1、1兰州一中 2018-2019-1 学期高三年级期中考试试题数 学 （理 科）本试卷分第 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间120 分钟. 请将答案填在答题卡上.第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集 U 是实数集 R，集合 M x|x2， N x|y=log2(x1) ，则( UM) N 为( )A. x|11，则 p：任意 xR，sin x1C. 若 p 且 q 为假命题，则 p、 q 均为假命题D. “x22 x34 a( ， 4)【点睛】本题
2、考查了充分必要条件求参数范围，解此类问题的关键是将 q 和 p 之间的条件关系转化为相应集合间的包含关系，列出关于参数的不等式，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用。4.已知 f(x) 且 f(0)2， f(1)3，则 f(f(3)等于( )log3x x0,ax+b x0. A. 3 B. 3 C. 2 D. 2【答案】D【解析】【分析】根据条件 f(0)2， f(1)3，可求 ， ，得到 ，最后代入即可。a=12 b=1 f(x)=log3x(12)x+1 【详解】因为 f(0)2， f(1)3，所以 ，a0+b=2 a1+b=3所以 ， ，a=12 b=13所以f(
3、x)=log3x(12)x+1 把 代入， ，x=3 f(3) 9所以 f(f(3)= = =2。答案选 D。f(9) log39【点睛】本题考查了分段函数求值，属于基础题。分段函数求值时，一定要先看定义域，再把自变量的值代入相应的解析式，如果含多层求值的，则由内向外，依次进行。5.已知 sin( ) ，且 ( ，0)，则 tan(2 )的值为( )23 2A. B. C. D. 255 255 255 52【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式得到 ，同角三角函数关系得 ，再计算 tan(2 )。sin 23 cos 53【详解】因为 sin( ) 23所以 ，sin 23因为 ( ，0)，
4、2所以 cos 1sin2=53=tan(2 )=tansincos= = 。答案选 A。 2353 255【点睛】本题考查了诱导公式，同角三角函数关系及三角函数在各象限内的符号等知识点，都属于基本知识，比较容易，但在求三角函数的值时，较容易出现符号错误，需要注意。6.设函数 f(x)=sin(x+ )，则下列结论错误的是( )3A. f(x)的一个周期为4 B. y=f(x)的图像关于直线对称 x=6C. f(x+ )的一个零点为 x= D. f(x)在( , )单调递增53 2【答案】D【解析】4【分析】根据 的性质，从周期、对称轴、零点和单调性分别讨论，即可得到结果。y=Asin(x+)
5、【详解】对于函数 f(x)=sin(x+ )，其周期 = ，当 时，周期为 ，选项 A 正3 T=2k2k k=2 4确；它的对称轴方程为 ，当 时，选项 B 正确；它的零点为 ，所以x=6+k k=0 x=k3，即 ，当 时，选项 C 正确。故答案选 D。x+=k3 x=k43 k=3【点睛】本题综合考查函数 相关性质，此类问题关键是牢记这些性质，理y=Asin(x+)解“整体”处理思想，能进行简单的运算，注意选择不同的 k 值进行验证。属于基础题型。7.设 f(x) x3 bx c，若导函数 f( x)0 在1，1上恒成立，且 f(- )f( )0 在1，1上恒成立，所以得函数 在区间1，
6、 1上单调递增，f(x)又因为 ，f(12)f(12)0)个单位长度后，所得到的图象关于直线 对称，则 m 的最小值为( x=5125)A. B. C. D. 76 6 8 724【答案】C【解析】【分析】先进行图像平移，得到平移后函数的解析式，写出对称轴，再根据对称轴求最小值。【详解】将函数 y=sin(2x+ ) 图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，再向右平移 m 3(m0)个单位长度，得到的函数解析式为 ，y=sin(4x4m+3)令 ，解得4x4m+3=2+k x=m+24+k4所以 ，解得512=m+24+k4 m=38k4因为 ，当 时，m 最小为 。答案选 C。m0 k=18【点
7、睛】本题考查了三角函数的图像平移及性质。在进行图像平移时，无论是先平移后伸缩，还是先伸缩后平移，都是对横坐标产生影响，所以只对变量 x 进行相应的运算，还须注意的是：当 时，图像被压缩，当 时，图像被拉伸。1 00, 0， 0)或 y Acos(x )的解析式的步骤(1)求 A， B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A ， B .Mm2 M+m2(2)求 ，确定函数的周期 T，则 .2T(3)求 ，常用方法有代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.10.函数
8、f(x) 的图象如图所示，则 m 的取值范围为( )(2m)xx2+mA. (，1) B. (1,2) C. (0,2) D. (1,2)【答案】B【解析】分析： ,当 时, 的根f(1)0 x0 f(x)=0 x00详解：（1） f(1)0(2-m)1+m0-11或者 ，解得- m1由（1） （2）可知 ，故选 B2m1点睛：由图像求参数的取值范围，抓住关键点（零点、已知坐标的点、极值点、最值点）的位置，往往利用导数研究函数的关键点的位置。711.定义运算 ad bc，若 cos ， ，01 (1,+)【点睛】本题主要考查了不等式的求解，根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期性，以及构造函数，
9、利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键。第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.若曲线 ye x上点 P 处的切线平行于直线 2x y10，则点 P 的坐标是_【答案】(ln 2，2) 【解析】设 P(x0， y0)， ， y ex，点 P 处的切线斜率为 k ex02，y=1ex x0 ln 2， x0 ln 2， y0 eln 22，点 P 的坐标为( ln 2，2)14.若函数 f(x)在 R 上可导， f(x) x3 x2f(1)，则 _.20f(x)dx【答案】4【解析】【分析】先对函数求导，将 代入，求出 ，得到 ，再求积
10、分。x=1 f(1)=3 f(x)【详解】 f(x) x3 x2f(1)所以 ，f(x)=3x2+2f(1)x把 代入，得x=1 f(1)=3+2f(1)9解得 f(1)=3所以 f(x)=x33x2= = 。20f(x)dx=20(x33x2)dx(14x4x3)1014168=4【点睛】本题考查了定积分计算，属于基础题。15.已知函数 f(x)=xcosx，现给出如下命题： 当 x(-4,-3) 时， f(x) 0； f(x)在区间(5,6)上单调递增； f(x)在区间 上有极大值； 存在(1,3)M0，使得对任意 x R，都有 f(x) M其中真命题的序号是_.【答案】【解析】【分析】分
11、析函数 的图像和性质，依次分析所给的四个命题，可得答案。f(x)=xcosx【详解】当 x(-4,-3) 时， ， ，所以 ，命题正确；cosx0，当 时，有 ， ， ，所以 ，即 单调递f(x)=cosxxsinx x(5,6) x0 cosx0 sinx0 f(x)增，命题正确；因为 ， ，所以当 时，f(1)=cos11sin10，使得对任意 x R，都有 f(x) M命题错误。【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，难度较大。16.若 ABC 的内角满足 sin A sin B2sin C，则 cos C 的最小值是_2【答案】624【解析】试题分析
12、：因为ABC 的内角满足 sin A sin B2sin C，由正弦定理可得2可得 ，由余弦定理a+ 2b=2c c=a+2b2cosC=a2+b2c22ab =a2+b214(a+2b)22ab =34a2+12b22ab24232a22b2ab24=624当且仅当32a=22b时取等号，所以 故 的最小值 .624 cosC2.072所以有超过 的把握认为“ 晋级成功”与性别有关； 85%由频率分布直方图知晋级失败的频率为 ，1-0.25=0.75将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取 1 人进行约谈，这人晋级失败的概率为 ，所以 X 可视为服从二项分布，即 ，0.75 X B
13、(3,34)， 故 ， P(X=k)=Ck4(34)k(14)3-k(k=0,1,2,3) P(X=0)=C03(34)0(14)3=164， ， P(X=1)=C13(34)1(14)2=964 P(X=2)=C23(34)2(14)1=2764，P(X=3)=C33(34)3(14)0=276415所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P(X=k) 164 964 2764 2764数学期望为 ， 或E(X)=334=94 (E(X)=1640+9641+27642+27643=94).【点睛】本题考查频率分布直方图与独立性检验的问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望值的计算，一是
14、道综合性较强的中档题。20.已知椭圆 离心率为 ，点 P(0,1)在短轴 CD 上，且 .E:x2a2+y2b2=1(ab0) 22 PCPD=1（I）求椭圆 E 的方程；（II）过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点.若 ，求直线 l 的方程.PB=12AP【答案】 （1） . x24+y22=1（2） y= x+1.1414【解析】【分析】（1）通过椭圆的离心率和向量的数量积的坐标表示，计算即得 ， ，进而得结论；a=2 b= 2（2）设直线 l 为 ，代入椭圆方程 ，运用韦达定理和向量共线的坐标表y=kx+1 x2+2y2=4示，解方程可求斜率 k，进而得到所求直线方程。【
15、详解】 （1）由题意， e= ，得 a= ca=22 2b= 2c又 C(0,b)，D(0,- b). =(b-1)(-b-1)=-1， b2=2 PCPD a=2, 所以椭圆 E 的方程为 . x24+y22=1（2）当直线 l 的斜率不存在时， ， ， ，PB=（0，2-1） AP=（0，2+1） PB12AP不符合题意，不存在这样的直线. 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=kx+1. A(x1,y1) , B(x2,y2).16联立方程 ，整理得(1+2 k2)x2+4kx-2=0,x24+y22=1y=kx+1 由韦达定理得 x1+x2= ， x1x2= ， -4k1+
16、2k2 -21+2k2由 得，( x2,y2-1)= (-x1,1-y1), x2=- x1, PB=12AP 12 12 x1 = ， x12 = ， 解得 k2= ， k= ，-8k1+2k2 41+2k2 114 1414所以直线 l 的方程为 y= x+1.1414【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，向量共线和数量积运算，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于中档题。21.已知函数 .f(x)=(12a)lnx+ax2+x（I）讨论 的导函数 的零点个数；f(x) f(x)（II）当 时，证
17、明： .a12 f(x) 0a12 f(x)()见解析【解析】试题分析：（1） ，所以当 或 时， 有一个零点；当f(x)=(2ax+1-2a)(x+1)x a12 f(x)时， 没有零点；（ 2） 时， 在 单调递增，在 单调递减，0a12 f(x) a12 2a-12a 0 f(2a-12a)=0 -112 f(x) 0a12 f(x)()由（1）知， ， 时f(x)=(2ax+1-2a)(x+1)x a0 x(1-12a，+) f(x)1设 ，则 .g(x)=lnx-x+1 g(x)=1x-1当 时， ；当 时， .x(0,1) g(x)0 x(1,+) g(x)1 g(x)0)，过点
18、P(2，4)的直线 l： (t 为参数)与曲x=2+22ty=4+22t线 C 相交于 M， N 两点(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；18(2)若| PM|，| MN|，| PN|成等比数列，求实数 a 的值【答案】 （1） y22 ax(a0)， x y20.（2） a1.【解析】试题分析：（1）根据 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方x=cos,y=sin,2=x2+y2程，根据加减消元得直线 l 的普通方程；（2）由等比数列条件得( t1 t2)2 t1t2，将直线参数方程代入圆方程，根据直线参数几何意义以及韦达定理得方程，解方程得实数 a 的值试题解析：(1
19、)把 代入 sin2 2 acos ，得 y22 ax(a0)，由 (t 为参数)，消去 t 得 x y20，曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程分别是y22 ax(a0)， x y20.(2)将 (t 为参数)代入 y22 ax，整理得 t22 (4 a)t8(4 a)0.设 t1， t2是该方程的两根，则 t1 t22 (4 a)， t1t28(4 a)，| MN|2| PM|PN|，( t1 t2)2( t1 t2)24 t1t2 t1t2，8(4 a)248(4 a)8(4 a)， a1.23.已知函数 f(x)| x1|.(I) 解不等式 f(2x) f(x4)8；(II)
20、 若| a|1，| b|1， a0，求证： .f(ab)|a| f(ba)【答案】() x|x103或 x2(II)证明见解析【解析】19【分析】（）根据 的分段函数形式，分类讨论求得不等式 f(2x)f(x)+f(x+4)=|x1|+|x+3| f(x4)8 的解集；（2）要证的不等式即 ，根据| a|1，| b|1，可得|ab1|ab|，从而得到所证的不等式成立。|ab1|2|ab|20【详解】() f(2x) f(x4)|2 x1| x3| 当 x3 时，由3 x28，解得 x ； 当3 x 时， x48 无解； 当 x 时，由 3x28，解得 x2.所以不等式 f(2x) f(x4)8 的解集为 (II)证明： 等价于 f(ab)| a| ，即| ab1| a b|. 因为| a|1，| b|1，所以| ab1| 2| a b|2( a2b22 ab1)( a22 ab b2)( a21)( b21)0， 所以| ab1| a b|.故所证不等式成立【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题。
