1、1.2 不等关系及简单不等式的解法,-2-,知识梳理,考点自诊,=,=,-3-,知识梳理,考点自诊,2.不等式的性质 (1)对称性:abbb,bc . (3)可加性:aba+c b+c;ab,cda+c b+d. (4)可乘性:ab,c0ac bc;ab,cb0,cd0ac bd. (5)可乘方:ab0an bn(nN,n1).,ac,-4-,知识梳理,考点自诊,3.三个“二次”之间的关系,x|xx2或xx1,x|x1xx2,-5-,知识梳理,考点自诊,-6-,知识梳理,考点自诊,-7-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)abac2bc2. (
2、),(3)若关于x的不等式ax2+bx+c0. ( ) (4)不等式 的解集是-1,2. ( ) (5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为R. ( ),-8-,知识梳理,考点自诊,2.(2018北京海淀期末,2)已知a,bR,若ab,则 ( ) A.a2b B.abb2 C. D.a3b3,D,解析:对A,已知a,bR,若ab,当两个数值小于0时a2b不一定成立;对B,当b=0时,abb2,不成立;对C, ,当两者均小于0时,根式没有意义,故不正确;对D,a3b3,y=x3是增函数,故正确,故选D.,3.(2018首师大附中月考,5
3、)已知命题“存在xR,x2+2ax+10”是真命题,则实数a的取值范围是( ) A.(-,-1) B.(1,+) C.(-,-1)(1,+) D.(-1,1),C,解析:命题“存在xR,x2+2ax+10. a1或a-1.选C.,-9-,知识梳理,考点自诊,D,1,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,比较两个数(式)的大小 例1(1)已知a1,a2(0,1),若M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是( ) A.MN C.M=N D.不确定 (2)若 ,则( ) A.abc B.cba C.cab D.bac,B,B,考点5,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析:
4、 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1). a1(0,1),a2(0,1), a1-10,即M-N0. MN. (2)(方法一)由题意可知a,b,c都是正数.,考点5,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考比较两个数(式)大小常用的方法有哪些? 解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法. (1)作差法的一般步骤:作差;变形;定号;下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式. (2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小. (3)构
5、造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.,考点5,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是( ) A.cba B.acb C.cba D.acb (2)已知a,b是实数,且eab,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系是 .,A,abba,解析: (1)c-b=4-4a+a2=(a-2)20,cb. 又b+c=6-4a+3a2,2b=2+2a2.b=a2+1.,当xe时,f(x)f(b),考点5,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,不等式的性质及应用,(-,0)
6、27,考点5,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考已知某些量的范围,求由这些量组成的代数式的范围常用不等式的哪些性质? 解题心得(1)已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用不等式同向可加性、同向同正可乘性; (2)在应用可乘方性时要注意应用的条件,当不等式两边异号时,平方后不等号不确定; (3)不等式两边取倒数,不等式两边同乘某一量,例如:若ab,当ab0对ab两边同乘,考点5,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2(1)如果ab0,那么下列不等式成立的是( ),(2)已知-1x4,2y3,则x-y的取值范围是 ,3x+2y的取值范围是 .,D,(-
7、4,2),(1,18),考点5,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,一元二次不等式的解法 例3(1)解不等式:-x2-3x+40; (2)若关于x的不等式x2-2ax-8a20.,考点5,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,解 (1)不等式两边同乘-1,原不等式可化为x2+3x-40, 即(x-1)(x+4)0, 解得x-4或x1. 故不等式-x2-3x+40的解集是x|x-4或x1. (2)若a=0,显然不符合题意; 若a0,由x2-2ax-8a20得-2ax4a,由题意可得x2-x1=6a=15,若a0,由x2-2ax-8a20
8、得4ax-2a,由题意可得x2-x1=-6a=15,考点5,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考解一元二次不等式的一般思路是怎样的? 解题心得(1)对于常系数一元二次不等式,可以用分解因式法或判别式法求解. (2)含有参数的不等式的求解,需要对参数进行分类讨论,讨论有三层:第一,若二次项系数含参数,先讨论二次项系数是否为零,以确定不等式是一次不等式还是二次不等式;第二,当二次项系数不为零时,若不易分解因式,则依据判别式符号进行分类讨论;第三,对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.,考点5,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4
9、对点训练3解下列关于x的不等式: (1)-x2-x+20; (2)ax2-22x-ax(aR).,解 (1)原不等式可化为x2+x-20, 方程x2+x-2=0的根为-2,1, 因此不等式-x2-x+20的解集是x|-2x1.,考点5,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-24-,考点1,考点2,考点3,考点5,考点4,(-2,3),思考解分式不等式的基本思路是什么?,分式不等式的解法,-25-,考点1,考点2,考点3,考点5,考点4,-26-,考点1,考点2,考点3,考点5,考点4,一元二次不等式恒成立问题(多考向) 考向1 不等式在R上恒成立求参数范围 例5若一元二次不等式
10、2kx2+kx- 0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( ) A.(-3,0 B.-3,0) C.-3,0 D.(-3,0),D,思考一元二次不等式在R上恒成立的条件是什么?,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2 x在给定区间上恒成立求参数范围 例6(2018江苏镇江一模,12)已知函数f(x)=x2-kx+4对任意的x1,3,不等式f(x)0恒成立,则实数k的最大值为 . 思考解决在给定区间上恒成立问题有哪些方法?,4,考点5,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考向3 给定参数范围的恒成立问题 例7已知对任意的k
11、1,1,函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是 .,答案:x|x3 解析:x2+(k-4)x+4-2k0恒成立,即g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)0在k-1,1时恒成立.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,2.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种解决方法:一是利用二次函数在区间上的最值来解决;二是先分离出参数,再通过求函数的最值来解决. 3.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法.把参数当作函数的自变量,得到一个新的函数,然后利用新函数求解.,思考如何求解给定参数范围的恒成立问题?,-31-,考点1,考
12、点2,考点3,考点4,考点5,对点训练5(1)已知a为常数,任意xR,ax2+ax+10,则a的取值范围是( ) A.(0,4) B.0,4) C.(0,+) D.(-,4) (2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是 . (3)已知不等式xyax2+2y2对x1,2,y2,3恒成立,则实数a的取值范围是 .,B,-1,+),-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,1.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.作差法的主要步骤为作差变形判断正负. 2.判
13、断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单. 3.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式的解法进行求解. 4.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a0的情形.,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,5.(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的
14、范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.,-35-,思想方法发散思维和转化与化归思想在不等式中的应用 1.发散思维训练一题多变练发散 典例已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于xR,f(x)0恒成立,求实数m的取值范围. 解当m=0时,f(x)=-10恒成立.,综上,-4m0.故m的取值范围是(-4,0.,-36-,跟踪训练1将本例中的条件变为:对于x1,3,f(x)5-m恒成立,求实数m的取值范围.,-37-,跟踪训练2将本例中的条件变为:若f(x)0对于m1,2恒成立,求实数x的取值范围.,-38-,跟踪训练3将跟踪训练1中的条件“f(x)5-m恒成立”改为“f(x)5-m无解”,如
15、何求m的取值范围?,跟踪训练4将跟踪训练1中的条件“f(x)5-m恒成立”改为“存在x,使f(x)5-m成立”,如何求m的取值范围?,-39-,反思提升1.对于一元二次不等式恒成立问题,用数形结合法是解题的关键. 2.解决恒成立问题一定要弄清主元与参数,自变量x不一定是主元.,-40-,2. 转化与化归思想在不等式中的应用 典例已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域为0,+),若关于x的不等式f(x)c的解集为(m,m+6),则实数c的值为 . 答案:9,-41-,-42-,反思提升1.本题的解法充分体现了转化与化归思想:将函数的值域和不等式的解集转化为a,b,c满足的条件;不等式恒成立可以分离常数,转化为函数值域问题. 2.注意函数f(x)的值域为0,+)与f(x)0的区别.,
