1、2.3 函数的奇偶性与周期性,-2-,知识梳理,考点自诊,1.函数的奇偶性,f(-x)=f(x),y轴,f(-x)=-f(x),原点,-3-,知识梳理,考点自诊,2.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件: T0; 对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫做f(x)的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).,f(x+T)=f(x),最小的正数,最小正数,-4-,知识梳理,考点自诊,1.函数奇
2、偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (4)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.,-5-,知识梳理,考点自诊,2.周期性的几个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x(其中a0,且为常数): (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a; (2)若f(x+a)= (mR且m0),则T=2a; (3)若f(x+a)=f(x-a),
3、则T=2a;一般地,若f(x+a)=f(x-b),则T=|a+b|; (4)若f(x)的图像关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则T=4|a-b|; (5)若f(x)的图像关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则T=2|a-b|. 3.对称性的四个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;,-6-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)函数y=x2在区间(0,+)内是偶函数. ( ) (2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0. ( ) (3)若函数y=f(
4、x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图像关于点(b,0)中心对称. ( ) (4)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ( ) (5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-,0)上是减少的,则f(x)在(0,+)上是增加的. ( ) (6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(nZ)是函数f(x)的周期. ( ),-7-,知识梳理,考点自诊,2.(2018陕西宝鸡中学三模,2)函数 的图像( ) A.关于原点对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴
5、对称 D.关于直线y=x对称,C,3.(2018山东济宁一模,4)已知函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,且当x0,2时,f(x)=2x-x2,则f(-5)的值为( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3,B,解析:函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数, f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=-f(1), 又x0,2时,f(x)=2x-x2, 则f(1)=21-12=1,f(-5)=-f(1)=-1,故选B.,-8-,知识梳理,考点自诊,4.已知偶函数f(x)在0,+)内是减少的,f(2)=0.若f(x-1)0,则x的取值范围是 .,5.函数f(x)的定义域为R,且对于xR,恒有f
6、(x+2)=f(x).当x1,3时,f(x)=x2-2x,则f(2 019)= .,(-1,3),解析:作出函数f(x)的大致图像如图所示,因为f(x-1)0,所以-2x-12,解得-1x3.则x的取值范围为(-1,3).,解析:由f(x+2)=f(x)知,f(x)是周期T=2的周期函数. 当x1,3时,f(x)=x2-2x, f(2 019)=f(1 0092+1)=f(1)=12-21=-1,即f(2 019)=-1.,-1,-9-,考点1,考点2,考点3,考点4,函数奇偶性的判断 例1判断下列函数的奇偶性:,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)由题意知函数的定义域为x|x0,
7、关于原点对称. 当x0时,-x0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x). 故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考判断函数的奇偶性要注意什么? 解题心得判断函数的奇偶性要注意两点: (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提. (2)判断关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1判断下列函数的奇偶性:,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,解 (1)由题意知函数f(x
8、)的定义域为R,关于原点对称. 因为f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数. (2)由 可得函数的定义域为(-1,1. 因为函数的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (3)函数的定义域为x|x0,关于原点对称. 当x0时,-x0,此时f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x). 故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)为奇函数.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,函数奇偶性的应用 例2(1)(2018河北衡水中学九模,
9、4)已知f(x)满足:对任意xR,f(-x)+ f(x)=0,且x0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln 5)的值为( ) A.4 B.-4 C.6 D.-6,(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2) f(a),则实数a的取值范围是 ( ) A.(-,-1)(2,+) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-,-2)(1,+) (3)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 ,则函数f(x)的解析式为 ;,A,C,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析:(1)因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=20
10、+m=0,解得m=-1, 则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3. (2)因为f(x)是奇函数,所以当x0时,f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图像如图中实线所示,结合图像可知f(x)是R上的增加的, 由f(2-a2)f(a),得2-a2a,解得-2a1.,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用? 解题心得1.函数奇偶性的应用主要有:利用函数的奇偶性求函数解析式;利用函数的奇偶性研究函数的单调性;利用函数的奇偶性解不等式;利用函数的奇偶性求最值等. 2.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充
11、分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2(1)(2018河北衡水中学三模,7)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x+2x+2 017+a(a为常数),则f(-1)=( ) A.3 B.1 C.-3 D.-1 (2)(2018湖南衡阳二模,13)已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=2x+x,则f(log25)= . (3)若f(x)是R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x3-8,则x|f(x-2)0=( ) A.x|-22 B.x|04 C.x|x2,C,
12、B,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)由题意得f(0)=0,得20+0+2 017+a=0, a=-2 018,所以f(-1)=-f(1)=-3. (2)由函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数, 且f(x)+g(x)=2x+x, 可得f(-x)+g(-x)=2-x-x,即f(x)-g(x)=2-x-x,(3)当x=2时,有f(2)=0,又因为f(x)为奇函数, 所以f(-2)=0,作出f(x)的大致图像, 由图像可知,当-22, 即04时,有f(x-2)0,选B项.,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,函数周期性的应用 例3(1)(2018全国2,
13、文12)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=( ) A.-50 B.0 C.2 D.50 (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)= .若当2x3时,f(x)=x,则f(105.5)= .,C,2.5,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)f(-x)=f(2+x)=-f(x), f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x). f(x)的周期为4.f(x)为奇函数,f(0)=0. f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=
14、-f(1)=-2,f(4)=f(0). f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.,函数f(x)的周期为4. f(105.5)=f(427-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). 22.53,f(2.5)=2.5. f(105.5)=2.5.,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,再进行求解.,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,A.-1 B.0 C.1 D.2 (2)(2018山东济宁一模,8)
15、已知函数f(x)是(-,+)上的奇函数,且f(x)的图像关于x=1对称,当x0,1时,f(x)=2x-1,则f(2 017)+f(2 018)的值为 ( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1,B,D,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)函数f(x)是R上的奇函数, f(0)=0,当x0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),f(x+1)=f(x)-f(x-1), f(x+1)=-f(x-2),f(x+3)=-f(x), f(x+6)=f(x), f(x)是周期为6的周期函数, f(2 019)=f(3366+3)=f(3)=f(2)-f(1)=(f(1)-f(0)-f(
16、1)=-f(0)=0. (2)由题意,f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x)=-f(-x), f(4-x)=-f(2-x)=f(-x), f(x)的周期为4. 当x0,1时,f(x)=2x-1, f(2 017)+f(2 018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=1+0=1.,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,函数性质的综合应用 例4(2018河北石家庄期末,8)已知奇函数f(x),当x0时单调递增,且f(1)=0,若f(x-1)0,则x的取值范围为( ) A.x|02 B.x|x2 C.x|x3 D.x|x1,D,解析:f(x)为奇函数,x0时递增, x0时,也递增,
17、由f(1)=0,得f(-1)=0,解得02,故选A.,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些? 解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略: (1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反. (2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解. (3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,对
18、点训练4(1)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f(1)1,f(5)= ,则实数a的取值范围为( ) A.(-1,4) B.(-2,0) C.(-1,0) D.(-1,2) (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且f(x)在区间0,2上是增加的,则( ) A.f(-25)f(11)f(80) B.f(80)f(11)f(-25) C.f(11)f(80)f(-25) D.f(-25)f(80)f(11),A,D,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数, f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1)
19、,解得-1a4. (2)因为f(x)满足f(x-4)=-f(x), 所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数, 则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x), 得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1). 因为f(x)在区间0,2上是增加的,f(x)在R上是奇函数, 所以f(x)在区间-2,2上是增加的, 所以f(-1)f(0)f(1), 即f(-25)f(80)f(11).,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个关键点:
20、(1)“定义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇函数、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或应用定义的等价形式:,3.函数的奇偶性、对称性、周期性,知二断一.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0;偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,4.求函数周期的方法,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域. 2.函数f(x)是奇函数,必须满足对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0,使f(-x0)=-f(x0).同样偶函数也是如此.,
