， y)(x0)，圆 P 的半径为 R，由题意可得Error!2所以| PC| x1，即 x1 ，整理得 y24 x. x 1 2 y2所以圆心 P 的轨迹 的方程为 y24 x(x0)(2)由已知，直线 l 的方程为 y k(x2)，不妨设 t ，则直线 l 的方程为1ky (x2)，即 x ty2.1t联立，得Error!消去 x
5、，得 y24 ty80.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!因为点 M(2,0)与点 N 关于 y 轴对称，所以 N(2,0)，故 k1 ，所以 t ，y1x1 2 1k1 x1 2y1 ty1 2 2y1 4y1同理，得 t ，1k2 4y2所以 2 21k21 1k2 mk2 (t 4y1) (t 4y2) mk22 t28 t 16 mt2(1y1 1y2) (1y21 1y2)2 t28 t 16 mt2y1 y2y1y2 y1 y2 2 2y1y2 y1y2 22 t28 t 16 mt24t 8 4t 2 2 8 8 22 t24 mt2(2 m)t24，要
6、使该式为定值，则需 2 m0，即 m2，此时 定值为 4.所以存在常数 m2， 使得 为定值，且定值为 4.1k21 1k2 mk24已知函数 f(x) xln x x， g(x) x2 ax(aR)a2(1)若 f(x)和 g(x)在(0，)有相同的单调区间，求 a 的取值范围；(2)令 h(x) f(x) g(x) ax(aR)，若 h(x)在定义域内有两个不同的极值点求 a 的取值范围；设两个极值点分别为 x1， x2，证明： x1x2e 2.解 (1) f(x) xln x x，函数 f(x)的定义域为(0，)，f( x)ln x，3即 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调
7、递增g(x) x2 ax (x22 x)，对称轴为 x1，a2 a2若在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，则 g(x)开口向上， a0， a 的取值范围为(0，)(2)依题意，函数 h(x)的定义域为(0，)，h( x)ln x ax，所以 h( x)0 在(0，)有两个不同根，即方程 ln x ax0 在(0，)有两个不同根，转化为 y1ln x 与 y2 ax 的图象在(0，) 上有两个不同交点，如图可见，若令 过原点且切于函数 y1ln x 图象的直线斜率为 k，只需 0x2，作差得 ln a(x1 x2)，即 a ，x1x2 ln x1x2x1 x2原不等式 x1x2e2等价于4ln x1ln x22a(x1 x2)2ln ，x1x22 x1 x2x1 x2令 t，则 t1.x1x2ln ln t ，x1x22 x1 x2x1 x2 2 t 1t 1设 F(t)ln t ， t1.2 t 1t 1F( t) 0， t 1 2t t 1 2 F(t)在(1，)上单调递增， F(t)F(1)0，即不等式 ln t 成立，2 t 1t 1故不等式 x1x2e2成立
