1、1第二部分 专题六 类型四1在平面直角坐标系中 xOy中，正方形 A1B1C1O， A2B2C2C1， A3B3C3C2，按如图的方式放置点 A1， A2， A3， An和点 C1， C2， C3， Cn分别落在直线y x1 和 x轴上抛物线 L1过点 A1， B1，且顶点在直线 y x1 上，抛物线 L2过点 A2， B2，且顶点在直线 y x1 上，按此规律，抛物线 Ln过点 An， Bn，且顶点也在直线 y x1 上，其中抛物线 L2交正方形A1B1C1O的边 A1B1于点 D1，抛物线 L3交正方形 A2B2C2C1的边 A2B2于点D2，抛物线 Ln1 交正方形 AnBnCnCn1
2、的边 AnBn于点 Dn(其中 n2 且 n为正整数)(1)直接写出下列点的坐标： B1 (1,1)， B2 (3,2)， B3_(7,4)_ _；(2)写出抛物线 L2， L3的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线Ln的顶点坐标 (32 n2 1,32 n2 )；(3) 设 A1D1 k1D1B1， A2D2 k2D2B2，试判断 k1与 k2的数量关系并说明理由；点 D1， D2， Dn是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线 y x1 的交点坐标；若不是，请说明理由. 解：(1) B1(1,1)， B2(3,2)， B3(7,4)(2)抛物线 L2， L3的解析式分
3、别为 y2( x2) 23， y3 (x5) 26.12抛物线 L2的解析式的求解过程： 对于直线 y x1，设 x0，可得 y1， A1(0,1)四边形 A1B1C1O是正方形， C1(1,0)又点 A2在直线 y x1 上，可得点 A2(1,2)，又 B2的坐标为(3,2)，抛物线 L2的对称轴为直线 x2，抛物线 L2的顶点坐标为(2,3)，设抛物线 L2的解析式为 y a(x2) 23， L2过点 B2(3,2)，当 x3 时， y2，2 a(32) 23，解得 a1，抛物线 L2的解析式为 y( x2) 23.抛物线 L3的解析式的求解过程： B3的坐标为(7,4)，同上可求得点 A
4、3的坐标为(3,4), 抛物线 L3的对称轴为直线 x5，抛物线 L3的顶点为(5,6)2设抛物线 L3的解析式为 y a(x5) 26， L3过点 B3(7,4)，当 x7 时， y4, 4 a(75) 26，解得 a ，12抛物线 L3的解析式为 y (x5) 26.12猜想抛物线 Ln的顶点坐标为(32 n2 1,32 n2 )猜想过程：方法 1：可由抛物线 L1， L2， L3，的解析式为 y12( x )2 ， y2( x2)12 3223， y3 (x5) 26，归纳总结12方法 2：可由正方形 AnBnCnCn1 顶点 An， Bn的坐标规律 An(2n1 1,2 n1 )与Bn
5、(2n1,2 n1 )，再利用对称性可得抛物线 Ln的对称轴为直线 x ，即2n 1 2n 1 12x 32 n2 1.又顶点在直线 y x1 上，2n 2 1 2 22可得抛物线 Ln的顶点坐标为(32 n2 1,32 n2 )；(3) k1与 k2的数量关系为 k1 k2.理由如下：同(2)可求得 L2的解析式为 y( x2) 23，当 y1 时，1( x2) 23，解得x12 ， x22 ， A1D12 ( 1)，2 2 2 2 2 D1B11(2 ) 1，2 2 A1D1 D1B1，即 k1 .2 2同理可求得 A2D242 2 ( 1)，2 2 2D2B22(42 )2 22( 1)
6、，2 2 2 A2D2 D2B2，即 k2 ， k1 k2.2 2由知， k1 k2，点 D1， D2， Dn在一条直线上；抛物线 L2的解析式为 y( x2) 23，当 y1 时， x2 ， D1(2 ，1)；2 2同理， D2(52 ，2)，2设直线 D1D2的解析式为 y kx b(k0)，则Error! 解得Error!直线 D1D2的解析式为 y x ，3 27 3 273Error! 解得Error!这条直线与直线 y x1 的交点坐标为(1,0)2在平面直角坐标系中，有一组有规律的点：A1(0,1)， A2(1,0)， A3(2,1)， A4(3,0)， A5(4,1)，.依此规
7、律可知，当 n为奇数时，有点 An (n1,1)，当 n为偶数时，有点 An(n1,0)抛物线 C1经过 A1， A2， A3三点，抛物线 C2经过 A2， A3， A4三点，抛物线 C3经过A3， A4， A5三点，抛物线 Cn经过 An， An1 ， An2 三点(1)直接写出抛物线 Cn的解析式；(2)若点 E(e， f1)， F(e， f2)分别在抛物线 C27， C28上，当 e29 时，请判断 A26EF是什么形状的三角形并说明理由； 第 2题图(3)若直线 x m分别交 x轴，抛物线 C2 017， C2 018于点 P， M， N，作直线 A2 018 M， A2 018 N，
8、当 PA2 018M45时，求 sin PA2 018N的值解：(1)根据顶点式容易求出 C1， C2， C3， C4的解析式分别为：y1( x1) 2；y3( x3) 2；y2( x2) 21；y4( x4) 21；可以发现这组抛物线解析式的特点：当 n为奇数时， yn( x n)2；当 n为偶数时， yn( x n)21.(2) A26EF是等腰直角三角形如答图 1，由一般到特殊，可得抛物线 C27的解析式为 y27( x27) 2，且过点 A27， A28， A29 ，抛物线 C28的解析式为 y28( x28) 21，且过点 A28， A29， A30.点 E(e， f1)， F(e，
9、 f2)分别在抛物线 C27， C28上， e29， f1(2927) 24, f2(2928) 210，点 E(e， f1)， F(e， f2)坐标分别为 E(29,4)， F(29,0)； A26的坐标是(25,0)，点 F(29,0)与点 A30重合，4 A26A3029254， EF4，且与 y轴平行， EF A2690， A26EF是等腰直角三角形图 1图 2第 2题答图(3)由(1)中发现的规律可知，抛物线 C2 017， C2 018的解析式分别为 y2 017( x2 017)2， y2 018( x2 018) 21.点 A2 018坐标为(2 017,0)由(2)的研究经验
10、发现，可以退回到简单的抛物线 C3， C4的情况来研究如答图 2，在点 A2 018(2 017,0)的左侧，当 m2 016时， M(2 016,1)，此时有 PA2 018M45， N(2 016，3)，sin PA2 018N ；31010在点 A2 018(2 017,0)的右侧，当 m2 018 时， M(2 018,1)，此时有 PA2 018M45，N(2 018,1)，sin PA2 018N .22综上，当 PA2 018M45时，sin PA2 018N 或 .31010 223(2018江西模拟)已知抛物线 Cn： yn x2( n1) x2 n(其中 n为正整数)与 x
11、12轴交于 An， Bn两点(点 An在 Bn的左边)，与 y轴交于点 Dn.(1)填空：当 n1 时，点 A1的坐标为 (2,0)，点 B1的坐标为(2,0)；当 n2 时，点 A2的坐标为 (2,0)，点 B2的坐标为 (4,0)；(2)猜想抛物线 Cn是否经过某一个定点，若经过请写出该定点坐标并给予证明；若不经过，请说明理由；(3)判断 A2D2B4的形状；猜想 AnDnBn2的大小，并给予证明解：(1) n1 时，抛物线解析式为 y x22，125当 y0 时， x220，解得 x12， x22，12点 A1的坐标为(2,0)，点 B1的坐标为(2,0)；当 n2 时，抛物线解析式为
12、y x2 x4，12当 y0 时， x2 x40，解得 x12， x24，12点 A2的坐标为(2,0)，点 B2的坐标为(4,0)(2)yn x2( n1) x2 n (x2)( x2 n)，12 12当 x2 时， y0，所以抛物线 Cn经过定点(2,0)(3) n2，抛物线解析式为 y x2 x4，12当 x0 时， y4，则 D2(0,4)， n4 时，抛物线解析式为 y x23 x8，12当 y0 时， x23 x80，解得 x12， x28，12点 B4的坐标为(8,0) A2D 2 24 220， B4D 8 24 280， B4A 10 2100，2 2 2 A2D B4D B4A ，2 2 2 A2D2B4的形状为直角三角形， A2D2B490； AnDnBn290.理由如下：当 y0 时， yn (x2)( x2 n)0，12解得 x12， x22 n，点 An的坐标(2,0)，点 Bn的坐标为(2 n,0)；点 Bn2的坐标为(2 n2,0)，而 Dn(0,2n)， AnD (2 n)22 24 n24， Bn2D (2 n2)24 n24 n44 n2， Bn2A (2 n22)2n 2n 2n24 n48 n24， AnD Bn2D Bn2A ，2n 2n 2n AnDnBn2为直角三角形， AnDnBn290.
