1、第六章 圆,第24讲 与圆有关的概念及性质,知识梳理,1. 圆的有关概念： (1)圆的定义:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O”.(2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(3)直径：经过圆心的弦叫做直径. 直径等于半径的2倍.,(4)半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.(5)弧、优弧、劣弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“AB”，读作“圆弧AB”或“弧AB”；大于半圆的弧叫做优弧
2、(多用三个字母表示)；小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示). (6)圆既是轴对称图形又是中心对称图形. 2. 垂径定理：垂直于弦的直径_这条弦，并且平分弦所对的弧.,平分,3. 弧、弦、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都_. 对应的圆心角、弧、弦 三者的关系：知_推_. 4. 圆周角定理及其推论： (1)圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，等于它所对的_的一半.(2)推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是_；_的圆周角所对的弦是直径. (3)推论2：圆的内接四边形对角_(四点共圆的判定条件).,分别相等,一,二
3、,圆心角,直角,90,互补,易错题汇总,1. 如图1-24-1，O是ABC的外接圆，连接OA，OB，OBA=48，则C的度数为_.,42,2. 圆中一条弦所对的圆心角为60，那么它所对的圆周角的度数为_.,30或150,3. 如图1-24-2，AB是O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与O交于C，D两点. 若CMA=45，则弦CD的长为_.,4. （2018安顺）已知O的直径CD=10 cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，且AB=8 cm，则AC的长为( ),C,5. 如图1-24-3，已知AB是O的弦，半径OCAB，点D是O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD，CD
4、，OB，若BOC=70，则ADC=_.,35,6. (2017南京)如图1-24-4，四边形ABCD是菱形，O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE. 若D=78，则EAC=_.,27,考点突破,考点一:圆的有关概念、垂径定理 1. (2014广东)如图1-24-5，在O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为_.,3,2. (2014珠海)如图1-24-6，线段AB是O的直径，弦CDAB，CAB=20，则AOD等于( ) A. 160 B. 150 C. 140 D. 120,考点二：圆心角与圆周角定理及其推论 3. (2017广东)如图1-24-7，四边形AB
5、CD内接于O，DA=DC，CBE=50，则DAC的大小为( ) A. 130 B. 100 C. 65 D. 50,C,C,4. （2018广东改编）（1）同圆中，已知AB所对的圆心角是100，则AB所对的圆周角是 ;（2）同圆中，已知弦AB所对的圆心角是100，则弦AB所对的圆周角是 ,50,50或130,5. (2016广东)如图1-24-8，点P是四边形ABCD外接圆O上任意一点，且不与四边形的顶点重合，若AD是O的直径，AB=BC=CD. 连接PA，PB，PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=_.,6. （2018张家界）如图1-24-9，AB是O的直径，弦CDAB
6、于点E，OC=5 cm，CD=8 cm，则AE=( ) A.8 cm B5 cm C.3 cm D2 cm,7. （2018衢州）如图1-24-10，AC是O的直径，弦BDAO于点E，连接BC，过点O作OFBC于点F.若BD=8 cm，AE=2 cm，则OF的长度是( ) A.3 cm B cm C.2.5 cm D cm,A,D,变式诊断,8. （2018曲靖）如图1-24-11,四边形ABCD内接于O，E为BC延长线上一点，若A=n，则DCE = ,n,9.（2018广州）如图1-24-12，AB是O的弦，OCAB，交O于点C，连接OA，OB，BC，若ABC=20，则AOB的度数是( )
7、A.40 B50 C70 D80,D,10. (2017自贡) 如图1-24-13，等腰ABC内接于O，已知AB=AC，ABC=30，BD是O的直径，如果CD= ，则AD=_.,4,基础训练,11. （2018盐城）如图1-24-14，AB为O的直径，CD是O的弦，ADC=35，则CAB的度数为( ) A. 35 B45 C55 D65,C,12. （2018淮安）如图1-24-15，点A，B，C都在O上，若AOC=140，则B的度数是( ) A.70 B80 C110 D140,13. (2017绍兴)如图1-24-16，一块含45角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在O上，边AB，AC分别与
8、O交于点D，E，则DOE的度数为_.,90,C,14. (2017十堰)如图1-24-17，ABC内接于O，ACB=90，ACB的角平分线交O于点D. 若AC=6，BD= ，则BC的长为_.,8,15. (2017牡丹江) 如图1-24-18，在O中， ，CDOA于点D，CEOB于点E，求证：AD=BE.,证明：如答图1-24-1,连接OC. ， AOC=BOCCDOA，CEOB CDO=CEO=90. 在COD与COE中，CODCOE(AAS). OD=OE. AO=BO，AD=BE,综合提升,16.（2018烟台）如图1-24-19，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B
9、，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为 ,（-1，-2）,17. （2018宜昌）如图1-24-20，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC （1）求证：四边形ABFC是菱形； （2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积,（1）证明：AB是直径， AEB=90.AEBC. AB=AC， BE=CE，AE=EF， 四边形ABFC是平行四边形. AC=AB，四边形ABFC是菱形,（2）解:设CD=x连接BD,如答图1-24-2 AB是直径， ADB=BDC=90. AB2-AD2=CB2-CD2. （7+x）2-72=42-x2. 解得x=1或-8（不符题意,舍去）.,
