1、选修45 不等式选讲,-2-,知识梳理,考点自诊,1.绝对值三角不等式 (1)定理1:若a,b是实数,则|a+b| ,当且仅当 时,等号成立; (2)性质:|a|-|b|ab|a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c| , 当且仅当 时,等号成立.,|a|+|b|,ab0,|a-b|+|b-c|,(a-b)(b-c)0,-3-,知识梳理,考点自诊,2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a(a0)的解法: |x|axa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法: |ax+b|c ; |ax+b|c . (3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x
2、-b|c(c0)型不等式的解法: 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程及数形结合的思想.,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,-4-,知识梳理,考点自诊,2ab,4.不等式证明的方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.,-5-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)对|a-b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.( ) (2)|a+b|+|a-b|2a|. ( ) (3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示
3、数轴上的点x到点a,b的距离之和. ( ) (4)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”. ( ) (5)若m=a+2b,n=a+b2+1,则nm. ( ),-6-,知识梳理,考点自诊,2. 若|a-c|c-b C.|a|b|-|c| D.|a|b|+|c|,解析:|a|-|c|a-c|b|,即|a|b|+|c|,故选D.,D,3.(2018山东青岛第二次模拟)已知|x-a|b的解集是x|-3x9,则实数a,b的值是( ) A.a=-3,b=6 B.a=-3.b=-6 C.a=6,b=3 D.a=3,b=6,D,解析:由题意得-bx-ab,所以a-bxa+b, 因为
4、|x-a|b的解集是x|-3x9, 所以a-b=-3且a+b=9, 所以a=3,b=6.故选D.,-7-,知识梳理,考点自诊,4.若存在实数x,使|x-a|+|x-1|3成立,则实数a的取值范围是( ) A.-2,1 B.-2,2 C.-2,3 D.-2,4,D,5.若不等式|x+a|2在x1,2时恒成立,则实数a的取值范围是 .,解析:由|x-a|+|x-1|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,不等式|x-a|+|x-1|3有解,可得|a-1|3,即-3a-13,求得-2a4,故选D.,-3,0,解析:|x+a|2,-2-ax2-a. 不等式|x+a|2在x1,2时恒成立,-8-,考点1,
5、考点2,绝对值不等式(多考向) 考向1 绝对值不等式的解法 例1(2018全国1,文23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.,-9-,考点1,考点2,-10-,考点1,考点2,解题心得解含有两个以上绝对值符号的不等式,一般解法是零点分段法.即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而将绝对值不等式转化为常规不等式.,-11-,考点1,考点2,对点训练1(2018湖南湘潭三模,23)已知函数f(x)=|3x-1|-|2
6、x+1|+a. (1)求不等式f(x)a的解集; (2)若恰好存在4个不同的整数n,使得f(n)0,求a的取值范围.,解 (1)由f(x)a,得|3x-1|2x+1|, 不等式两边同时平方,得9x2-6x+14x2+4x+1, 即5x210x,解得x2, 所以不等式f(x)a的解集为(-,0)(2,+).,-12-,考点1,考点2,-13-,考点1,考点2,考向2 利用绝对值三角不等式求最值 例2(2018皖江八校5月联考,23)已知函数f(x)=|3x-2|.,-14-,考点1,考点2,解题心得求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种:(1)利用绝对值的几何意义;(2)利用绝对值三角不等式,
7、即|a|+|b|ab|a|-|b|;(3)利用零点分区间法,去绝对值转化为分段函数求解.,-15-,考点1,考点2,-16-,考点1,考点2,解 (1)f(x)+f(2x+5)=|x-1|+|2x+4|x+9, 当x-2时,不等式为4x-12,x-3,x(-,-3; 当-2x1时,不等式为59,不成立; 当x1时,不等式为2x6,x3,x3,+), 综上所述,不等式的解集为(-,-33,+). (2)f(x+a)+f(x-b)=|x+a-1|+|x-b-1|x+a-1-(x-b-1),-17-,考点1,考点2,考向3 绝对值不等式的综合应用 例3(2018全国3,文23)设函数f(x)=|2x
8、+1|+|x-1|.,(1)画出y=f(x)的图像; (2)当x0,+)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.,-18-,考点1,考点2,(2)由(1)知,y=f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a3且b2时,f(x)ax+b在0,+)成立,因此a+b的最小值为5.,-19-,考点1,考点2,解题心得(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值,化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.,-20-,考点1,考点2,对点训练3(2018湖北华中师大附中5月押题,23)已知函数f(x)=|2x-1|-a(aR).
9、 (1)若f(x)在-1,2上的最大值是最小值的2倍,解不等式f(x)5; (2)若存在实数x使得f(x) f(x+1)成立,求实数a的取值范围.,-21-,考点1,考点2,-22-,考点1,考点2,不等式的证明 例4(2017全国2,文23)已知a0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2.,-23-,考点1,考点2,解题心得不等式证明的常用方法是:比较法、综合法与分析法.其中运用综合法证明不等式时,主要是运用基本不等式证明,与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式.证明过程中一方面要注意不等式成立的条件,另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形
10、.,-24-,考点1,考点2,对点训练4(2018宁夏银川考前模拟,23)已知a0,b0,a2+b2=a+b.证明: (1)(a+b)22(a2+b2); (2)(a+1)(b+1)4.,解 (1)因为(a+b)2-2(a2+b2)=2ab-a2-b2=-(a-b)20. 所以(a+b)22(a2+b2). (2)由(1)及a2+b2=a+b得a+b2.,于是(a+1)(b+1)4.,考点1,考点2,1.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法 (1)分离参数法:运用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(x)mina”可解决恒成立中的参数范围问题. (2)数形结合法:在研究不等式f(x)g(
11、x)恒成立问题时,若能作出两个函数的图像,则通过图像的位置关系可直观解决问题. 2.含绝对值不等式的证明,可用“零点分段法”讨论去掉绝对值符号,也可利用重要不等式|a+b|a|+|b|及其推广形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|. 3.不等式求解和证明中应注意的事项 作差比较法适用的主要是多项式、分式、对数式、三角式,作商比较法适用的主要是高次幂乘积结构.,考点1,考点2,1.在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解,要掌握分类讨论的标准,做到不重不漏. 2.在利用算术-几何平均不等式求最值时,要注意检验等号成立的条件,特别是多次使用不等式时,必须使等号同时成立.,
