1、1第二部分 专题五 类型二1(2018临沂)将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 (0 360)，得到矩形 AEFG.(1)如图，当点 E 在 BD 上时求证： FD CD；(2)当 为何值时， GC GB？画出图形，并说明理由解：(1)由旋转可得， AE AB， AEF ABC DAB90，EF BC AD， AEB ABE. ABE EDA90 AEB DEF， EDA DEF. DE ED， AED FDE(SAS)， DF AE， AE AB CD， CD DF.(2)当 GB GC 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论：当点 G 在 AD 右侧时，如答图 1，取 B
2、C 的中点 H，连接 GH 交 AD 于 M， GC GB， GH BC，四边形 ABHM 是矩形， AM BH AD AG，12 12 GM 垂直平分 AD， GD GA DA， ADG 是等边三角形， DAG60，旋转角 60；当点 G 在 AD 左侧时，如答图 2，同理可得 ADG 是等边三角形， DAG60，旋转角 36060300.综上， 为 60或 300时， GC GB.2(2014江西)如图 1，边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 在 AB 边上(不与点 A， B 重合)，点 F 在 BC 边上(不与点 B， C 重合)2第一次操作：将线段 EF 绕点 F 顺时针旋转，
3、当点 E 落在正方形上时，记为点 G；第二次操作：将线段 FG 绕点 G 顺时针旋转，当点 F 落在正方形上时，记为点 H；依此操作下去(1)图 2 中的 EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为等边三角形，求此时线段 EF的长；(2)若经过三次操作可得到四边形 EFGH.请判断四边形 EFGH 的形状为正方形，此时 AE 与 BF 的数量关系是 AE BF；以中的结论为前提，设 AE 的长为 x，四边形 EFGH 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式及面积 y 的取值范围解：(1)如题图 2，由旋转性质可知 EF DF DE，则 DEF 为等边三角形在 Rt ADE 和 Rt CDF
4、中，Error!Rt ADERt CDF(HL) AE CF.设 AE CF x，则 BE BF4 x BEF 为等腰直角三角形 EF BF (4 x)2 2 DE DF EF (4 x)2在 Rt ADE 中，由勾股定理得 AE2 AD2 DE2，即 x24 2 (4 x)2，2解得 x184 ， x284 (舍去)3 3 EF (4 x)4 4 .2 6 2 DEF 的形状为等边三角形， EF 的长为 4 4 .6 2第 2 题答图(2)四边形 EFGH 的形状为正方形，此时 AE BF.理由如下：依题意画出图形，如答图所示，连接 EG， FH，作 HN BC 于 N， GM AB 于 M
5、.由旋转性质可知， EF FG GH HE，四边形 EFGH 是菱形，由 EGM FHN，可知 EG FH，3四边形 EFGH 的形状为正方形， HEF90.1290，2390，13.3490，2390，24.在 AEH 和 BFE 中，Error! AEH BFE(ASA)， AE BF.利用中结论，易证 AEH， BFE， CGF， DHG 均为全等三角形， BF CG DH AE x， AH BE CF DG4 x. y S 正方形 ABCD4 S AEH444 x(4 x)122 x28 x16， y2 x28 x16(0 x4) y2 x28 x162( x2) 28，当 x2 时，
6、 y 取得最小值 8；当 x0 或 4 时， y16. y 的取值范围为 8 y16.3(2016江西)【图形定义】如图，将正 n 边形绕点 A 顺时针旋转 60后，发现旋转前后两图形有另一交点 O，连接 AO，我们称 AO 为“叠弦” ；再将“叠弦” AO 所在的直线绕点 A 逆时针旋转 60后，交旋转前的图形于点 P，连接 PO，我们称 OAB 为“叠弦角” ， AOP 为“叠弦三角形” ；【探究证明】(1)请在图 1 和图 2 中选择其中一个证明：“叠弦三角形”( AOP)是等边三角形(2)如图 2，求证： OAB OAE；【归纳猜想】(3)图 1、图 2 中的“叠弦角”的度数分别为 1
7、5，24；(4)图 n 中， “叠弦三角形”是等边三角形(填“是”或“不是”)；(5)图 n 中， “叠弦角”的度数为 60 .(用含 n 的式子表示)180n4解：(1)四边形 ABCD 是正方形，由旋转知， AD AD， D D90， DAD OAP60， DAP D AO， APD AOD(ASA)， AP AO. OAP60， AOP 是等边三角形；第 2 题答图(2)如答图，作 AM DE 于 M，作 AN CB 于 N.五边形 ABCDE 是正五边形，由旋转知， AE AE， E E108， EAE OAP60， EAP E AO.在 Rt AEM 和 Rt ABN 中， AEM
8、ABN72， AE AB，Rt AEMRt ABN (AAS)， EAM BAN， AM AN.在 Rt APM 和 Rt AON 中， AP AO， AM AN，Rt APMRt AON (HL)， PAM OAN， PAE OAB, OAE OAB.(3)由(1)知， APD AOD， DAP D AO.在 Rt AD O 和 Rt ABO 中，Error!Rt AD ORt ABO(HL)， D AO BAO.由旋转得， DAD60. DAB90， D AB DAB DAD30， D AO D AB15，12题图 2 的多边形是正五边形， EAB 108， 5 2 1805 E AB E
9、AB EAE1086048，5同理可得， E AO E AB24.12(4)是(5)同(3)的方法得， OAB( n2)180 n60260 .180n4(2018赤峰)将一副三角尺按图 1 摆放，等腰直角三角尺的直角边 DF 恰好垂直平分 AB，与 AC 相交于点 G， BC2 cm.3(1)求 GC 的长；(2)如图 2，将 DEF 绕点 D 顺时针旋转，使直角边 DF 经过点 C，另一直角边 DE 与 AC相交于点 H，分别过 H， C 作 AB 的垂线，垂足分别为 M， N，通过观察，猜想 MD 与 ND 的数量关系，并验证你的猜想(3)在(2)的条件下，将 DEF 沿 DB 方向平移
10、得到 D E F，当 D E恰好经过(1)中的点 G 时，请直接写出 DD的长度解：(1)在 Rt ABC 中， BC2 ， B60，3 AC BCtan606， AB2 BC4 ，3在 Rt ADG 中， AG 4，ADcos30 CG AC AG642.(2)结论： DM DN2 .3理由： HM AB， CN AB， AMH DMH CNB CND90. A B90， B BCN90， A BCN， AHM CBN， ，AMCN HMBN同理可证： DHM CDN， DNMH CNDM由可得 AMBN DNDM， ，DMAM BNDN6 ， .DM AMAM BN DNDN ADAM BDDN AD BD， AM DN， DM DN AM DM AD2 .3第 4 题答图(3)如答图，作 GK DE 交 AB 于 K.在 AGK 中， AG GK4， A GKD30，作 GH AB 于 H.则 AH AGcos302 ，3可得 AK2 AH4 ，此时 K 与 B 重合3 DD DB2 .3
