1、1高难拉分攻坚特训(七)1设 F 为抛物线 C： y22 px(p0)的焦点，曲线 y (k0)与 C 交于点 A，直线 FA 恰kx与曲线 y (k0)相切于点 A， FA 交 C 的准线于点 B，则 等于( )kx |FA|BA|A. B. C. D.14 13 23 34答案 B解析 由Error!解得Error! 由 y ，得 y ，所以 kFA ，kx kx232pkk32pk p2 kk234p2k2化简得 k ，所以 xA ， ，故选 B.p242 k32pk p4 |FA|AB| |xF xA|xA xB|p2 p4p4 ( p2) 132已知三棱锥 A BCD 中， AB A
2、C BC2， BD CD ，点 E 是 BC 的中点，点 A 在2平面 BCD 上的射影恰好为 DE 的中点，则该三棱锥外接球 的表面积为_答案 6011解析 解法一： BCD 为等腰直角三角形，其外接圆圆心为 BC 中点 E，外接球的球心在过 E 点且垂直于平面 BCD 的直线与 AD 垂直平分线的交点处以 E 为原点， DE 所在直线为 x 轴，过点 E 且垂直于平面 BCD 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则E(0，0)， D(1,0)， A ，(12， 112)设 AD 中点为 F，则 F ，(34， 114) kAD ，11直线 AD 的中垂线方程为 y ，114 1111(x
3、34)即 y x ， R .1111 21111 1 (21111)2 1511 S4 R2 .6011解法二： BCD 为等腰直角三角形， E 是其外接圆的圆心，2点 A 在平面 BCD 上的射影恰好为 DE 的 中点 F，则 BF ，1 14 52 AF .22 54 112设球心 O 到平面 BCD 的距离为 h，则1 h2 2，14 (112 h) h ， R ，21111 1 411 1511 S 球 4 R2 .60113已知圆 O： x2 y24，点 F(1,0)， P 为平面内一动点，以线段 FP 为直径的圆内切于圆 O，设动点 P 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；
4、(2)M， N 是曲线 C 上的动点，且直线 MN 经过定点 ，问在 y 轴上是否存在定点(0，12)Q，使得 MQO NQO，若存在，请求出定点 Q，若不存在，请说明理由解 (1)设 PF 的中点为 S，切点为 T，连接 OS， ST，则| OS| SF| OT|2，取 F 关于 y 轴的对称点 F，连接 F P，所以| PF|2| OS|，故| F P| FP|2(| OS| SF|)4，所以点 P 的轨迹是以 F， F 分别为左、右焦点，且长轴长为 4 的椭圆，则曲线 C 方程为 1.x24 y23(2)假设存在满足题意的定点 Q，设 Q(0， m)，当直线 MN 的斜率存在时，设直线
5、MN 的方程为 y kx ， M(x1， y1)， N(x2， y2)12联立，得Error!消去 y，得(34 k2)x24 kx110，则 0， x1 x2 ， x1x2 ， 4k3 4k2 113 4k2由 MQO NQO，得直线 MQ 与 NQ 的斜率之和为零，易知 x1或 x2等于 0 时，不满足题意，故3 y1 mx1 y2 mx2 kx1 12 mx1 kx2 12 mx2 0，2kx1x2 (12 m) x1 x2x1x2即 2kx1x2 (x1 x2)2 k 0，当 k0(12 m) 113 4k2 (12 m) 4k3 4k2 4k m 63 4k2时 ， m6，所以存在定
6、点(0,6)，使得 MQO NQO；当 k0 时，定点(0,6)也符合题意易知当直线 MN 的斜率不存在时，定点(0,6)也符合题意综上，存在定点(0,6)，使得 MQO NQO.4已知函数 f(x) .x2 ax aex(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 x0 时， f(x)2 恒成立，求实数 a 的取值范围解 (1)由题意知， f( x) ， x 2 x aex当 a0 得 a2，所以 f(x)在(， a)，(2，)上单调递减，在( a,2)上单调递增；当 a2 时， f(x)在 R 上单调递减；当 a2 时，由 f( x)0，得 2a，所以 f(x)在(2， a)上单调递增，在(
7、，2)，( a，)上单调递减(2)由 f(x)2 在0，)上恒成立，得 x2 ax a2e x在0，)上恒成立，令 (x) x2 ax a2e x(x0，)，则 ( x)2 x a2e x，令 p(x) 2 x a2e x(x0，)，则 p( x)22e x0，所以 p(x)在0，)上为减函数， p(x) p(0) a2.当 a2 时， p(x)0，即 ( x)0， (x)在0，)上为减函数，则 (x) (0)，所以 (0)0，即 a20，得2 a2.当 a2 时， g( x)32e x0，所以 p(x)2 x a2e x在0，)上有唯一零点，设为 m，在(0， m)上， p(x)0，即 ( x)0， (x)单调递增，在( m，)上， p(x)0)，则 h( x)2e x10，所以 h(x)h(0)20，4所以 2em m0，所以由 (m)( m2)(2e m m)0 得 0m2，记 t(x)2 x2e x，则 t( x)22e x，当 0x2 时，易知 t( x)0，所以 t(x)在(0,2上是减函数，故 42e 2 a2.综上，实数 a 的取值范围为42e 2,2
