1、11.3 几何概型,-2-,知识梳理,考点自诊,1.几何概型 (1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_ (面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. (2)特点 无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; 等可能性:每个结果的发生具有等可能性. (3)公式: P(A)= .,长度,-3-,知识梳理,考点自诊,2.随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法. (2)用计算机或计算器模拟试验的方法的基本步骤是:用计算机或计算器产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;
2、统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;计算频率 作为所求概率的近似值.,-4-,知识梳理,考点自诊,几种常见的几何概型 (1)与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关. (2)与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题。 (3)与体积有关的几何概型,可借助空间几何体的体积公式解答问题.,-5-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)在几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地
3、取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等. ( ) (2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形. ( ) (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关. ( ) (4)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的. ( ) (5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率. ( ),-6-,知识梳理,考点自诊,2.(2018安徽示范高中联考,6)2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时01分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“
4、红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结束,一市民准备在19:55至21:56之间的某个时刻欣赏月全食,则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是( ),A,-7-,知识梳理,考点自诊,3.(2018山西运城模拟,3)在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( ),C,-8-,知识梳理,考点自诊,4.(2018福建厦门二模,5)如图所示的风车图案中,黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成.在图案内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ),B,解析:设小黑色三角形面积为S,则整个图案面积为12S,黑色部分总面积为4S,由几何概型概
5、率公式可得,该点取自黑色部分的概率是 ,故选B.,-9-,考点1,考点2,考点3,考点4,与长度、角度有关的几何概型,C,D,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考如何确定几何概型的概率是用长度或角度的比来求? 解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.(1)当考察对象为点,点的活动范围在线段上时用线段长度比计算;(2)当考察对象为线时,一般用角度比计算.,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,C,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,与面积、体积有关的几何概型 例2(1)(2018甘肃兰州模拟,6)2002年国际数学大会在北京召开,会标如图,其设计
6、的基础是公元3世纪我国数学家赵爽的弦图.会标是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若三角形中较小的锐角为30,则向大正方形内随机投一个点,则该点落在小正方形内的概率为( ),D,(2)(2018河南一模,14)一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为 .,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考求与面积、体积有关的几何概型的概率的基本思路是什么?,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,B,-16-,考点1,考点2,考点3,考点
7、4,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,几何概型与非几何知识的综合,A,A,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考如何把看似与几何概型无关的知识转化成与几何概型有关的问题? 解题心得处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是,通过转化,将某一事件所包含的基本事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来.如把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,进而转化为面积的度量来解决.,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,B,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,几何概型的应用(模拟方法) 例4(
8、2018全国下学期调研,10)关于圆周率,数学发展史上出现过许多有创意的求法,如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请120名同学每人随机写下一个x,y都小于1的正实数对(x,y),再统计其中x,y能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m,最后根据统计个数m估计的值.如果统计结果是m=34,那么可以估计的值为( ),B,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考依据题意如何用随机模拟的方法求圆周率的近似值? 解题心得将看作未知数表示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与矩形
9、面积之比等于m与n之比,从而用m,n表示出的近似值.,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4 (2018安徽合肥三模,12)右图是一个正六边形及其内切圆,现采取随机模拟的方法估计圆周率的值:随机撒一把豆子,若落在正六边形内的豆子个数为N个,落在圆内的豆子个数为M个,则估计圆周率的值为( ),D,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.两种常见几何概型的解决方法: (1)线型几何概型:当基本事件只受一个连续的变量控制时,一般是把这个变量看成一条线段或角,即可借助于线段(或角度)的度量比来求解. (2)面型几何概型:当基本事件受两个连续的变量控制时,一般是把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,进而转化为面积的度量来解决. 2.对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而与形状和位置无关. 3.转化思想的应用:很多几何概型往往要通过一定的方法才能转化成几何概型,在解决问题时,要善于根据问题的具体情况进行转化,这种转化策略是解决几何概型试题的关键.如建立平面直角坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何概型概率公式计算等.,
