1、1第二部分 专题六 类型五1对于直线 l1： y ax b(a0， b0)，有如下定义：我们把直线 l2： y (x b)称1a为它的“姊线” 若 l1与 x， y 轴分别相交于 A， B 两点， l2与 x， y 轴分别相交于 C， D 两点，我们把经过点 A， B， C 的抛物线 C 叫做 l1的“母线” (1)若直线 l1： y ax b(a0， b0)的“母线”为 C： y x2 x4，求 a， b 的12值；(2)如图，若直线 l1： y mx1( m0)， G 为 AB 中点， H 为 CD 中点，连接 GH， M 为 GH中点，连接 OM，若 OM ，求出 l1的“姊线” l2与
2、“母线” C 的函数解析式；56(3)将 l1： y3 x3 的“姊线”绕着 D 点旋转得到新的直线 l3： y kx n，若点P(x， y1)与点 Q(x， y2)分别是“母线” C 与直线 l3上的点，当 0 x1 时，| y1 y2|3，求 k 的取值范围解：(1)对于抛物线 y x2 x4，令 x0，得到 y4， B(0,4)，12令 y0，得到 x2 x40，解得 x4 或 2， A(2,0)， C(4,0)12 y ax b 的图象过点 A， B，Error! 解得Error!(2)如答图所示，连接 OG， OH.点 G， H 为斜边中点， OG AB， OH CD.12 12 l
3、1： y mx1， l1的“姊线” l2为 y (x1)，1m B(0,1)， A( ，0)， D(1,0)， C(0， )，1m 1m OA OC， OB OD. AOB COD， AOB COD， AB CD， ABO CDO， OG OH. OG GB， OH HC，2 GOB ABO， HOC OCD. ODC OCD90， ABO OCD90， GOB HOC90， HOG90， OG OH， OGH 为等腰直角三角形点 M 为 GH 中点， OMG 为等腰直角三角形， OG OM ， AB2 OG ，2106 103 OA ， 103 2 12 13 A( ，0)， C(0， )，
4、 D(1,0)13 13 l1的“姊线” l2的函数解析式为 y x ， “母线” C 的函数的解析式为13 13y3 x22 x1.(3)l1： y3 x3 的“姊线”的解析式为 y x1， “母线” C 的解析式为13y x22 x3，直线 l3： y kx1，当 0 x1 时，| y1 y2|3，不妨设 x1，则 y10， y2 k1，由题意 k13，解得 k2 或4，满足条件的 k 是取值范围为4 k2.2我们定义：两个二次项系数之和为 1，对称轴相同，且图象与 y 轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数例如： y2 x24 x5 的友好同轴二次函数为y x22 x5.(1)请你分
5、别写出 y x2， y x2 x5 的友好同轴二次函数；13 13(2)满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身？(3)如图，二次函数 L1： y ax24 ax1 与其友好同轴二次函数 L2都与 y 轴交于点 A，点 B， C 分别在 L1， L2上，点 B， C 的横坐标均为m(0 m2)，它们关于 L1的对称轴的对称点分别为 B， C，连接BB， B C， C C， CB.若 a3，且四边形 BB C C 为正方形，求 m 的值；若 m1，且四边形 BB C C 的邻边之比为 12，直接写出 a 的值3解：(1)1( ) ，13 43函
6、数 y x2的友好同轴二次函数为 y x2.13 431 ，1( )2，13 23 23 13函数 y x2 x5 的友好同轴二次函数为 y x22 x5.13 23(2)110，二次项系数为 1 的二次函数没有友好同轴二次函数12 ，二次项系数为 的二次函数的友好同轴二次函数是它本身12 12(3)二次函数 L1： y ax24 ax1 的对称轴为直线 x 2， 4a2a其友好同轴二次函数 L2： y(1 a)x24(1 a)x1. a3，二次函数 L1： y ax24 ax13 x212 x1，二次函数 L2： y(1 a)x24(1 a)x12 x28 x1，点 B 的坐标为( m,3m
7、212 m1)，点 C 的坐标为(m，2 m28 m1)，点 B的坐标为(4 m,3m212 m1)，点 C的坐标为(4 m，2 m28 m1)， BC2 m28 m1(3 m212 m1)5 m220 m， BB4 m m42 m.四边形 BB C C 为正方形， BC BB，即5 m220 m42 m，解得 m1 ， m2 (不合题意，舍去)， m 的值为 .11 1015 11 1015 11 1015当 m1 时，点 B 的坐标为(1，3 a1)，点 C 的坐标为(1,3 a2)，点 B的坐标为(3，3 a1)，点 C的坐标为(3,3 a2)， BC|3 a2(3 a1)|6 a3|，
8、BB312.四边形 BB C C 的邻边之比为 12， BC2 BB或 BB2 BC，即|6 a3|22 或 22|6 a3|，解得a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a 的值为 ， 或 .16 76 13 23 1676 13 233在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量 x，这两个函数对应的函数值记为 y1， y2，都有点( x， y1)和( x， y2)关于点( x， x)中心对称(包括三个点重合时)，由于对称中心都在直线 y x 上，所以称这两个函数为关于直线 y x 的4特别对称函数例如： y x 和 y x 为关于直线 y x 的特别对称函数12
9、32(1)若 y3 x2 和 y kx t(k0)为关于直线 y x 的特别对称函数，点 M(1， m)是y3 x2 上一点点 M(1， m)关于点(1,1)中心对称的点坐标为 (1，3).求 k， t 的值(2)若 y3 x n 的图象和它的特别对称函数的图象与 y 轴围成的三角形面积为 2，求n 的值(3)若二次函数 y ax2 bx c 和 y x2 d 为关于直线 y x 的特别对称函数直接写出 a， b 的值已知点 P(3,1)，点 Q(2,1)，连接 PQ，直接写出 y ax2 bx c 和 y x2 d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围解：(1)点 M(1
10、， m)是 y3 x2 上一点， m5， M(1,5)，点 M 关于(1,1)中心对称点坐标为(1，3) y3 x2 和 y kx t(k0)为关于直线 y x 的特别对称函数， x，3x 2 kx t2(1 k)x( t2)0， k1， t2.(2)设 y3 x n 的特别对称函数为 y m x n， x，(1 m) x n n0， m1， n n，3x n m x n2 y3 x n 的特别对称函数为 y x n，联立得Error! 解得Error! y3 x n 的图象和它的特别对称函数的图象与 y 轴围成的三角形面积为2， |n( n)| n|2， n2.12 12(3)二次函数 y
11、ax2 bx c 和 y x2 d 为关于直线 y x 的特别对称函数， x，ax2 bx c x2 d2( a1) x2( b2) x c d0， a1， b2， c d；由知， a1， b2， c d，二次函数 y x22 x d 和 y x2 d，这两个函数的对称轴为直线 x1 和 x0.点 P(3,1)，点 Q(2,1)，当 d0 时，如答图 1，5当抛物线 C2： y x2 d 恰好过点 P(3,1)时，即 9 d1， d8，当抛物线 C1： y x22 x d 恰好过点 Q(2,1)时，即44 d1， d1，y ax2 bx c 和 y x2 d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为8 d1，如答图 2，当 0 d1 时，抛物线 C2与线段 PQ 有两个交点，而抛物线 C1与线段 PQ 没有交点， y ax2 bx c 和 y x2 d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为0 d1，即： y ax2 bx c 和 y x2 d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为8 d1 或 0 d1.
