1、1第七节 二次函数的综合应用姓名：_ 班级：_ 用时：_分钟1(2018衡阳中考)如图，已知直线 y2x4 分别交 x 轴、y 轴于点 A，B，抛物线过 A，B 两点，点P 是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PCx 轴于点 C，交抛物线于点 D.(1)若抛物线的表达式为 y2x 22x4，设其顶点为 M，其对称轴交 AB 于点 N.求点 M，N 的坐标；是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形？并说明理由；(2)当点 P 的横坐标为 1 时，是否存在这样的抛物线，使得以 B，P，D 为顶点的三角形与AOB 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由2(2018枣庄中
2、考)如图 1，已知二次函数 yax 2 xc(a0)的图象与 y 轴交于点 A(0，4)，与 x 轴32交于点 B，C，点 C 坐标为(8，0)，连接 AB，AC.(1)请直接写出二次函数 yax 2 xc 的表达式；32(2)判断ABC 的形状，并说明理由；(3)若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A，N，C 为顶点的三角形是等腰三角形 时，请写出此时点 N 的坐标；(4)如图 2，若点 N 在线段 BC 上运动(不与点 B，C 重合)，过点 N 作 NMAC，交 AB 于点 M，当AMN 面积最大时，求此时点 N 的坐标2图 1图 23(2018随州中考)如图 1，抛物线 C1：yax 2
3、2axc(a0)与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点C.已知点 A 的坐标为(1，0) ，点 O 为坐标原点，OC3OA，抛物线 C1的顶点为 G.(1)求出抛物线 C1的表达式，并写出点 G 的坐标；(2)如图 2，将抛物线 C1向下平移 k(k0)个单位，得到抛物线 C2，设 C2与 x 轴的交点为 A，B，顶点为 G，当ABG是等边三角形时，求 k 的值；(3)在(2)的条件下，如图 3，设点 M 为 x 轴正半轴上一动点，过点 M 作 x 轴的垂线分别交抛物线 C1，C 2于 P，Q 两点，试探究在直线 y1 上是否存在点 N，使得以 P，Q，N 为顶点的三角形与AOQ 全等
4、，若3存在，直接写出点 M，N 的坐标：若不存在，请说明理由参考答案1解： (1)如图，y2x 22x42( x )2 ，12 92顶点 M 的坐标为( ， )12 92当 x 时，y2 43，12 12则点 N 的坐标为( ，3)12不存在理由如下：MN 3 .92 32设 P 点坐标为(m，2m4)，则 D(m，2m 22m4)，PD2m 22m4(2m4)2m 24m.PDMN，当 PDMN 时，四边形 MNPD 为平行四边形，即2m 24m ，解得 m1 (舍去)，m 2 ，32 12 32此时 P 点坐标为( ，1)324PN ，PNMN，（ 12 32） 2 （ 3 1） 2 5平
5、行四边形 MNPD 不为菱形，不存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形(2)存在如图，OB4，OA2，则 AB 2 .22 42 5当 x1 时，y2x42，则 P(1，2)，PB .12 （ 2 4） 2 5设抛物线的表达式为 yax 2bx4，把 A(2，0)代入得 4a2b40，解得 b2a2，抛物线的表达式为 yax 22(a1)x4.当 x1 时，y ax22(a1)x4a2a242a，则 D(1，2a)，PD2a2a.DCOB，DPBOBA，当 时，PDBBOA，即 ，PDBO PBBA a4 52 5解得 a2，此时抛物线的表达式为 y2x 22x4；当 时，PDBBAO，即 ，
6、PDBA PBBO a2 5 54解得 a ，52此时抛物线的表达式为 y x23x4.52综上所述，满足条件的抛物线的表达式为 y2x 22x4 或 y x23x4.522解：(1)y x2 x4.14 32提示：二次函数 yax 2 xc 的图象与 y 轴交于点 A(0，4)，与 x 轴交于点 B，C，点 C 坐标为(8，0)，325 解得c 4，64a 12 c 0， ) a 14，c 4， )抛物线的表达式为 y x2 x4 .14 32(2)ABC 是直角三角形理由如下：令 y0，则 x2 x40，14 32解得 x18，x 22，点 B 的坐标为(2，0)在 RtABO 中，AB
7、2BO 2AO 22 24 220，在 RtAOC 中，AC 2AO 2CO 24 28 280.又BCOBOC2810， 在ABC 中，AB 2AC 2208010 2BC 2，ABC 是直角三角形(3)A(0，4)，C(8，0)，AC 4 .42 82 5以 A 为圆心，以 AC 长为半径作圆，交 x 轴于点 N，此时 N 的坐标为(8，0)；以 C 为圆心，以 AC 长为半径作圆，交 x 轴于点 N，此时 N 的坐标为(84 ，0)或(84 ，0)；5 5作 AC 的垂直平分线，交 x 轴于点 N，此时 N 的坐标为(3，0)综上所述，若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A，N，C 为顶
8、点的三角形是等腰三角形时，点 N 的坐标分别为(8，0)，(84 ，0)，(84 ，0)，(3，0)5 5(4)设点 N 的坐标为(n，0)，则 BNn2.如图，过点 M 作 MDx 轴于点 D，MDOA，BMDBAO， .BMBA MDOAMNAC， ， .BMBA BNBC MDOA BNBCOA4，BC10，BNn2，MD (n2)25S AMN S ABN S BMN BNOA BNMD12 12 (n2)4 (n2) 212 12 256 (n3) 25，15当 n3 时，S AMN 最大，当AMN 面积最大时，N 点坐标为(3，0)3解：(1)点 A 的坐标为(1，0)，OA1.O
9、C3OA，点 C 的坐标为(0，3)将 A，C 点坐标代入 yax 22axc 得解得a 2a c 0，c 3， ) a 1，c 3， )抛物线 C1的表达式为 yx 22x3(x1) 24，点 G 的坐标为(1，4)(2)设抛物线 C2的表达式为 yx 22x3k，即 y(x1) 24k.如图，过点 G作 GDx 轴于点 D，设 BDm.ABG为等边三角形，GD BD m，3 3则点 B的坐标为(m1，0)，点 G的坐标为(1， m)3将点 B，G的坐标代入 y(x1) 24k 得解得 (舍)或 m2 4 k 0，4 k 3m， ) m1 0，k1 4) m2 3，k2 1， )k1.(3)存在M1( ，0)，N 1( ，1) ；M 2( ，0)，N 2(1，1)；M 3(4，0)，N 3(10，1)；M 4(4，0)，1 132 13 1 132N4(2，1)
