1、高 2020 届第三期半期考试数学试题（理科） 第 1 页（共 4 页） 遂宁二中高 2020 级 2018-2019 学年 第 一 学期 半期考试数学试题 （ 理科 ） 说明： 1、本试卷分第卷（选择题，共 60 分）和第卷（非选择题，共 90 分）。考试时间 120 分钟，总 分 150 分。 2、选择题使用 2B 铅笔填涂在机读卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5mm 黑色墨水签字笔 书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3、考试结束后，将答题卡和机读卡收回。 第卷 （选择题，共 60 分） 一、选择题：本 大 题共 12 小题，每小题 5
2、 分，共 60 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 经过两点 A(2,1)、 B(1， m2)的直线 l 的倾斜角为锐角 ， 则 m 的取值范围是 ( ) A m 1 B m 1 C 1 m 1 D m 1 或 m 1 2 若两平行直线 1l ： 02 myx )0( m 与 2l ： 062 nyx 之间的距离是 5 ，则 nm （ ） A 0 B 1 C 2 D 1 3 以 A( 1,1)、 B(2， 1)、 C(1,4)为顶点的三角形 的外接圆的面积 是 ( ) A 92 B 112 C 132 D 152 4对于不重合的两个平面 和 ，给定下列条件： 存在直线
3、 l，使得 l ，且 l ； 存在平面 ，使得 ，且 ； 存在平面 ，使得 ，且 ； 内有不共线的三点到 的距离相等 其中，可以判定 与 平行的条件有 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5若圆台两底面周长的比是 1 4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是 ( ) A.12 B.14 C 1 D.1343 6某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是 ( ) A 18 9 3 B 18 9 2 C 9 18 2 D 9 18 3 高 2020 届第三期半期考试数学试题（理科） 第 2 页（共 4 页） 7 点 P(x， y)在线段 AB 上运动，已知
4、点 A(2,4)， B(5， 2)，则 y 1x 1的取值范围是 ( ) A. 16， 53 B. ， 16 53， C. 16， 0 0， 53 D. 16， 53 8一个几何体的三视 图如图所示，则这个几何体的体积等于 ( ) A 12 B 4 C.563 D.8 33 9已知直二面角 l ， A ， AC l， C 为垂足， B ， BD l， D 为垂足若 AB 2， AC BD 1，则 D 到平面 ABC 的距离等于（ ） A 62 B 52 C 63 D 53 10、 不论 a 为何值，直线 l： ax y+a 2 0 恒过定点 A， 以点 A为圆心的圆与直线 1 17:022l
5、x y 相切 .则以该圆的直径为轴旋转一周所得的几何体的表面积是（ ） A 40 B 160 53 C 80 D 80 53 11 直线 : ( 4)m y k x与直线 n 关于点（ 2,1）对称，直线 n 恒过定点为 P（ ,mn） ,过点 Q（ 3, 2mn）的直线 l 夹在两直线： 1 : 2 2 0l x y 和 2 : 3 0+=l x y 之间的线段 MN 恰被点 Q 平分，则直线 l 的方程为 ( ) A 4 24 0+xy B 8 24 0+xy C 4 24 0xy D 8 24 0xy 12 点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1 的面对角线 BC1（线段 BC1）
6、上运动，给出下列 五 个命题： 直线 AD 与直线 B1P 为异面直线； A1P 面 ACD1； 三棱锥 A D1PC 的体积为定值； 面 PDB1 面 ACD1 直线 AP 与平面 1ACD 所成角的大小不变； 其中所有正确命题的 个数 是 （ ） A 2 个 B 3 个 C.4 个 D.5 个 高 2020 届第三期半期考试数学试题（理科） 第 3 页（共 4 页） 第卷 （非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 已知直线 y 33 x 5 的倾斜角是直线 l 的倾斜角的大小的 5 倍 ， 且直线 l 过点 P( 3 ， 4)，则 直
7、线 l 的 斜截式 方程 为 _. 14 点 M 2,1（ ） 关于直线 10xy 的对称点的坐标是 _ 15已知 a， b 表示直线， ， ， 表示不重合平面 若 a， b， a b，则 ； 若 a， a 垂直于 内任意一条直线，则 ； 若 ， a， b，则 a b； 若 a ， b ， a b，则 上述命题中，正确命题的序号是 16某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积是 三、解答题：本大题共 6 小题，第 17 小题 10 分，其余小题每小题 12 分，共 70 分。 17、 （本小题满分 12 分） ABC 的三个顶点分别为 A(0,4)、 B( 2,6)、 C( 8,0
8、). (1)求 AC 边上的中线 BD 所在直线的方程 ； (2)求 AC 边上的高所在直线的方程 ； 18 （本小题满分 12 分） 设 ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 ,a b c，已知： ,2,1 ba 41cos C 。 ( ) 求 ABC 的周长； ( )求 cos(A C.)。 高 2020 届第三期半期考试数学试题（理科） 第 4 页（共 4 页） 19（本小题满分 12 分） 已 数列 an的前 n 项和 Sn 3n2 8n， bn是等差数列，且 an bn bn 1. (1) 求数列 bn的通项公式； (2) 令 cn an 1n 1bn 2n ，求数列 cn
9、的前 n 项和 Tn. 20（本小题满分 12 分） 已知平行四边形 ABCD中， AB=6， AD=10， BD=8， E是线段 AD的中点沿 BD将 BCD 翻折到 BC D ，使得平面 BC D 平面 ABD （ 1）求证： CD 平面 ABD； （ 2）求二面角 D BE C的余弦值 21、 （本小题满分 12 分） 已知直线 l 过点 )2,3(P ，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于点 A、 B。 （ 1）求 AOB 面积 的 最小 值 以及 此 时直线 l 的方程； （ 2）求直线 l 在坐标轴上的截距之和的最小值即此时 直线 l 的方程； 22 (本小题满分 12 分 )
10、如图所示，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，已知 DC DD1 2AB， AD DC， AB DC. (1)求证： D1C AC1； (2)设 E 是 DC 上一点，试确定 E 的位置，使 D1E 平面 A1BD，并说明理由 遂宁二中高 2020 级 2018-2019 学年 第 一 学期 半期考试数学试题 （ 理科 ） 参考解答 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C C B D C A B C C D B 二、填空题： 13 y 33 x 5 14 ( 2, 3). 15 16 35316 17、 解 ： (1)设 AC 边的中点为
11、 D(x， y)，由中点坐标公式可得 x 4， y 2，所以直线 BD 的两点式方程为 y 62 6 x 2 4 2，即 2x y 10 0 5分 (2)AC边上的高线的斜率为 2，且过点 B( 2,6)，所以其点斜式方程为 y 6 2(x 2)， 即 2x y 2 0 10分 18 解 ： ( ) 44121241cos2222 Cabbac , 2C 5 分 所以， ABC 的周长为： 5221 cba 6 分 ( ) 1cos ,4C 221 15sin 1 cos 1 ( ) .44CC 15sin 154sin , .28aCAc ,a c A C ，故 A 为锐角 . 2215 7
12、cos 1 sin 1 ( ) .88AA 7 1 15 15 11cos( ) cos cos sin sin .8 4 8 4 16A C A C A C 12 分 19 解 ： (1)由题意知当 n 2时， an Sn Sn 1 6n 5. 当 n 1时， a1 S1 11，符合上式所以 an 6n 5. 2分 设数列 bn的公差为 d.由 a1 b1 b2，a2 b2 b3， 即 11 2b1 d，17 2b1 3d， 解得 b1 4，d 3. 所以 bn 3n 1. 5分 (2)由 (1)知 cn 6n 6n 13n 3n 3(n 1)2n 1. 7分 又 Tn c1 c2 cn，
13、得 Tn 3 222 323 (n 1)2n 1， 2Tn 3 223 324 (n 1)2n 2， 9分 两式作差，得 Tn 3 222 23 24 2n 1 (n 1)2n 2 3 4 41 2n1 2 n 1 2n 2 3n2 n 2， 所以 Tn 3n2 n 2. 12分 20 解： （ 1） 由题意可知 6CD CD ， 10 BCCB ， BD=8，即 2 2 2BC CD BD，故 CD BD 因为平面 BCD 平面 ABD，平面 BCD 平面 ABD=BD， CD 平面 BCD ，所以 CD 平面ABD 5分 （ 2） 由 （ 1） 知 CD 平面 ABD， 且 CD BD ，
14、 以 D为原点， ,DB CD DC所在直线分别为 ,x y z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz ， 则 (0,0,0)D ， (8,6,0)A ， (8,0,0)B ， (0,0,6)C 由于 E是线段 AD 的中点，所以 (4,3,0)E ， ( 8,0,0)BD 在平面 BEC中， ( 4,3,0)BE ， ( 8,0,6)BC ， 设 平面 BEC的法向量为 ( , , )x y zn ，则 00BEBC nn，即 4 3 08 6 0xyxz ，令 3x ，得 4, 4yz， 所以平面 BEC的一个法向量为 (3,4,4)n 9分 而平面 DBE的 一 个法向量为 (0,
15、0,6)DC 10分 故 4 41cos , 41| | | |DCDC DC nn n ， 由图易知二面角 D BE C的平面角为锐角，所以二面角 D BE C的余弦值为 4 4141 12分 21、解：（ 1）设直线 l 的方程为 1 byax ，则 ,0,0),0(),0,( babBaA 且 又 ）（过点 2,3Pl ， 123 ba ，2462231,0,0 ababbaba ， 1221 abS AOB ，当且仅当 2123 ba 即 4,6 ba 时取等号。AOB 的面积的最小值为 12 平方单位，此时直线 l 的方程为： 146 yx 即 01232 yx 。 6分 （ 2）由
16、（ 1）知， 123 ba ， 6255232523)23)( baabbaabbababa ，当 baab 23 即62,63 ba 时取等号。 l直线 在两坐标轴上的截距之和的最小值为 625 ，此时直线 l 的方程为：16263yx ，即 066262 yx 。 12分 22 解 (1)证明：如图，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，连接 C1D. DC DD1， 四边形 DCC1D1是正方形， DC1 D1C.又 AD DC， AD DD1， DC DD1 D， AD 平面 DCC1D1.又 D1C 平面 DCC1D1， AD D1C. AD， DC1 平面 ADC1，且 AD DC1 D， D1C 平面 ADC1，又 AC1 平面 ADC1， D1C AC1. 6分 (2)如图，在 DC上取一点 E，连接 AD1， AE， D1E，设 AD1 A1D M， BD AE N，连接 MN. 平面 AD1E 平面 A1BD MN， 要使 D1E 平面 A1BD，需使 MN D1E. 又 M是 AD1的中点， N是 AE的中点又易知 ABN EDN， AB DE.又 DC 2AB， E是 DC的中点 当 E是 DC的中点时，可使 D1E 平面 A1BD. 12分
