1、第五章 特殊四边形,第23讲 正方形,知识梳理,1. 正方形的判定和性质:,(1)有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形(定义)； (2)有一组邻边相等的_； (3)有一个角是直角的_； (4)对角线相等且互相垂直的_. 除具有平行四边形、矩形、菱形的性质外，还具有以下性质： (1)对角线与边的夹角为45； (2)S=a2(a表示边长)； (3)S= l2(l表示对角线).,矩形,菱形,平行四边形,2. 平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系：,易错题汇总,1. 如图1-23-1，正方形ABCD的边长为8，在各边顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是( ) A. 30
2、 B. 34 C. 36 D. 40,B,2. 在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图1-23-2， ABCD的对角线相交于点O，过点O作EFBD,分别交AB，CD于点F，E，连接DF，BE. 请根据上述条件，写出一个正确结论. ”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏： S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：ACE=CAF. 这四位同学写出的结论不正确的是( ) A. 小青 B. 小何 C. 小夏 D. 小雨,B,3. 一顶点重合的两个大小完全相同的边长为3的正方形ABCD和正方形ABCD，如图1-23-3，DAD=45，边BC与DC交于点
3、O，则四边形ABOD的周长是( ) A. 6 B. 6 C. 3 D. 3+3,B,4. (2017黄冈)如图1-23-4，在正方形ABCD的外侧，作等边ADE，则BED的度数是_.,45,考点突破,考点：正方形的性质和判定,1. (2017广东)如图1-23-5，在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：SABF=SADF； SCDF=4SCEF；SADF=2SCEF；SADF=2SCDF， 其中正确的是( ) A. B. C. D. ,C,2. (2016广东)如图1-23-6，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH
4、的周长为( ) A. B. C. +1 D. +1,B,3. (2017邵阳)如图1-23-7，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，OBC=OCB. (1)求证：平行四边形ABCD是矩形； (2)请添加一个条件使矩形ABCD为正 方形.,(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， OA=OC，OB=OD. OBC=OCB，OB=OC. AC=BD. 平行四边形ABCD是矩形. (2)解：AB=AD(或ACBD，答案不唯一) 理由：四边形ABCD是矩形， 又AB=AD，四边形ABCD是正方形 或四边形ABCD是矩形， 又ACBD， 四边形ABCD是正方形,变式诊断,4. 如图1-2
5、3-8，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M.已知两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为( ) A. -4+ B. 4+ C. 8- D. +1,A,5.（2018潍坊）如图1-23-9，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30至正方形ABCD的位置，BC与CD相交于点M，则点M 的坐标为 ,6.（2017怀化）如图1-23-10，四边形ABCD是正方形，EBC是等边三角形 （1）求证：ABEDCE； （2）求AED的度数,（1）证明：四边形ABCD是
6、正方形，EBC是等边三角形， AB=BC=CD=BE=CE，ABC=BCD=90， EBC=ECB=60， ABE=ECD=30. 在ABE和DCE中， AB=DC, ABE=DCE, BE=CE, ABEDCE（SAS）,（2）解:BA=BE，ABE=30， BAE= （180-30）=75. BAD=90， EAD=90-75=15.同理可得ADE=15. AED=180-15-15=150,基础训练,7.（2018张家界）下列说法正确的是( ) A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B对角线相等的平行四边形是正方形 C相等的角是对顶角 D角平分线上的点到角两边的距离相等,D,8.（
7、2017六盘水）如图1-23-11，在正方 形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分 别在边BC和CD上，则AEB= ,75,9. 如图1-23-12，MON=45，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，面积记作S1；继续作第二个正方形A2B2C2A3，面积记作S2；点A1，A2，A3，A4,在射线ON上，点B1，B2，B3，B4,在射线OM上,依此类推，第6个正方形的面积S6等于_.,1 024,10.（2018金华改编）如图1-23-13,在RtABC中，ACB=90，AC=12点D在直线CB上，四边形ACDE是正方形直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G （1）若点G为DE的中点
8、，求FG的长; （2）若DG=GF，求BC的长,解：（1）在正方形ACDE中，DG=GE=6， 在RtAEG中， EGAC，ACFGEF.,（2）在正方形ACDE中，AE=DE，AEF=DEF=45，且EF=EF，AEFDEF. EAF=EDF，设EAF=EDF=x. AEBC，B=EAF=x. GF=GD，GFD=EDF=x. 在DBF中，GFD+FDB+B=180， x+（x+90）+x=180. 解得x=30，B=30. 在RtABC中，,11.如图1-23-14,四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EFDE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG
9、，连接CG （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB=2，CE= ，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30时，直接写出EFC的度数,（1）证明：如答图1-23-1,作EPCD于点P，EQBC于点Q. DCA=BCA， EQ=EP. QEF+FEC=45， PED+FEC=45， QEF=PED. 在RtEQF和RtEPD 中，QEF=PED, EQ=EP,EQF=EPD, RtEQFRtEPD. EF=ED. 矩形DEFG是正方形.,（2）如答图1-23-2，在RtABC中,AC= AB= ， EC= ，AE=CE. 点F与C重合，此时DCG是等腰直角三角形， 易知CG= （3）当DE与AD的夹角为30时，EFC=120. 当DE与DC的夹角为30时，EFC=30. 综上所述，EFC=120或30,
