1、第六节 二次函数的实际应用,考点一 利润问题 例1 (2018达州中考)“绿水青山就是金山银山”的理念已 融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车 出行某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的 50%标价已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直 降100元销售7辆获利相同,(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？ (2)若该型号自行车的进价不变，按(1)中的标价出售，该店 平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多 售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？ 最大利润是多少？,【分析】 (1)设进价为x元，则标价是1.5x元，根据利润相 等可得
2、方程，解方程即可得到进价，进而得到标价； (2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，利用“销售量 每辆自行车的利润总利润”列出函数关系式，即可求解 【自主解答】 (1)设进价为x元，则标价是1.5x元 由题意得1.5x0.988x(1.5x100)77x， 解得x1 000， 151 0001 500(元),答：该型号自行车的进价为1 000元，标价为1 500元 (2)设该型号自行车降价a元，利润为w元由题意得 w(51 3)(1 5001 000a) (a80)226 460. 0，当a80时，w最大26 460. 答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是 26 460元,利
3、用二次函数求最大利润的方法 利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应认清变量所表 示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要全面 此类问题一般是先运用“总利润总售价总成本”或“总 利润每件商品所获利润销售数量”，建立利润与价格之 间的函数关系式，求出这个函数关系式的最大值，即求得的 最大利润,1(2017潍坊中考)工人师傅用一块长为10 dm，宽为 6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各 裁掉一个正方形(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示 折痕；并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形边长 多大？,(2)若要求制作的长方体的底面长不
4、大于底面宽的五倍，并 将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底 面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总 费用最低，最低为多少？,解：(1)如图所示： 设裁掉的正方形的边长为x dm. 由题意可得(102x)(62x)12， 即x28x120， 解得x2或x6(舍去) 答：裁掉的正方形的边长为2 dm.,(2)长不大于宽的五倍， 102x5(62x)， 解得0x2.5. 设总费用为w元由题意得 w0.5x(102x)20.5x(62x)22(102x)(62x) 4x248x1204(x6)224，,当0x2.5时，w随x的增大而减小， 当x2.5时，w有最小值，最小
5、值为25. 答：当裁掉边长为2.5 dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元,2(2018眉山中考)传统的端午节即将来临，某企业接到 一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按 要求在20天内完成为了按时完成任务，该企业招收了新工 人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如 下关系：,(1)李明第几天生产的粽子数量为280只？ (2)如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间 的关系可用图中的函数图象来刻画若李明第x天创造的利 润为w元，求w与x之间的函数解析式，并求出第几天的利润 最大？最大利润是多少元？(利润出厂价成本),解：(1)634204， 前六
6、天生产的粽子最多达到204只 将280代入20x80得20x80280，x10. 答：第10天生产的粽子数量为280只 (2)当0x10时，p2，当10x20时，设pkxb. 将(10，2)和(20，3)代入得,p x1. 当0x6时，w(42)34x68x，w随x的增大而增大， 当x6时，w最大值为408元； 当6x10时，w(42)(20x80)40x160， w随x的增大而增大， 当x10时，w最大值为560元； 当10x20时，,w(4 x1)(20x80)2x252x240， 对称轴为x13. 在10x20内，将x13代入得w578(元) 综上所述，w与x的函数解析式为答：第13天的
7、时候利润最大，最大利润为578元,考点二 抛物线形实际问题 例2 (2018滨州中考)如图，一小球沿与地面成一定角度的 方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空气 阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之 间具有函数关系y5x220x，请根据要求解答下列问题：,(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间 是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多 少？,【分析】 (1)小球飞行高度为15 m，即y5x220x中y的 值为15，解方程求出x的值，即为飞行时间； (2)小球飞出时
8、和落地时的高度为0，据此可求出x的值，再 求差即可； (3)求小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？即求x为何 值时，二次函数有最大值，最大值是多少？,【自主解答】 (1)当y15时，有5x220x15， 化简得x24x30， 解得x1或3. 答：飞行时间是1 s或者3 s. (2)飞出和落地的瞬间，高度都为0，故y0， 有05x220x，解得x0或4， 小球从飞出到落地所用时间是404 (s),(3)当x 时，小球的飞行高度最 大，最大高度为20 m.,解抛物线形实际问题的注意事项 (1)解题的关键：进行二次函数建模，依据题意，建立合适 的平面直角坐标系，并利用抛物线的性质解决问题 (2)
9、解题技巧：所建立的坐标系能使所设的解析式形式最简 (3)注意问题：题意分析不透，不能建立符合题意的函数 模型或所建立的函数模型不正确，导致解题错误；忽视了 自变量的取值范围，造成错解,3(2017金华中考)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球 飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1 m的 P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间 满足函数表达式ya(x4)2h，已知点O与球网的水平距 离为5 m，球网的高度为1.55 m. (1)当a 时，求h的值； 通过计算判断此球能否过网；,(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m， 离地面的高度为 m的Q处时
10、，乙扣球成功，求a的值,解：(1)当a 时，y (x4)2h， 将点P(0，1)代入得 16h1， 解得h . 把x5代入y (x4)2 得 y (54)2 1.625. 1.6251.55， 此球能过网,(2)把(0，1)，(7， )代入ya(x4)2h得a .,4(2017德州中考)随着新农村的建设和旧城的改造，我 们的家园越来越美丽小明家附近广场中央新修了个圆形喷 水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷 出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离1米处达到最高， 水柱落地处离池中心3米,(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的 函数解析式； (2)求出水柱的最大高度是多少？,解：(1)如图，以喷水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点 所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系 设抛物线的函数解析式为ya(x1)2h(0x3) 抛物线过点(0，2)和(3，0)，代入抛物线解析式可得,抛物线解析式为y (x1)2 (0x3)， 化为一般式为y x2 x2(0x3) (2)由(1)抛物线解析式为y (x1)2 (0x3)， 当x1时，y . 答：水柱的最大高度为 m.,
