1、1高考大题专项六 高考中的概率、统计与统计案例1.(2019 届河北唐山摸底考试,18)某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件,尺寸在223,228内(单位:mm)的零件为一等品,其余为二等品 .在两种工艺生产的零件中,各随机抽取 10 个,其尺寸的茎叶图如图所示:(1)分别计算抽取的两种工艺生产的零件尺寸的平均数;(2)已知甲工艺每天可生产 300 个零件,乙工艺每天可生产 280 个零件,一等品利润为 30 元 /个,二等品利润为 20 元 /个 .视频率为概率,试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高?2.我国是世界上严重缺水的国家,城市缺水问题较为突出,某市政府为了鼓
2、励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准 x(单位:吨),用水量不超过x 的部分按平价收费,超过 x 的部分按议价收费,为了了解全市市民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了 100 位居民某年的月用水量(单位:吨),将数据按照0,0 .5),0.5,1),4,4.5分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图 .(1)求直方图中 a 的值;(2)已知该市有 80 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数,并说明理由;(3)若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x(单位:吨),估计 x 的值,并说明理由 .3.(2019 届
3、广西南宁、玉林、贵港等摸底考试,18)某地区某农产品近几年的产量统计如表:年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017年份代码 t 1 2 3 4 5 6年产量 y(万吨) 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4(1)根据表中数据,建立 y 关于 t 的线性回归方程 y=bt+a;(2)根据线性回归方程预测 2019 年该地区该农产品的年产量 .2附:对于一组数据( t1,y1),(t2,y2),(tn,yn),其回归直线 y=bt+a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为: b= ,a= -b.(参考数据: (ti-)(yi- )=2.8,计算结果保留小数点后两=1(-)
4、(-)=1(-)2 6=1 位)4.为响应阳光体育运动的号召,某县中学生足球活动正如火如荼地开展,该县为了解本县中学生的足球运动状况,根据性别采取分层抽样的方法从全县 24 000 名中学生(其中男生 14 000 人,女生 10 000 人)中抽取 120 名,统计他们平均每天足球运动的时间,如下表:(平均每天足球运动的时间单位为小时,该县中学生平均每天足球运动的时间范围是0,3)男生平均每天足球运动的时间分布情况:平均每天足球运动的时间 0,0.5) 0.5,1) 1,1.5) 1.5,2) 2,2.5) 2.5,3人数 2 3 28 22 10 x女生平均每天足球运动的时间分布情况:平均
5、每天足球运动的时间 0,0.5) 0.5,1) 1,1.5) 1.5,2) 2,2.5) 2.5,3人数 5 12 18 10 3 y(1)请根据样本估算该校男生平均每天足球运动的时间(结果精确到 0.1);(2)若称平均每天足球运动的时间不少于 2 小时的学生为“足球健将” .低于 2 小时的学生为“非足球健将” . 请根据上述表格中的统计数据填写下面 22 列联表,并通过计算判断,能否有 90%的把握认为是否为“足球健将”与性别有关?足球健将 非足球健将 总计男生女生总计 若在足球活动时间不足 1 小时的男生中抽取 2 名代表了解情况,求这 2 名代表都是足球运动时间不足半小时的概率 .参
6、考公式: 2= ,其中 n=a+b+c+d.(-)2(+)(+)(+)(+)P( 2k0) 0.10 0.05 0.010k0 2.706 3.841 6.63535.(2019 届湖南长沙雅礼中学一模,19)某校决定为本校上学所需时间不少于 30 分钟的学生提供校车接送服务 .为了解学生上学所需时间,从全校 600 名学生中抽取 50 人统计上学所需时间(单位:分钟),将 600 人随机编号为 001,002,600,抽取的 50 名学生上学所需时间均不超过 60 分钟,将上学所需时间按如下方式分成六组,第一组上学所需时间在0,10),第二组上学所需时间在10,20),第六组上学所需时间在5
7、0,60,得到各组人数的频率分布直方图,如下图:(1)若抽取的 50 个样本是用系统抽样的方法得到,且第一个抽取的号码为 006,则第五个抽取的号码是多少?(2)若从 50 个样本中属于第四组和第六组的所有人中随机抽取 2 人,设他们上学所需时间分别为a、 b,求满足 |a-b|10 的事件的概率;(3)设学校配备的校车每辆可搭载 40 名学生,请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车?6.在国际风帆比赛中,成绩以低分为优胜,比赛共 11 场,并以最佳的 9 场成绩计算最终的名次 .在一次国际风帆比赛中,前 7 场比赛结束后,排名前 8 位的选手积分如下表:比赛场次运动员1 2 3 4 5
8、 6 7 8 9 10 11 总分A 3 2 2 2 4 2 6 21B 1 3 5 1 10 4 4 28C 9 8 6 1 1 1 2 28D 7 8 4 4 3 1 8 35E 3 12 5 8 2 7 5 42F 4 11 6 9 3 6 8 47G 10 12 12 8 12 10 7 71H 12 12 6 12 7 12 12 734(1)根据表中的比赛数据,比较 A 与 B 的成绩及稳定情况;(2)从前 7 场平均分低于 6.5 的运动员中,随机抽取 2 个运动员进行兴奋剂检查,求至少 1 个运动员平均分不低于 5 分的概率;(3)请依据前 7 场比赛的数据,预测冠亚军选手,并
9、说明理由 .7.(2019 届四川成都石室中学入学考试,19)某服装店对过去 100 天其实体店和网店的销售量(单位:件)进行了统计,制成频率分布直方图如下:(1)若将上述频率视为概率,已知该服装店过去 100 天的销售中,实体店和网店销售量都不低于 50件的概率为 0.24,求过去 100 天的销售中,实体店和网店至少有一边销售量不低于 50 件的天数;(2)若将上述频率视为概率,已知该服装店实体店每天的人工成本为 500 元,门市成本为 1 200 元,每售出一件利润为 50 元,求该门市一天获利不低于 800 元的概率;(3)根据销售量的频率分布直方图,求该服装店网店销售量中位数的估计值
10、(精确到 0.01).8.(2019 届贵州铜仁一中一联,19)贵州省铜仁第一中学为弘扬优良传统,展示 80 年来的办学成果,特举办“建校 80 周年教育成果展示月”活动 .现在需要招募活动开幕式的志愿者,在众多候选人中选取 100 名志愿者,为了在志愿者中选拔出节目主持人,现按身高分组,得到的频率分布表如图所示 .5频率分布直方图组号 分组 频数 频率第 1 组 160,165) 5 0.05第 2 组 165,170) 0.35第 3 组 170,175)第 4 组 175,180) 20 0.20第 5 组 180,185) 10合计 100 1.00(1)请补充频率分布表中空白位置相应
11、数据,再完成下列频率分布直方图;(2)为选拔出主持人,决定在第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 人上台,求第 3、4、5 组每组各抽取多少人?(3)在(2)的前提下,主持人会在上台的 6 人中随机抽取 2 人表演诗歌朗诵,求第 3 组至少有一人被抽取的概率 .9.(2018 宁夏银川一中二模,19)某水产品经销商销售某种鲜鱼,售价为每千克 20 元,成本为每千克15 元 .销售宗旨是当天进货当天销售 .如果当天卖不出去,未售出的全部降价处理完,平均每千克损失 3 元 .根据以往的销售情况,按0,100),100,200),200,300),300,400), 400,500进行分组,得到如
12、图所示的频率分布直方图 .(1)根据频率分布直方图计算该种鲜鱼日需求量的平均数 (同一组中的数据用该组区间中点值代表);(2)该经销商某天购进了 300 千克这种鲜鱼,假设当天的需求量为 x 千克(0 x500),利润为 Y 元 .求 Y 关于 x 的函数关系式,并结合频率分布直方图估计利润 Y 不小于 700 元的概率 .67高考大题专项六 高考中的概率、统计与统计案例1.解 (1) (217+218+222+225+226+227+228+231+233+234)=226.1;甲 =110(218+219+221+224+224+225+226+228+230+232)=224.7.乙 =
13、110(2)由抽取的样本可知,应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为 ,二等品的概率为 ,故采用25 35甲工艺生产该零件每天获得的利润:w 甲 =300 30+300 20=7 200 元; 25 35应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为 ,故采用乙工艺生产该零件每天获得的12利润:w 乙 =280 30+280 20=7 000 元 . 12 12因为 w 甲 w 乙 ,所以采用甲工艺生产该零件每天获得的利润更高 .2.解 (1)由频率分布直方图,可得(0 .08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)0.5=1,解得a=0.30.(2)由频率分布直方
14、图可知,100 位居民每人月用水量不低于 3 吨的频率为(0 .12+0.08+0.04)0.5=0.12,由以上样本频率分布,可以估计全市 80 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 800 0000.12=96 000.(3) 前 6 组的频率之和为(0 .08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)0.5=0.880.85,而前 5 组的频率之和为(0 .08+0.16+0.30+0.40+0.52)0.5=0.732.706,120(1545-555)2201005070 有 90%的把握认为是否为“足球健将”与性别有关; 记不足半小时的两人为 a,b,足球运动时间在0
15、 .5,1)内的 3 人为 1,2,3,则总的基本事件有10 个,取 2 名代表都是足球运动时间不足半小时的是(a,b),故所求概率为 .1105.解 (1)600 50=12,第一段的号码为 006,第五段抽取的数是 6+(5-1)12=54,即第五段抽取的号码是 054.(2)第四组人数 =0.0081050=4,设这 4 人分别为 A、 B、 C、 D,第六组人数 =0.0041050=2,设这 2 人分别为 x,y,随机抽取 2 人的可能情况是:AB AC AD BC BD CD xyAx Ay Bx By Cx Cy Dx Dy,一共有 15 种情况,其中他们上学所需时间满足 |a-
16、b|10 的情况有 8 种,所以满足 |a-b|10 的事件的概率为 .815(3)全校上学所需时间不少于 30 分钟的学生约有:600(0.008+0.008+0.004)10=120 人,所以估计全校需要 3 辆校车 .6.解 (1)由表格中的数据,我们可以分别求出运动员 A 和 B 前 7 场比赛积分的平均数和方差,作为度量两运动员比赛的成绩及稳定性的依据 .运动员 A 的平均分 21=3,1=17方差 (3-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(4-3)2+(6-3)2=2;21=17运动员 B 的平均分 28=4,2=17方差 (1-4)2+(1-4)2+
17、(3-4)2+(5-4)2+(10-4)2+(4-4)2+(4-4)2=8,22=17从平均分和积分的方差来看,运动员 A 的平均积分及积分的方差都比运动员 B 的小,也就是说,在前 7 场比赛过程中,运动员 A 的成绩较为优秀,且表现也较为稳定 .(2)表中平均分低于 6.5 分的运动员共有 5 个,其中平均分低于 5 分的运动员有 3 个,平均分不低于 5 分且低于 6.5 分的运动员有 2 个,从这 5 个数据中任取 2 个,基本事件总数 n=10,从 3 个运动员中任取 2 人的事件数为 3,至少 1 个运动员平均分不低于 5 分的对立事件是取到的两人的平均分都低于 5 分,所以至少
18、1个运动员平均分不低于 5 分的概率 P=1- .310=710(3)尽管此时还有 4 场比赛没有进行,但这里我们可以假设每位运动员在各自的 11 场比赛中发挥的水平大致相同,因而可以把前 7 场比赛的成绩看作总体的一个样本,并由此估计每位运动员最后的成绩,从已结束的 7 场比赛的积分来看,运动员 A 的成绩最为出色,而且表现最为稳定,故预测A 运动员获得最后的冠军,而运动员 B 和 C 平均分相同,但运动员 C 得分整体呈下降趋势,所以预测运动员 C 将获得亚军 .97.解 (1)由题意,网店销售量不低于 50 件共有(0 .068+0.046+0.010+0.008)5100=66(天),
19、实体店销售量不低于 50 件的天数为(0 .032+0.020+0.0122)5100=38(天),实体店和网店销售量都不低于 50 件的天数为 1000.24=24(天),故实体店和网店至少有一边销售量不低于 50 件的天数为 66+38-24=80(天) .(2)由题意,设该实体店一天售出 x 件,则获利为 50x-1 700800 x50 . 设该实体店一天获利不低于 800 元为事件 A,则P(A)=P(x50) =(0.032+0.020+0.012+0.012)5=0.38.故该实体店一天获利不低于 800 元的概率为 0.38.(3)因为网店销售量频率分布直方图中,销售量低于 5
20、0 件的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)5=0.340.5,故网店销售量的中位数的估计值为50+ 552 .35(件 ).0.5-0.340.348.解 (1)第二组的频数为 1000.35=35,故第三组的频数为 100-5-35-20-10=30,故第三组的频率为 0.3,第五组的频率为 0.1,补全后的频率分布表为:组号 分组 频数 频率第一组 160,165) 5 0.05第二组 165,170) 35 0.35第三组 170,175) 30 0.3第四组 175,180) 20 0.2第五组 180,185) 10 0.1合计 100 1频率分布直方图为:频率分布直
21、方图(2)第 3 组、第 4 组、第 5 组的频率之比为 3 2 1,故第 3 组、第 4 组、第 5 组抽取的人数分别为3,2,1.(3)设第 3 组中抽取的三人为 A1,A2,A3,第 4 组中抽取的两人为 B1,B2,第 5 组中抽取的一人为 C,则 6 人中任意抽取 2 人,所有的基本事件如下:A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,A1C,A2C,A3C,B1C,B2C,故第 3 组中至少有 1 人被抽取的概率为 .1215=459.解 (1) x=500.001 0100+1500.002 0100+2500.003 0100+3500.002 5100+4500.001 5100=265.(2)当日需求量不低于 300 千克时,利润 Y=(20-15)300=1 500(元);当日需求量不足 300 千克时,利润 Y=(20-15)x-(300-x)3=8x-900(元);故 Y=8-900,0300,1 500,300500.10由 Y700,得 200 x500,所以 P(Y700) =P(200 x500)=0.003 0100+0.002 5100+0.001 5100=0.7.
