1、5.4 数系的扩充与复数的引入,-2-,知识梳理,考点自诊,1.复数的有关概念,a+bi,a,b,a=c,且b=d,a=c,且b=-d,-3-,知识梳理,考点自诊,x轴,-4-,知识梳理,考点自诊,2.复数的几何意义,-5-,知识梳理,考点自诊,3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则 加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ; 减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ; 乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)= ;,(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3C,有z1+
2、z2= ,(z1+z2)+z3= .,(a+c)+(b+d)I,(a-c)+(b-d)I,(ac-bd)+(ad+bc)I,z2+z1,z1+(z2+z3),-6-,知识梳理,考点自诊,2.-b+ai=i(a+bi)(a,bR). 3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN+). 4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(nN+).,-7-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)若aC,则a20. ( ) (2)已知z=a+bi(a,bR),当a=0时,复数z为纯虚数. ( ) (3)复数z=a+bi(a,bR
3、)的虚部为bi. ( ) (4)方程x2+x+1=0没有解. ( ) (5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小. ( ),2.(2018全国3,文2)(1+i)(2-i)=( ) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i,D,解析: (1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.,-8-,知识梳理,考点自诊,3.(2018北京,文2)在复平面内,复数 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,D,4.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2
4、D.i(1+i),C,解析:i(1+i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i, (1+i)2=2i为纯虚数,故选C.,-9-,知识梳理,考点自诊,4-I,-10-,考点1,考点2,考点3,复数的有关概念 例1(1)(2018浙江,4)复数 (i为虚数单位)的共轭复数是( ) A.1+i B.1-I C.-1+i D.-1-i (2)(2018河南郑州一模,2)若复数z=(a2-a-2)+(a+1)i为纯虚数(i为虚数单位),则实数a的值是( ) A.-2 B.-2或1 C.2或-1 D.2 (3)(2018江苏,2)若复数z满足iz=1+2i,
5、其中i是虚数单位,则z的实部为 .,B,D,2,-11-,考点1,考点2,考点3,解题心得求解复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数以及求复数的实部、虚部时都与复数的实部与虚部有关,通常需先把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,bR)的形式,再根据题意求解.,-12-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)(2018衡水中学押题二,2)若复数z=x+yi(x,yR)满足(1+z)i=3-i,则x+y的值为 ( ) A.-3 B.-4 C.-5 D.-6,C,B,-13-,考点1,考点2,考点3,复数的几何意义 例2(2018河北衡水中学十模,2)在复平面内,复数 对应的点的坐标为(2,
6、-2),则z在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,D,-14-,考点1,考点2,考点3,思考复数具有怎样的几何意义?几何意义的作用是什么?,2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.,-15-,考点1,考点2,考点3,A,D,-16-,考点1,考点2,考点3,-17-,考点1,考点2,考点3,复数的代数运算 例3(1)(2018湖南衡阳一模,2)若复数z满足(1+i)z=2i(i为虚数单位),则z=( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1
7、-i (2)(2018衡水中学8模,2)若z=1+2i,则 = ( ) A.1 B.-1 C.i D.-i,A,C,-18-,考点1,考点2,考点3,思考利用复数的四则运算求复数的一般方法是什么? 解题心得利用复数的四则运算求复数的一般方法: (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算. (2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算化简.,-19-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)(2018全国2,文1)i(2+3i)= ( ) A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i (2)(2018河北衡水中学9模,2)复数(1+i)(1+ai)是
8、实数,则实数a等于( ) A.2 B.1 C.0 D.-1,D,D,解析: (1)i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i. (2)(1+i)(1+ai)=1-a+(a+1)i,又复数(1+i)(1+ai)是实数, a+1=0,即a=-1,故选D.,-20-,考点1,考点2,考点3,1.复数z=a+bi(a,bR)是由它的实部和虚部唯一确定的,两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于复数z=a+bi(a,bR),既要从整体的角度去认识它,把复数看成一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识. 2.在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三角形法则,其方向是应注意
9、的问题,平移往往和加法、减法相结合. 3.在复数的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进行,除法则需将分母实数化.,-21-,考点1,考点2,考点3,1.判定一个复数是不是实数,仅注意虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义. 2.注意复数和虚数是包含关系,不能把复数等同为虚数,如虚数不能比较大小,但两个复数都为实数时,则可以比较大小. 3.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若z1,z2C, ,就不能推出z1=z2=0;z20在复数范围内有可能成立.,-22-,思想方法数形结合思想在复数中的应用 数形结合的思想是高考考查的基本思想之一,它是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,可将代数问题几何化,几何问题代数化.其应用有两个方面:一是“以形助数”,借助形的生动、直观来阐明数之间的联系;二是“以数辅形”,借助于数的精确、规范来阐明形的某些属性.,-23-,反思提升复数与复平面内的点和向量一一对应,要注意: (1)|z|=|z-0|=a(a0)表示复数z对应的点到原点的距离为a; (2)|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离.,
