1、6.1 数列的概念与表示,-2-,知识梳理,考点自诊,1.数列的有关概念,一定顺序,每一个数,an=f(n),a1+a2+an,-3-,知识梳理,考点自诊,2.数列的表示方法,3.数列的函数特征 数列的三种表示方法也是函数的表示方法,数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集1,2,n)的函数an=f(n),当自变量由小到大依次取值时所对应的一列 .,(n,an),公式,函数值,-4-,知识梳理,考点自诊,4.数列的性质,5.an与Sn的关系,an+1an,an+1an,-5-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)所有数列的第n项都能使用公式表
2、达. ( ) (2)数列an和集合a1,a2,a3,an是一回事. ( ) (3)若数列用图像表示,则从图像上看都是一群孤立的点. ( ) (4)一个确定的数列,它的通项公式只有一个. ( ) (5)若数列an的前n项和为Sn,则对任意nN+,都有an=Sn-Sn-1. ( ),-6-,知识梳理,考点自诊,D,3.(2018河北唐山三模,6)数列an是首项a1=1,对于任意m,nN+,有an+m=an+3m,则an前5项和S5= ( ) A.121 B.25 C.31 D.35,D,解析:当m=1时,由an+m=an+3m,得an+1-an=3, 数列an是首项a1=1,公差d=3的等差数列,
3、 S5=51+ 543=35.,-7-,知识梳理,考点自诊,D,-8-,知识梳理,考点自诊,5.设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn= .,-9-,考点1,考点2,考点3,由数列的前几项求数列的通项公式 例1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:,思考如何根据数列的前几项的值写出数列的一个通项公式?,-10-,考点1,考点2,考点3,解 (1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式an=(-1)n(6n-5). (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号
4、与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故它的一个通项公式an=(-1)n (3)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为13,35,57,79,911,即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积,故所求数列的一个通项公式an=,-11-,考点1,考点2,考点3,-12-,考点1,考点2,考点3,对点训练1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:,(2)1,-3,5,-7,9,; (3)1,2,1,2,1,2,; (4)9,99,999,9 999,.,-13-,考点1,考点2,考点3,-14-,考点1,考点2,考点3,由an与Sn的关系求通项公式 例2(1)已知数列
5、an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( ),(2)设已知a1=1,an=2(an-1+an-2+a2+a1),则an为 .,B,-15-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)由已知Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),(2)由an=2(an-1+an-2+a2+a1)可得an=2Sn-1, 即Sn-Sn-1=2Sn-1,所以Sn=3Sn-1, 从而数列Sn为公比为3的等比数列,且首项S1=a1=1, 所以Sn=3n-1,从而当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-2=23n-2. 当n=1时,a1=1不符合an=23n-2,-16-,考点1,考点2,考
6、点3,思考已知数列的前n项和Sn,求数列通项的一般方法是什么? 解题心得给出Sn与an的递推关系,求an的常用思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.,-17-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)已知数列an的前n项和Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为an= . (2)设数列an的前n项和为Sn,已知a1=a,an+1=Sn+3n(nN+),设bn=Sn-3n,则数列bn的通项公式为 .,bn=(a-3)2n-1,解析: (1)当n=1时,a1=S1=312-21+1=2; 当n2时
7、,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-3(n-1)2-2(n-1)+1=6n-5, 显然当n=1时,a1不满足上式. 故数列an的通项公式为 (2)依题意,an+1=Sn+1-Sn=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n, 由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n), 即数列Sn-3n为公比为2的等比数列, 首项为b1=a1-31=a-3. bn=Sn-3n=(a-3)2n-1.,-18-,考点1,考点2,考点3,由递推关系式求数列的通项公式(多考向) 考向1 形如an+1=anf(n),求an 例3在数列an中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n2),求数列an的通项公式.,思考
8、已知在数列an中,an+1=anf(n),利用什么方法求an?,-19-,考点1,考点2,考点3,考向2 形如an+1=an+f(n),求an 例4在数列an中,已知a1=2,an+1=an+3n+2,求数列an的通项公式.,思考已知在数列an中,an+1=an+f(n),利用什么方法求an?,-20-,考点1,考点2,考点3,考向3 形如an+1=pan+q,求an 例5已知数列an满足a1=1,an+1=3an+2,求数列an的通项公式.,解 an+1=3an+2, an+1+1=3(an+1).,数列an+1为等比数列,且公比q=3. 又a1+1=2,an+1=23n-1. an=23n
9、-1-1.,思考已知在数列an中,an+1=pan+q(p,q均为常数),利用什么方法求an?,-21-,考点1,考点2,考点3,考向4 由含an+1与an的二次三项式求an 例6已知各项都为正数的数列an满足a1=1, -(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3; (2)求an的通项公式.,思考已知含有an+1与an的二次三项式的递推公式,如何求an?,-22-,考点1,考点2,考点3,解题心得根据给出的初始值和递推关系求数列通项的常用方法有: (1)若递推关系为an+1=an+f(n)或an+1=f(n)an,则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式,或用迭代法求得通项公
10、式. (2)当递推公式为an+1=pan+q(其中p,q均为常数)时,通常解法是先把原递推公式转化为an+1-t=p(an-t),其中 ,再利用换元法转化为等比数列求解. (3)当递推公式含有an+1与an的二次三项式时,通常先对递推公式进行化简、变形,转化为等差或等比数列,再用公式法求an.,-23-,考点1,考点2,考点3,-24-,考点1,考点2,考点3,-25-,考点1,考点2,考点3,-26-,考点1,考点2,考点3,-27-,考点1,考点2,考点3,1.在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值是正整数. 2.数列的通项公式不一定唯一. 3.注意an=Sn-Sn-1中需n2.
11、4.由Sn求an时,利用 求出an后,要注意验证a1是否适合求出的an的关系式.,-28-,思想方法用函数的思想求数列中项的最值 数列是一种特殊的函数,通过函数的思想观点去直观地认识数列的本质是高考能力立意的指导思想.数列的通项公式及前n项和的作用在于刻画an及Sn与n的函数关系,数列的性质可以通过函数的性质反映出来,这为数列问题的解决提供了一个新的方向.在数列中,求an和Sn的最值问题都可以通过求相应函数的最值的方法解决,通常利用函数的单调性,要注意自变量不连续.,-29-,答案:D 解析:由于an是递增数列,所以a1,且f(2)f(1),即a22a+3,解得a3,所以a3,选D.,-30-,答案:C,-31-,答案:A,-32-,反思提升1.如果数列通项公式可以看作一个定义在正整数集N+上的二次函数,那么可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性. 2.不要忽略了数列作为函数的特殊性,即自变量是正整数. 3.数列是一种特殊的函数,但数列an=f(n)和函数y=f(x)的单调性是不同的,如典例2(2)中定义在正整数上的函数f(n)在满足 时即为增函数,但定义在R上的f(x)不是增函数.,
