1、第三章 函数,第12讲 二次函数,1. 二次函数的概念：一般地，形如yax2bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数，叫做二次函数.,知识梳理,2. 二次函数的三种形式： (1)一般形式：yax2bx+c，对称轴是 _ ；二次函数的顶点坐标是_. (2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，对称轴是_；二次函数的顶点坐标是_. (3)交点式：ya(xx1)(xx2),对称轴是 .,x=h,(h,k),3. 二次函数的图象和性质：,向上,减小,向下,增大,增大,减小,小,大,4. 二次函数图象的平移： 抛物线yax2与ya(xh)2，yax2k，ya(xh)2k中a相同，则图象的开口方向和大小都相同
2、，只是位置不同. 它们之间的平移关系有如下两个关键思想： (1)先将函数的解析式化为顶点式ya(xh)2k，然后确定顶点坐标(h,k). （2）平移规律：y=ax2 y=a（xh）2k. 口诀：左+右-，上+下-,再向上（下）平移k个单位先向左（右）平移h个单位,5. 二次函数图象的特征与a，b，c及=b24ac的符号之间的关系：,易错题汇总,1.二次函数y=x2+2的对称轴是 ,y轴,2.二次函数y=(x9)2+12的函数最大值是 ,最小值是 ; 当0x8时，其函数最大值是 , 最小值是 ; 当0x12时，其函数最大值是 ,最小值是 ,12,无,11,-69,12,-69,3. 如图1-12
3、-1，抛物线y=x24x+3的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,图1-12-1,（1）点A,B,C的坐标分别是 ； （2）对称轴是 ； （3）当 时，y0； 当 时，x24x+30； 当 时，y随x的增大而增大,A(1,0),B(3,0),C(0,3),直线x=2,x3,1x3,x2,4. 如图1-12-2，抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n交于A（4,2），B（1,3）两点,（1）当x= 时，y1=y2； （2）当 时，y1y2； （3）当 ，ax2+bx+cmx+n,-1,4,x4,-1x4时,图1-12-2,5.如图1-12-3为二次函数y=ax2+bx+c的 图象
4、的一部分，图象过点A（3,0），对 称轴为x=1，给出四个结论：b24ac 0；2a+b=0；a+b+c=0；当x=-1或3 时，函数y的值都等于0.其中正确的结论为 ( ),D,图1-12-3,A. B. C. D. ,考点一:二次函数的图象和性质及图象的平移,1. （2018上海）下列对二次函数y=x2-x的图象的描述，正确的是( ) A.开口向下 B对称轴是y轴 C经过原点 D在对称轴右侧部分是下降的,C,2. （2018哈尔滨）将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( ) A.y=-5（x+1）2-1 By=-5（x-1）2-1 Cy=-
5、5（x+1）2+3 Dy=-5（x-1）2+3,A,考点突破,解：(1)直线y=kx+1与双曲线y= (x0)交于点P(1，m)， m=2. 把P(1，2)代入y=kx+1,得k+1=2. 解得k=1. (3)设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c， 过P,Q二点的抛物线与y轴的交点为 ， 抛物线的函数解析式为y= . 对称轴方程为x= ,考点二：求二次函数的解析式,3. (2016广东)如图1-12-4，在直角坐标系中，直线y=kx+1(k0)与双曲线y=2x(x0)相交于点P(1，m ). (1)求k的值； (2)若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是_； (3)若过P，Q
6、二点的抛物线与y轴的交点为 ，求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程.,(2，1),图1-12-4,2=a+b+c, 1=4a+2b+c, c= .,解得,a= , b=1 , c= .,4. (2017玉林) 对于函数y=-2(x-m)2的图象，下列说法不正确的是( ),D,A. 开口向下 B. 对称轴是x=m C. y的最大值为0 D. 与y轴不相交,5.（2018广安改编）抛物线y=（x-2）2-1可以由抛物线y=x2先向 单位长度，然后向 单位长度而得到.,右平移2个,下平移1个,6. （2018广东）如图1-12-5，已知顶点为C（0，-3）的抛物线y=ax2+b（a0）与
7、x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B （1）求m的值； （2）求函数y=ax2+b（a0）的解析式； （3）抛物线上是否存在点M，使得MCB=15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由,图1-12-5,解：（1）将点C（0，-3）代入y=x+m，可得m=-3. （2）将y=0代入y=x-3,得x=3. 所以点B的坐标为（3，0）. 将（0，-3），（3，0）代入y=ax2+b中，得,答图1-12-1,b=-3, 9a+b=0.,解得,A= , b=-3.,所以二次函数的解析式为y= x2-3. （3）存在，如答图1-12-1,分以下两种情况： 若点M在点B上方，设MC交x轴
8、于点D， 则ODC=45+15=60， OD=OCtan30= . 设DC为y=kx-3，代入（3，0），可得k=3，联立两个方程，得,y=3x-3, y= x2-3.,解得,x1=0, y1=-3,或,x2=3 , y2=6.,M1（3 ，6）；,若点M在点B下方，设MC交x轴于点E，则OEC=45-15=30， OE=OCtan60=3 . 设EC为y=kx-3，代入（33，0）,得k=,联立两个方程，得,解得,x1=0, y1=-3,或,x2= , y2=-2.,M2（ ，-2）. 综上所述,M的坐标为（3 ，6）或（ ，-2）,7. (2017广东)如图1-12-6，在平面直角坐标系中
9、，抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C. (1)求抛物线y=-x2+ax+b的解析式； (2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标.,图1-12-6,解：(1)将点A(1,0),B(3,0)代入抛物线y=-x2+ax+b，得,0=-12+a+b, 0=-32+3a+b.,解得a=4， b=-3.,抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.,(2)点C在y轴上，点C的横坐标x=0. 点P是线段BC的中点， 点P的横坐标xP= . 又点P在抛物线y=-x2+4x-3上，yP= . 点P的坐标为 .,考点三:二次函
10、数的最值问题,8. （2018广州改编）已知二次函数y=x2，当x0时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）;当x= _时,y有最_值为_.,增大,0,小,0,9. (2016广东改编) 已知y= (x+1)2- ，且0x2，则当x=_时，y有最大值为_.,2,2,考点四：二次函数与一元二次方程、不等式的关系,10. 已知抛物线y= x2+x+c与x轴没有交点. (1)求c的取值范围； (2)试确定直线y=cx+1经过的象限，并说明理由.,解：(1)抛物线y= x2+x+c与x轴没有交点, =12-4 c=1-2c0. 解得c . (2)c ，直线y=cx+1过第一、三象限. 10，直线与
11、y轴的交点在y轴的正半轴. 直线y=cx+1经过第一、二、三象限,变式诊断,11. (2017连云港)如图1-12-7，已知二次函数y=ax2+bx+3 (a0)的图象经过点A(3，0)，B(4，1)，且与y轴交于点C， 连接AB,AC,BC. (1)求此二次函数的关系式； (2)判断ABC的形状.,解：(1)把点A(3，0)，B(4，1)代入y=ax2+bx+3，得,9a+3b+3=0, 16a+4b+3=1.,解得,图1-12-7,所以二次函数的关系式为y=12x2-52x+3.,(2)ABC是直角三角形. 理由如下：如答图1-12-2，过点B作BDx轴于点D，易知点C的坐标为(0，3)，
12、 OA=OC. OAC=45. 又点B的坐标为(4，1)， AD=BD. BAD=45. BAC=180-45-45=90. ABC是直角三角形.,答图1-12-2,12. （2018潍坊）已知二次函数y=-（x-h）2（h为常数），当自变量x的值满足2x5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为( ) A.3或6 B1或6 C1或3 D4或6,B,13. (2016兰州)二次函数y=x2+4x-3的最小值是_.,-7,14. （2018深圳）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图1-12-8，下列结论正确是( ) A.abc0 B2a+b0 C3a+c0 Dax2+bx+c-
13、3=0有两个不相等的实数根,图1-12-8,C,15. 关于二次函数y=2x2+3，下列说法正确的是( ) A. 它的开口方向向下 B. 当x-1时，y随x的增大而减小 C. 它的顶点坐标是(2，3) D. 当x=0时，y有最大值是3,B,16. (2017襄阳) 将抛物线y=2(x-4)2-1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为( ) A. y=2x2+1 B. y=2x2-3 C. y=2(x-8)2+1 D. y=2(x-8)2-3,A,17. （2018岳阳）抛物线y=3（x-2）2+5的顶点坐标是( ) A.（-2，5） B（-2，-5） C（2
14、，5） D（2，-5）,C,18. (2016荆门) 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为( ) A. x1=0，x2=6 B. x1=1，x2=7 C. x1=1，x2=-7 D. x1=-1，x2=7,D,图1-12-9,19. （2018恩施州）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，部分图象如图1-12-9，下列判断： abc0；b2-4ac0；9a-3b+c=0； 若点（-0.5，y1），（-2，y2）均在 抛物线上，则y1y2；5a-2b+c0 其中正确的有( ) A. 2个 B3个 C4个 D5个,B,20.（2018 青岛）已知
15、一次函数y= x+c的图象如图1-12-10，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是( ),A,图1-12-10,A B C D,21. （2018苏州）如图1-12-11，已知抛物线y=x2-4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D （1）求出直线的解析式; （2）求线段AD的长； （3）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式,图1-12-11,解：（1）由x2-4=0，得x1=-2，x2=2. 点A位于点B的左侧， A（-2，0）. 直线y=x+m经过点A， -2+m=0，解得m=2.直线的解析式为y=x+2. (2)由y=x+2,得点D的坐标为（0，2）. AD= =2 . （3）设新抛物线对应的函数表达式为y=x2+bx+2. y=x2+bx+2= ， 点C的坐标为 ， CC平行于直线AD，且经过C（0，-4）， 直线CC的解析式为y=x-4. 2-b24=- -4. 解得b1=-4，b2=6. 新抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x+2或y=x2+6x+2,
