1、1第二部分 专题五 类型三1(2018江西样卷二)提出问题如图，已知在矩形 ABCD 中， AB2， BC3，点 P 是线段 AD 边上的一动点(不与端点A， D 重合)，连接 PC，过点 P 作 PE PC 交 AB 于点 E，在点 P 的运动过程中，图中各角和线段之间是否存在某种关系和规律？特殊求解当点 E 为 AB 的中点，且 APAE 时，求证： PE PC.深入探究当点 P 在 AD 上运动时，对应的点 E 也随之在 AB 上运动，求整个运动过程中 BE 的取值范围解：特殊求解 PE PC， APE DPC90. D90， DPC DCP90. APE DCP. A D90， APE
2、 DCP， .APDC AEDP设 AP x，则有 DP3 x.而 AE BE1， x(3 x)21，解得 x12， x21. APAE， AP2， AE PD1， APE DCP， PE PC.深入探究设 AP x， AE y，由 APDP AEDC，可得 x(3 x)2 y. y x(3 x) x2 x (x )2 .12 12 32 12 32 98在 0x3 范围内，当 x 时， y 最大 .32 982当 AE y 取得最大值时， BE 取得最小值为 2 ，98 78 BE 的取值范围为 BE2.782(2018江西样卷一)如图，在半径为 3 cm 的 O 中， A， B， C 三点
3、在圆上， BAC75.点 P 从点 B 开始以 cm/s 的速度在劣弧 BC 上运动，且运动时间为 t 5s， AOB90， BOP n.(1)求 n 与 t 之间的函数关系式，并求 t 的取值范围；(2)试探究：当点 P 运动多少秒时，在 BP， PC， CA， AB 四条线段中有两条相互平行？以 P， B， A， C 四点中的三点为顶点的三角形是等腰三角形？解：(1) BOP n， t ， n12 t. 5 3 n180当 n150 时，15012 t， t12.5. t 的取值范围为 0 t12.5.(2) BOP n， n12 t.如答图 1，当 BP AC 时， t5.理由： PBA
4、18075105， OBA45， OBP60. OB OP， BOP60，6012 t， t5.如答图 2，当 PC AB 时， t10.理由：易得 PBA BAC75， PBO BPO30， BOP120，12012 t， t10.综上所述，当点 P 的运动时间为 5 s 时， BP AC.当点 P 的运动时间为 10 s 时， PC AB.3在 ABP 中，以 AB 为腰时(如答图 3)， BPA BAP45， BOP90， t7.5.以 AB 为底边时(如答图 4)， BPA45， BAP67.5， BOP267.5135， t11.25.如答图 5，在 APC 中，易得 AOC120，
5、 APC60， APC 是等边三角形 AOP120， BOP30， t2.5.如答图 6，在 BPC 中， BPC105，只有 BP PC 这种情况此时点 P 是弧 BC 的中心， BOP75， t6.25.综上所述，当点 P 的运动时间为 7.5 s 或 11.25 s 时， ABP 为等腰三角形；当点 P 的运动时间为 2.5 s 时， APC 为等边三角形；当点 P 的运动时间为 6.25 s 时， BPC 为等腰三角形3(2018东莞)已知 Rt OAB， OAB90， ABO30，斜边 OB4，将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 60，如图 1，连接 BC.(1)填空： OBC60
6、；(2)如图 1，连接 AC，作 OP AC，垂足为 P，求 OP 的长度；(3)如图 2，点 M， N 同时从点 O 出发，在 OCB 边上运动， M 沿 O C B 路径匀速运动，N 沿 O B C 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒，点 N 的运动速度为 1 单位/秒，设运动时间为 x 秒， OMN 的面积为 y，求当 x 为何值时 y取得最大值最大值为多少？解：(1)由旋转性质可知 OB OC， BOC60， OBC 是等边三角形， OBC60.4第 3 题答图 1(2)如答图 1 中， OB4， ABO30， OA OB2，12AB OA2
7、 ，3 3 S AOC OAAB 22 2 .12 12 3 3 BOC 是等边三角形， OBC60， ABC ABO OBC90， AC 2 ，AB2 BC2 23 2 42 7 OP .2S AOCAC 4327 2217第 3 题答图 2(3)当 0 x 时， M 在 OC 上运动， N 在 OB 上运动，此时过点 N 作 NE OC 且交 OC83于点 E.如答图 2，则 NE ONsin60 x，32 S OMN OMNE 1.5x x，12 12 32 y x2，当 x 时， y 有最大值，最大值为 .338 83 833第 3 题答图 3当 x4 时， M 在 BC 上运动， N
8、 在 OB 上运动如答图 3，835作 MH OB 于 H.则 BM81.5 x， MH BMsin60 (81.5 x)，32 y ONMH x2 2 x.12 338 3当 x 时， y 取得最大值，最大值为 .83 833第 3 题答图 4当 4 x4.8 时， M， N 都在 BC 上运动，作 OG BC 于 G.如答图 4，MN122.5 x， OG AB2 ，3 y MNOG12 x，12 3 532当 x4 时， y 有最大值，最大值为 2 .3综上所述， y 有最大值，最大值为 .8334(2018江西)在菱形 ABCD 中， ABC60，点 P 是射线 BD 上一动点，以 A
9、P 为边向右侧作等边 APE，点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化(1)如图 1，当点 E 在菱形 ABCD 内部或边上时，连接 CE， BP 与 CE 的数量关系是PB EC， CE 与 AD 的位置关系是 CE AD；(2)当点 E 在菱形 ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图 2，图 3 中的一种情况予以证明或说理)；(3)如图 4，当点 P 在线段 BD 的延长线上时，连接 BE.若 AB2 ， BE2 ，求四边3 19形 ADPE 的面积第 4 题答图 1解：(1)结论： PB EC， CE AD.理由：如答图 1 中，连
10、接 AC.四边形 ABCD 是菱形， ABC60， ABC， ACD 都是等边三角形，6 ABD CBD30. APE 是等边三角形， AB AC， AP AE， BAC PAE60， BAP CAE， BP CE， ABP ACE30，延长 CE 交 AD 于 H， CAH60， CAH ACH90， AHC90，即 CE AD.第 4 题答图 2(2)结论仍然成立理由：如答图 2，连接 AC 交 BD 于 O，设 CE 交 AD 于 H.四边形 ABCD 是菱形， ABC60， ABC， ACD 都是等边三角形， ABD CBD30. APE 是等边三角形， AB AC， AP AE， B
11、AC PAE60， BAPCAE， BP CE， ABP ACE30， CAH60， CAH ACH90， AHC90，即 CE AD.第 4 题答图 3(3)如答图 3，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 CE 交 AD 于点 H，由(2)可知 EC AD， CE BP，在菱形 ABCD 中， AD BC， EC BC. BC AB2 ， BE2 ，3 19在 Rt BCE 中， EC 8， 219 2 23 2 BP CE8.7 AC 与 BD 是菱形的对角线， ABD ABC30， AC BD，12 BD2 BO2 ABcos306， OA AB ， DP BP BD862，12 3 OP OD DP5，在 Rt AOP 中， AP 2 ，AO2 OP2 7 S 四边形 ADPE S ADP S AEP DPAO AP212 342 (2 )28 .12 3 34 7 3
