1、5.1 平面向量的概念及线性运算,-2-,知识梳理,考点自诊,1.向量的有关概念,大小,方向,长度,模,0,1个单位,相同 相反,方向相同或相反,平行,-3-,知识梳理,考点自诊,相等,相同,相等,相反,-4-,知识梳理,考点自诊,2.向量的线性运算,b+a,a+(b+c),-5-,知识梳理,考点自诊,|a|,相同,相反,a,a+a,a+b,-6-,知识梳理,考点自诊,3.向量共线定理 (1)向量b与a(a0)共线,当且仅当有唯一一个实数,使得 . 注:限定a0的目的是保证实数的存在性和唯一性. (2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有且只有一个实数,使得,b=a,-
2、7-,知识梳理,考点自诊,-8-,知识梳理,考点自诊,-9-,知识梳理,考点自诊,2.四边形ABCD中, ,则四边形ABCD是( ) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形,C,解析:由于 ,故四边形是平行四边形.根据向量加法和减法的几何意义可知,该平行四边形的对角线相等,故为矩形.,3.已知 ,且四边形ABCD为平行四边形,则( ) A.a-b+c-d=0 B.a-b+c+d=0 C.a+b-c-d=0 D.a+b+c+d=0,A,-10-,知识梳理,考点自诊,A,-11-,知识梳理,考点自诊,5.设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数= .,-12-,考点一,考点二,
3、考点三,平面向量的有关概念 例1(1)对于非零向量a,b,“a+b=0”是“ab”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)给出下列命题: 若|a|=|b|,则a=b或a=-b;若A,B,C,D是不共线的四点,则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;a=b的充要条件是|a|=|b|,且ab. 其中真命题的序号是 .,A,-13-,考点一,考点二,考点三,解析: (1)若a+b=0,则a=-b, 所以ab. 若ab,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件. (2)不正确.
4、两个向量的长度相等,方向可以是任意的;,又A,B,C,D是不共线的四点, 四边形ABCD为平行四边形. 反之,若四边形ABCD为平行四边形,不正确.相等向量的起点和终点可以都不同; 不正确.当ab且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b. 综上所述,真命题的序号是.,-14-,考点一,考点二,考点三,思考学习了向量的概念后,你对向量有怎样的认识? 解题心得对于向量的概念应注意以下几条: (1)向量的两个特征为大小和方向.向量既可以用有向线段和字母表示,也可以用坐标表示. (2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量. (3)向量与数量
5、不同,数量可以比较大小,向量则不能,所以向量只有相等与不相等,不可以比较大小.,-15-,考点一,考点二,考点三,对点训练1给出下列6个命题: 若|a|=|b|,则a=b或a=-b; 若 ,则ABCD为平行四边形; 若a与b同向,且|a|b|,则ab; ,为实数,若a=b,则a与b共线; a=0(为实数),则必为零; a,b为非零向量,a=b的充要条件是|a|=|b|且ab. 其中假命题的序号为 .,-16-,考点一,考点二,考点三,解析:不正确.|a|=|b|.但a,b的方向不确定,故a,b不一定是相等或相反向量; 不正确.因为 ,A,B,C,D可能在同一直线上,所以ABCD不一定是四边形.
6、 不正确.两向量不能比较大小. 不正确.当=0时,a与b可以为任意向量,满足a=b,但a与b不一定共线. 不正确.当=1,a=0时,a=0. 不正确.对于非零向量a,b,a=b的充要条件是|a|=|b|且a,b同向.,-17-,考点一,考点二,考点三,平面向量的线性运算,D,D,-18-,考点一,考点二,考点三,-19-,考点一,考点二,考点三,思考在几何图形中,用已知向量表示未知向量的一般思路是什么?向量的线性运算与代数多项式的运算有怎样的联系? 解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线及相似三角形的对应边成比例等性质
7、,把未知向量用已知向量表示出来. 2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量的线性运算中同样适用.,-20-,考点一,考点二,考点三,A,D,-21-,考点一,考点二,考点三,-22-,考点一,考点二,考点三,-23-,考点一,考点二,考点三,向量共线定理及其应用,B,B,D,-24-,考点一,考点二,考点三,-25-,考点一,考点二,考点三,思考如何用向量的方法证明三点共线? 解题心得1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. 2.向量a,b共线是
8、指存在不全为零的实数1,2,使1a+2b=0成立;若1a+2b=0当且仅当1=2=0时成立,则向量a,b不共线.,-26-,考点一,考点二,考点三,A,-27-,考点一,考点二,考点三,-28-,考点一,考点二,考点三,1.平面向量的重要结论: (1)若存在非零实数,使得 ,则A,B,C三点共线. (2)相等向量具有传递性,非零向量的平行具有传递性. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量. 2.a与b共线b=a(a0,为实数). 3.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则,做题时,要注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向
9、量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量的终点”;平行四边形法则要素是“起点重合”.,-29-,考点一,考点二,考点三,1.若两个向量起点相同,终点相同,则这两个向量相等;但两个相等向量不一定有相同的起点和终点. 2.零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定,但方向不确定. 3.注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系.向量 是共线向量,但A,B,C,D四点不一定在同一条直线上. 4.在向量共线的充要条件中要注意“a0”,否则可能不存在,也可能有无数个.,-30-,典例(1)下列命题正确的是 .(填序号) 向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数,使b=a; 在ABC中,
10、 不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|中两个等号不可能同时成立; 只有方向相同或相反的向量是平行向量; 若向量a,b不共线,则向量a+b与向量a-b必不共线. (2)下列叙述错误的是 . 若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b与a,b其中之一的方向相同; |a|+|b|=|a+b|a与b的方向相同;,若a=b,则a=b.,易错警示都是零向量“惹的祸”,-31-,解析:(1)易知错误.,-32-,反思提升在向量的有关概念中,定义长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的,并且规定:0与任一向量平行.由于零向量的特殊性,在两个向量共线或平行问题上,如果不考虑零向量,那么往往会得到错误的判断或结论.在向量的运算中,很多学生也往往忽视0与0的区别,导致结论错误.,
