1、第五章 特殊四边形,第22讲 矩形与菱形,知识梳理,矩形、菱形的判定和性质:,矩形 判定 1. 有一个角是 的平行四边形(定义)； 2. 有三个角是直角的 ； 3. 对角线相等的_.,直角,四边形,平行四边形,矩形 性质,除具有平行四边形的性质外，还具有以下性质：,1. 四个角都是直角； 2. 对角线相等； 3. S=ab(a，b表示长和宽)； 4. 既是中心对称图形，又是轴对称图形； 5. 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的_,一半.,1. 有一组_相等的平行四边形(定义)； 2. 四边都相等的_； 3. 对角线_的平行四边形.,菱形 判定,邻边,四边形,互相垂直,菱形 性质,除具有平行
2、四边形的性质外,还具有以下性质：,1. 四条边都_； 2. 对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角； 3. 4. 既是中心对称图形，又是轴对称图形.,相等,易错题汇总,1. 下列命题错误的是( ) A. 平行四边形的对边相等 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 矩形的对角线相等,C,2. 如图1-22-1，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD是菱形的只有( ) A. ACBD B. AB=BC C. AC=BD D. 1=2,C,3. 如图1-22-2，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是
3、AD，BD，BC，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是( ) A. AB=AD B. AC=BD C. AD=BC D. AB=CD,D,4. (2017辽阳) 如图1-22-3，在矩形ABCD中，ABC的平分线交AD于点E，连接CE. 若BC=7，AE=4，则CE=_.,5. 如图1-22-4，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是_.,5,平行四边形,考点突破,考点一:矩形的性质和判定,1.（2018上海）已知平行四边形ABCD，下列条件不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) A.A=B BA=C
4、CAC=BD DABBC,B,2. (2016广东) 如图1-22-5，矩 形ABCD中，对角线AC=2 ，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B处，则AB=_.,考点二:菱形的性质和判定,3.（2018广州）如图1-22-6，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（-2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ,（-5，4）,4. (2017广东) 如图1-22-7，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，BAD=FAD，BAD为锐角. (1)求证：ADBF； (2)若BF=BC，求ADC的度数.,DB=DF. 点D在线段BF的
5、垂直平分线. AB=AF，点A在线段BF的垂直平分线上. AD是线段BF的垂直平分线. ADBF. (2)如答图1-22-1，设ADBF于点H，作DGBC于点G，则四边形BGDH是矩形， DG=BH= BF BF=BC，BC=CD，DG= CD 在RtCDG中，CGD=90，DG= CD， C=30. BCAD，ADC=180-C=150,变式诊断,5. (2017日照)如图1-22-8，已知BA=AE=DC，AD=EC，CEAE，垂足为点E. (1)求证：DCAEAC； (2)只需添加一个条件，即 ，可使四边形ABCD为矩形. 请加以证明.,(1)证明略. (2)解：添加AD=BC(答案不唯
6、一)，证明如下. AB=DC，AD=BC， 四边形ABCD是平行四边形. CEAE，E=90. 由(1),得DCAEAC， D=E=90. 四边形ABCD为矩形.,6.（2018黔南州）已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2 ，则这个菱形的面积是 ,7.（2018湘潭）如图1-22-9，已知点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形,B,8.（2018广东）如图1-22-10，BD是菱形ABCD的对角线，CBD=75. （1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为点E，交AD于点F；（不要求写作法，保留作图
7、痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BF，求DBF的度数,C=A=30. EF垂直平分线段AB， AF=FB. A=FBA=30. DBF=ABD-FBE=45,基础训练,9.（2018遵义改编）如图1-22-11，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EFBC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD两个阴影部分的面积SPEB与SPFD的大小相比（ ） A. SPEB=SPFD BSPEBSPFD D无法确定,A,10.（2018广州改编）如图1-22-12，CE是 ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列
8、结论： 四边形ACBE是菱形； ACD=BAE；AFBE=23, 其中正确的结论有 （填序号）,综合提升,11.（2018贺州）如图1-22-13，在ABC中,ACB=90，O，D分别是边AC，AB的中点，过点C作CEAB交DO的延长线于点E，连接AE,（1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若四边形AECD的面积为24，tanBAC= ，求BC的长,（1）证明：点O是AC的中点， OA=OC. CEAB， DAO=ECO. 在AOD和COE中， DAO=ECO, OA=OC, AOD=COE, AODCOE（ASA）. AD=CE. CEAB， 四边形AECD是平行四边形. 又CD是RtA
9、BC斜边AB上的中线， CD=AD. 四边形AECD是菱形.,（2）解:由（1）知，四边形AECD是菱形， ACED. 在RtAOD中，tanDAO=ODOA=tanBAC= ， 设OD=3x，OA=4x， 则ED=2OD=6x，AC=2OA=8x. 由题意,得 6x8x=24， 解得x=1. OD=3. O，D分别是AC，AB的中点， OD是ABC的中位线. BC=2OD=6.,12.（2018枣庄）如图1-22-14，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EGCD交AF于点G，连接DG （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）探究线段EG，GF，AF之间的数量关系
10、，并说明理由； （3）若AG=6，EG= ，求BE的长,（1）证明：GEDF， EGF=DFG 由翻折的性质可知GD=GE，DF=EF，DGF=EGF， DGF=DFG GD=DF DG=GE=DF=EF 四边形EFDG为菱形,（2）解:EG2= GFAF理由：如答图1-22-3,连接DE，交AF于点O四边形EFDG为菱形，GFDE，OG=OF= GFDOF=ADF=90，OFD=DFA，DOFADF即DF2=FOAFFO= GF，DF=EG，EG2= GFAF,（3）解:如答图1-22-4,过点G作GHDC，垂足为H EG2= GFAF， AG=6，EG= ， 20= FG（FG+6）. 整理,得FG2+6FG-40=0 解得FG=4或FG=-10（不符题意,舍去） DF=GE= ，AF=10， AD= GHDC，ADDC， GHAD FGHFAD,
