1、7.4 综合法、分析法、反证法,-2-,知识梳理,考点自诊,1.综合法与分析法,条件,定义、公理、定理及运算法则,结论,求证的结论,充分条件,-3-,知识梳理,考点自诊,2.反证法 (1)反证法的定义:在假定命题结论 的前提下,经过推理,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题结论成立的方法叫反证法. (2)用反证法证明的一般步骤:反设假设命题的结论不成立;归谬根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;结论断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.,反面成立,-4-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确(请
2、在括号中打“”或“”) (1)综合法是直接证明,分析法是间接证明. ( ) (2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件. ( ) (3)用反证法证明结论“ab”时,应假设“ab”. ( ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾. ( ) (5)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程. ( ) (6)证明不等式 最合适的方法是分析法. ( ),-5-,知识梳理,考点自诊,2.若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2ab+bc+ca.证明过程如下: 因为a,b,cR,所以a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22
3、ac. 又因为a,b,c不全相等, 所以以上三式至少有一个等号不成立, 所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2 ab+bc+ca.此证法是( ) A.分析法 B.综合法 C.分析法与综合法并用 D.反证法,B,解析:从已知条件出发,推出要证的结论,由因导果是综合法.故选B.,-6-,知识梳理,考点自诊,3.(2018山东菏泽模拟,5)设m,n,t都是正数,则 三个数( ) A.都大于4 B.都小于4 C.至少有一个大于4 D.至少有一个不小于4,D,解析:依题意,令m=n=t=2,则三个数为4,4,4,排除A,B,C选项,故选D.,4.用反证法证
4、明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时,应假设 .,三个内角都大于60,解析: “三角形三个内角至少有一个不大于60”的对立面为“三个内角都大于60”.,-7-,考点1,考点2,考点3,综合法的应用 考向1 数列中的证明 例1(1)(2018天津,理18)设an是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(nN+),bn是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. 求an和bn的通项公式; 设数列Sn的前n项和为Tn(nN+),-8-,考点1,考点2,考点3,(1)解 设等比数列an的公比为q.由a1=1,a3=a2+2, 可得q2-q-2=0.因为q0
5、,可得q=2,故an=2n-1. 设等差数列bn的公差为d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4. 由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故bn=n. 所以,数列an的通项公式为an=2n-1,数列bn的通项公式为bn=n.,-9-,考点1,考点2,考点3,-10-,考点1,考点2,考点3,思考综合法的适用题型是哪些?综合法证明问题是怎样实现的? 解题心得1.综合法的适用范围是:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性等,求证没有限制条件的等式或不等式.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型. 2.综合法是一种由因索果的证明方
6、法,其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法,因此要保证前提条件正确,推理合乎规律,这样才能保证结论的正确性.其过程一般是从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.,-11-,考点1,考点2,考点3,-12-,考点1,考点2,考点3,-13-,考点1,考点2,考点3,-14-,考点1,考点2,考点3,分析法的应用,(1)解 定义域为(0,1)(1,+),因为 当m0时,由f(x)0,得xe;由f(x)e; 由f(x)0,得0x1或1xe, 此时函数的递减区间为(e,+),递增区间为(0,1),(1,e).,-15-,考点1,考点
7、2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,思考分析法的证明思路是什么,适用于何种题型? 思路分析(1)函数求导,由f(x)0得函数的增区间;,-17-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键. 2.证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证. 3.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,
8、从正面不易推导时,常考虑用分析法.,-18-,考点1,考点2,考点3,-19-,考点1,考点2,考点3,-20-,考点1,考点2,考点3,反证法的应用(多考向) 考向1 证明否定性命题 例3(2018湖南株洲月考,17)设an是公比为q的等比数列. (1)推导an的前n项和公式; (2)设q1,证明:数列an+1不是等比数列. 思考证明否定性问题的思路是什么?,-21-,考点1,考点2,考点3,(1)解 设an的前n项和为Sn,则当q=1时,Sn=a1+a1+a1=na1; 当q1时,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1, qSn=a1q+a1q2+a1qn, -得,(1-q)Sn=a1
9、-a1qn,-22-,考点1,考点2,考点3,思路分析(1)利用乘公比错位相减法求解问题,分q=1与q1讨论;(2)利用反证法,假设数列an+1是等比数列,推出与已知矛盾即可. 解题心得对于含有否定概念的命题,直接证明不好证,但问题的反面比较具体易证,一般利用补集法或反证法解答证明.先假设肯定结论成立,然后根据有关的概念、定理、定义、推出与已知、公理、定理等有矛盾,从而说明原命题成立.,-23-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(2018北京海淀二模,19)已知函数f(x)=eax-ax-3(a0), (1)求f(x)的极值; (2)当a0时,设 ,求证:曲线y=g(x)存在两条斜率为-1且
10、不重合的切线.,-24-,考点1,考点2,考点3,解 (1)f(x)=aeax-a=a(eax-1)(a0,xR), 令f(x)=0,得x=0. 当a0时,f(x)与eax-1符号相同, 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,当a0时,f(x)与eax-1符号相反, 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,综上,f(x)在x=0处取得极小值f(0)=-2.,-25-,考点1,考点2,考点3,(2)g(x)=eax-ax-3=f(x)(a0,xR), 故g(x)=-1f(x)=-1.,因此,曲线y=g(x)在点P1(x1,f(x1),P2(x2,f(x2)处的切线斜率均为-
11、1. 下面,只需证明曲线y=g(x)在点P1(x1,f(x1),P2(x2,f(x2)处的切线不重合. 曲线y=g(x)在点Pi(xi,f(xi)(i=1,2)处的切线方程为y-g(xi)=-(x-xi),即y=-x+g(xi)+xi.假设曲线y=g(x)在点Pi(xi,f(xi)(i=1,2)处的切线重合,则g(x2)+x2=g(x1)+x1.,-26-,考点1,考点2,考点3,令G(x)=g(x)+x,则G(x1)=G(x2),且G(x)=g(x)+1=f(x)+1. 由(1)知,当x(x1,x2)时,f(x)G(x2),这显然矛盾. 因此,曲线y=g(x)在点Pi(xi,f(xi)(i=
12、1,2)处的切线不重合.,-27-,考点1,考点2,考点3,考向2 证明存在、唯一性命题 例4已知四棱锥S-ABCD中,底面是边长为1的正方形,又SB=SD = ,SA=1. (1)求证:SA平面ABCD; (2)在棱SC上是否存在异于S,C的点F,使得BF平面SAD?若存在,确定F点的位置;若不存在,请说明理由.,-28-,考点1,考点2,考点3,(1)证明 由已知得SA2+AD2=SD2,SAAD. 同理SAAB. 又ABAD=A,AB平面ABCD,AD平面ABCD, SA平面ABCD. (2)解 假设在棱SC上存在异于S,C的点F,使得BF平面SAD. BCAD,BC平面SAD. BC平
13、面SAD.而BCBF=B, 平面FBC平面SAD. 这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾, 假设不成立. 不存在这样的点F,使得BF平面SAD.,-29-,考点1,考点2,考点3,思考反证法证明问题的关键是什么? 解题心得反证法证明问题的关键:在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾,所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾,与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果.推导出的矛盾必须是明显的.,-30-,考点1,考点2,考点3,对点训练4(2018湖北宜昌一模,21)已知M是由满足下列条件的函数构成的集合:对任意f(x)M,方程f(x)-x=0
14、有实数根;函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1. (1)判断函数 是不是集合M中的元素,并说明理由; (2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质:若f(x)的定义域为D,则对于任意m,nD,都存在x0(m,n),使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f(x0)成立.试用这一性质证明:方程f(x)-x=0有且只有一个实数根.,-31-,考点1,考点2,考点3,(1)解 当x=0时,f(0)=0,所以方程f(x)-x=0有实数根0;,(2)证明 假设方程f(x)-x=0存在两个实数根,(), 则f()-=0,f()-=0. 不妨设,根据题意存在c(,), 满足f()-f()=(-)f(c).
15、 因为f()=,f()=,且,所以f(c)=1. 与已知0f(x)1矛盾. 又f(x)-x=0有实数根, 所以方程f(x)-x=0有且只有一个实数根.,-32-,考点1,考点2,考点3,考向3 证明至多、至少性问题,-33-,考点1,考点2,考点3,思考反证法的解题步骤是什么? 思路分析利用反证法证明,先假设a,b,c都不大于0,即a0,b0, c0,再经过推理找到矛盾,原命题即得证. 解题心得反证法证明数学命题,一般有以下几个步骤: 第一步:分清命题“pq”的条件和结论; 第二步:作出与命题结论q相反的假设非q; 第三步:由p和非q出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步:断定产生矛
16、盾结果的原因在于开始所作的假设非q不真,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题pq为真.,-34-,考点1,考点2,考点3,对点训练5(2018福建龙岩模拟,18)已知xR,a=x2+ ,b=2-x,c=x2-x+1,试证明a,b,c至少有一个不小于1.,证明 假设a,b,c均小于1, 即a1,b1,c1,则有a+b+c3,两者矛盾,所以假设不成立, 故a,b,c至少有一个不小于1.,-35-,考点1,考点2,考点3,1.分析法是从结论出发,逆向思维,寻找使结论成立的充分条件.应用分析法要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件. 2.证明问题的常用思路:在解题时,常常把分析法和综合法
17、结合起来运用,先以分析法寻求解题思路,再用综合法表述解答或证明过程. 3.用反证法证明问题要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,且推导出的矛盾必须是明显的.,-36-,考点1,考点2,考点3,1.应用分析法要书写规范,常用“要证”“只需证”等分析到一个明显成立的结论. 2.注意推理的严谨性,在证明过程中每一步推理都要有充分的依据,这些依据就是命题的已知条件和已经掌握了的数学结论,不可盲目使用正确性未知的自造结论.
18、,-37-,易错警示反证法中三种常见错因 1.没有应用假设进行推理而致错 典例1已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)0,用反证法证明关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实根. 错解假设方程x2-2x+5-p2=0有实根, 已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)0,0,方程x2-2x+5-p2=0无实根. 错因利用反证法证明首先要对所证题目进行否定性的假设,并以此为条件进行推理,得出矛盾,上述证明没有用到假设而造成推理错误.,-38-,正解假设方程x2-2x+5-p2=0有实根, 则该方程的判别式=4-4(5-p2)0,解得p2或p-2, 而实数p满足不等式(2p+1)(p+2)0,
19、 解得-2p- ,二者矛盾,所以假设不成立, 关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实根.,-39-,2.假设不严密而致错 典例2已知a,b,c都是小于1的正数,求证(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a三个数不可能同时都大于 .,-40-,错因在利用基本不等式时,忘记了等号,少了取等号的条件,所以证明不严密.,-41-,3.考虑不全面而致错 典例3已知直线ab,若直线a与平面相交,求证:直线b与平面相交. 错解假设直线b不与平面相交,则直线b平行于平面.则平面内存在直线b,使得直线bb, ab,ab,a,a, 这与已知相矛盾,所以假设不成立,所以直线b与平面相交. 错因直线与平面不相交,包含直线与平面平行和直线在平面内,上述证明少了直线在平面内这种情况.,-42-,正解假设直线b不与平面相交,则直线b或b. (1)若直线b,则平面内存在直线b,使得直线bb, ab,ab,a,a, 这与已知相矛盾,所以假设不成立,所以直线b与平面相交. (2)若b,则由ab,a,a,这与已知矛盾,所以假设不成立,所以直线b与平面相交. 综上所述,直线b与平面相交.,
