1、1课时规范练 32 基本不等式及其应用基础巩固组1.下列不等式一定成立的是( )A.lg x2+ lg x(x0)B.sin x+ 2( x k, kZ)1C.x2+12 |x|(xR)D. 0,b0,a+b=2,则 y= 的最小值是( )1+4A. B.4 C. D.54.(2018 江西南昌测试三,10)若正数 x,y 满足 x+4y-xy=0,则 的最大值为( )3+A. B. C. D.15.(2018 江西新余四中适应性考试,9)设正数 x,y 满足 xy,x+2y=3,则 的最小值为( )1-+ 9+5A. B.3 C. D.2336.(2018 辽宁辽南协作校一模拟,6)若 lg
2、 a+lg b=0 且 a b,则 的取值范围为( )2+1A.2 ,+ ) B.(2 ,+ )2 2C.2 ,3)(3, + ) D.(2 ,3)(3, + )2 27.(2018 天津十二中学联考一,12)已知 ab0,则 2a+ 的最小值为( )3+ 2-A.2 +2 B.2 3 2+3C.2 D.2+32+328.(2018 河北唐山迁安三中期中,9)设 x,y 均为正实数,且 =1,则 xy 的最小值为( )32+ 32+A.4 B.4 C.9 D.1639.若对于任意 x0, a 恒成立,则 a 的取值范围是 . 2+3+110.已知 x,yR 且满足 x2+2xy+4y2=6,则
3、 z=x2+4y2的取值范围为 . 11.(2018 河北唐山二模,23)已知 a0,b0,c0,d0,a2+b2=ab+1,cd1.(1)求证: a+b2;(2)判断等式 =c+d 能否成立,并说明理由 .+212.已知 a0,b0,a+b=1,求证:(1) 8;1+1+1(2) 1+ 1+ 9 .综合提升组13.(2018 湖北宜昌一中适应性考试,11)若 P 是面积为 1 的 ABC 内的一点(不含边界), PAB,PAC 和 PBC 的面积分别为 x,y,z,则 的最小值是( )+ + 1+A.3 B.3+23C. D.23+1314.(2018 广东广州仲元中学期末,11)已知 x,
4、yR +,且满足 x+2y=2xy,则 x+4y 的最小值为( )A.3- B.3+2 C.3+ D.42 2 2 215.(2018 湖南澧县一中一检,14)已知二次函数 f(x)=ax2+2x+c(xR)的值域为0, + ),则的最小值为 . +1 +1创新应用组16.(2018 河南信阳二模,11)点 M(x,y)在曲线 C:x2-4x+y2-21=0 上运动, t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t 的最大值为 b,若 a0,b0,则 的最小值为( )1+1+1A.1 B.2 C.3 D.43课时规范练 32 基本不等式及其应用1.C 当 x0 时, x2+2 x=x,所以
5、lg x2+ lg x(x0),故选项 A 不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当 x k, kZ 时,sin x 的正负不定,故选项 B 不正确;由基本不等式可知,选项 C 正确;当 x=0 时,有 =1,故选项 D 不正确 .12+12.C a ,b 都是正数, 1+ 1+ =5+ 5 +2 =9,当且仅当 b=2a0 时取等号 .故选 C.4 +4 43.C 依题意,得 (a+b)= 5+ 5+2 =,1+4=121+4 +4 4当且仅当+=2,=4,0,0,即 a= ,b= 时取等号,23 43即 的最小值是 .1+4 924.A 因为 x+4y-xy=0,化简
6、可得 x+4y=xy,左右两边同时除以 xy,得 =1,求 的最大值,即求1+4 3+的最小值,所以 1= = 2+3 =3+3 3+3 3+3 1+4 3+43+13+433,当且仅当 时取等号,所以 的最大值为,所以选 A.343+13+43 3=43 3+5.A 因为 x+2y=3,所以 2x+4y=6,所以( x-y)+(x+5y)=6,所以6= (x-y)+(x+5y)= 10+1-+ 9+5=16 1-+ 9+5 16 1-+ 9+5 (10 +2 )=,当且仅当 x=2,y=时取最小值 .故选 A.+5-+9(-)+5 96.A lg a+lg b=0 且 a b, lg ab=
7、0,即 ab=1. ab=2b+a2 =2 ,当且仅当2+1 2 2a=2b= 时取等号 . 的取值范围为 2 ,+ ),故选 A.22+1 27.A ab 0,2a+ =a+b+a-b+ ,3+ 2- 3+ 2-a+b+ 2 ,当且仅当 a+b= 时取等号; a-b+ 2 ,当且仅当 a-b= 时取等号 .3+ 3 3 2- 2 2 联立 解得+=3,-=2, =3+22 ,=3- 22 . 当 时, a+b+a-b+ 2 +2 ,即 2a+ 取得最小值=3+22 ,=3- 22 3+ 2- 2 3 3+ 2-2 +2 .2 38.D 将等式化简可得 xy-8=x+y2 ,解得 4,所以 x
8、y16, 4所以最小值为 16.故选 D.9. ,+ ,2+3+1= 13+1因为 x0,所以 x+ 2(当且仅当 x=1 时取等号),则 ,即 的最1 13+1 13+2=15 2+3+1大值为 ,故 a .15 1510.4,12 2xy=6-(x2+4y2),而 2xy ,2+422 6-(x2+4y2) ,2+422x 2+4y24(当且仅当 x=2y 时取等号) . (x+2y)2=6+2xy0,即 2xy -6,z=x 2+4y2=6-2xy12(当且仅当 x=-2y 时取等号) .综上可知 4 x2+4y212 .11.(1)证明 由题意得( a+b)2=3ab+13 2+1,当
9、且仅当 a=b 时,取等号 .+2解得( a+b)24,又 a,b0,所以 a+b2 .(2)解 不能成立 . ,+2 +2因为 a+b2,所以 1 + ,+2因为 c0,d0,cd1,所以 c+d= +1,+2 +2 +2 +2故 =c+d 不能成立 .+12.证明 (1) a+b= 1,a0,b0, =2 =2 =2 +44 +4=8 当且仅1+1+1=1+1+ 1+1 + + + 当 a=b= 时,等号成立 ,12 8 .1+1+1(2) 1+ 1+ = +1,1 1 1+1+1由(1)知 8 .1+1+1 1+ 1+ 9 .1 113.A x+y+z= 1, +12+ + 1+=1-
10、+ 11-=1- +1-1- =1- + 1-+1=3,当且仅当 x=时取等号, 的最小值为 3,故选 A.1- 1- + + 1+514.B 由题意可得(2 y-1)(x-1)=1,变形为( x-1)(4y-2)=2,所以,所以 x+4y2 +3,当且仅当 x-1=4y-2 时,等号成立,即 x=2=(-1)(4-2)+4-32 2+1,y= ,选 B.22+2415.4 由题意知, a0,= 4-4ac=0,ac= 1,c0,则= + 2 +2 =2+2=4,当且仅当 a=c=1 时取等号 .+1 +1 =+1+1 + 1+1 1的最小值为 4.+1 +116.A 曲线 C:x2-4x+y
11、2-21=0 可化为( x-2)2+y2=25,表示圆心为 A(2,0),半径为 5 的圆 .t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,(x+6)2+(y-6)2可以看作点 M 到点 N(-6,6)的距离的平方,圆 C 上一点 M 到 N 的距离的最大值为|AN|+5,即点 M 是直线 AN 与圆 C 的离点 N 最远的交点,所以直线 AN 的方程为 y=- (x-2),34由 解得 (舍去),=-34(-2),(-2)2+2=25, 1=6,1=-3或 2=-2,2=3 当 时, t 取得最大值 ,且 tmax=(6+6)2+(-3-6)2-222-a=b,=6,=-3a+b= 3, (a+1)+b=4, (a+1)+b= +2 1,1+1+1=14 1+1+1 14 +1+1当且仅当 ,且 a+b=3,即 a=1,b=2 时等号成立 .+1=+1故选 A.
