1、2.1 函数及其表示,-2-,知识梳理,考点自诊,1.函数与映射的概念,非空数集,任意,唯一确定,非空集合,任意一个,唯一确定,-3-,知识梳理,考点自诊,2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量, 叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值, 叫做函数的值域,显然,值域是集合B的子集. (2)函数的三要素: 、 和 . (3)相等函数:如果两个函数的 相同,并且 完全一致,那么我们就称这两个函数相等. 3.函数的表示方法 表示函数的常用方法有 、 和 . 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因 不同而分别用几个不同的式子来表示,这种
2、函数称为分段函数.,x的取值范围A,函数值的集合f(x)|xA,定义域 值域 对应关系,定义域,对应关系,解析法 图像法 列表法,对应关系,-4-,知识梳理,考点自诊,1.映射:(1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A,B为非空数集的映射就是函数; (2)映射问题允许多对一,但不允许一对多. 2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致. 3.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几部分组成,但它表示的是一个函数. 4.与x轴垂直的直线和一个函数的图像至多有1个交点.,-5-,知识梳理,考点自诊,5.函数定义域的求法,-6
3、-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)函数是其定义域到值域的映射. ( ) (2)函数y=f(x)的图像与直线x=1有两个交点. ( ) (3)定义域相同,值域也相同的两个函数一定是相等函数.( ) (4)二次函数y=x2-1的值域可以表示为y|y=x2-1,xR,即为y|y-1. ( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的. ( ),-7-,知识梳理,考点自诊,D,解析:由4-x20,得A=-2,2.由1-x0,得B=(-,1),故AB=-2,1). 故选D.,C,解析:由题中表格知g(3)=1,故f(g(3)=f(1)=3.,-8-,知识
4、梳理,考点自诊,解析:中,对于定义域内任意一个数x,可能有两个不同的y值,不满足对应的唯一性,所以错误;中,定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,所以错误.,2,+),解析:要使函数f(x)有意义,则log2x-10,解得x2,即函数f(x)的定义域为2,+).,-9-,考点1,考点2,考点3,考点4,函数的基本概念 例1以下给出的同组函数中,表示同一函数的有 .(只填序号),f2(x):,f1(x):y=2x,f2(x):如图所示.,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析:不是同一函数.f1(x)的定义域为xR|x0,f2(x)的定义域为R. 是同一函数,x与y的对应关系完全相同
5、且定义域相同,它们是同一函数的不同表示方式. 是同一函数.理由同.,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考怎样判断两个函数是同一函数? 解题心得两个函数是否表示同一函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,它们才表示同一函数.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可以用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均表示同一函数.,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)下列四个图像中,是函数图像的是 ( ),A. B. C. D. (2)在下列函数中,与函数y=x相等的是( ),B,B,-1
6、3-,考点1,考点2,考点3,考点4,(3) 如图,函数f(x)的图像是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(1)+f(3)=( )A.3 B.0 C.1 D.2,A,解析:(1)图像中的每一个x的值对应唯一的y值,因此都是函数图像;,当x0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图像.故选B. (2)观察选项中化简后的函数的对应关系及定义域是否和函数y=x相同,易得答案为B. (3)由题中函数f(x)的图像可得,f(1)=2,f(3)=1,故f(1)+f(3)=3,故选A.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,求函数的定义域(多考向)
7、 考向1 求给定函数解析式的定义域,思考已知函数解析式,如何求函数的定义域?,D,(0,2,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2 求抽象函数的定义域 例3若函数f(x2+1)的定义域为-1,1,则f(lg x)的定义域为( ) A.-1,1 B.1,2 C.10,100 D.0,lg 2,C,解析:因为f(x2+1)的定义域为-1,1,则-1x1,故0x21, 所以1x2+12. 因为f(x2+1)与f(lg x)的外函数是同一个对应关系,所以1lg x2, 即10x100,所以函数f(lg x)的定义域为10,100.,-17-,考点1,
8、考点2,考点3,考点4,思考如何求抽象函数的定义域? 解题心得1.求函数定义域的两种方法,2.由实际问题求得的函数定义域,除了要使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义.,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,A.(-3,0 B.(-3,1 C.(-,-3)(-3,0 D.(-,-3)(-3,1 (2)若函数f(2x)的定义域是-1,1,则f(log2x)的定义域为 .,A,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,求函数的解析式,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考求函数解析式有哪些基本的方法
9、? 解题心得函数解析式的求法 (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; (3)方程法:已知关于f(x)与 或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,与其组成方程组,通过解方程组求出f(x); 提醒:由于函数的解析式相同,定义域不同,则为不相同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R,一定要注明函数的定义域.,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,B,2x+7,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,分段
10、函数(多考向) 考向1 求分段函数的函数值,思考求分段函数的函数值如何选取函数的解析式?,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2 已知分段函数的等式求参数的值,D,思考求分段函数的含有参数的函数值如何选取函数的解析式?,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向3 已知函数不等式求自变量的范围,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考如何选取由分段函数构成的不等式中函数的解析式? 解题心得分段函数问题的求解策略: (1)分段函数的求值问题,应首先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解. (2)对求含有参数的自变量的函数值,如果不能确定自变量的范围,应采取分
11、类讨论. (3)解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论.,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,A,2,解析: (1)f(x)是定义域为R的奇函数, f(0)=0,由解析式可知,当 时,函数是周期函数, f(3)+f(2 018)=f(0)+f(3673-1)=f(0)+f(-1)=0-f(1)=-log24=-2. (2)f(1)=2,f(f(1)=f(2)=4+2a=4a,解得a=2.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.函数的定义域是研究函数的基础,它与函数的对应关系决定了函数的值域,同时,定义域和对应关系相同的两个函数是同一个函数.因此要树
12、立函数定义域优先的意识. 2.求函数y=f(x)定义域的方法:,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,3.函数有三种表示方法,即列表法、图像法、解析法,三者之间可以相互转化;求函数解析式常用的方法有换元法(凑配法)、待定系数法和方程组法. 4.分段函数“两种”题型的求解策略: (1)根据分段函数解析式求函数值:首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解. (2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围:应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,在求分段函数的值f(x0)时,首先要判断x0属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.,
