1、1第一部分 第三章 课时 12命题点 1 二次函数的实际应用1(2018贵阳)六盘水市梅花山国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离 y(单位：cm)与滑行时间 x(单位：s)之间的关系可以近似的用二次函数来表示.滑行时间 x/s 0 1 2 3 滑行距离 y/cm 0 4 12 24 (1)根据表中数据求出二次函数的表达式现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约800 m，他需要多少时间才能到达终点？(2)将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移 2 个单位，再向上平移 5 个单位，求平移后的函数表达式解：(1)该抛物线过点(0,0)，设抛物线的解析式为 y a
2、x2 bx.将(1,4)，(2,12)代入，得Error!解得 Error!抛物线的解析式为 y2 x22 x.当 y80 000 时，2 x22 x80 000，解得 x199.500 625(负值已舍去)，即他需要 199.500 625 s 才能到达终点(2) y2 x22 x2( x )2 ，向左平移 2 个单位，再向上平移 5 个单位后函数12 12解析式为 y2( x2 )2 52( x )2 .12 12 52 92命题点 2 二次函数与几何的综合2(2017贵阳)我们知道，经过原点的抛物线可以用 y ax2 bx(a0)表示，对于这样的抛物线：(1)当抛物线经过点(2,0)和(
3、1,3)时，求抛物线的表达式；2(2)当抛物线的顶点在直线 y2 x 上时，求 b 的值；(3)如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点 A1， A2， An在直线 y2 x 上，横坐标依次为1，2，3， n(n 为正整数，且 n12)，分别过每个顶点作 x 轴的垂线，垂足记为 B1， B2， Bn，以线段 AnBn为边向左作正方形 AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点 Dn，求此时满足条件的正方形 AnBnCnDn的边长解：(1)抛物线 y ax2 bx 经过点(2,0)和(1,3)，Error!解得Error!抛物线的表达式为 y3 x26 x.(2)抛物线 y ax2 bx 的
4、顶点坐标是( ， )，且该点在直线 y2 x 上，b2a b24a 2( )b24a b2a a0， b24 b，解得 b14， b20.(3)由这组抛物线的顶点 A1， A2， An在直线 y2 x 上，及(2)可知， b4 或b0.当 b0 时，抛物线的顶点在坐标原点，不符合题意，舍去；当 b4 时，抛物线的表达式为 y ax24 x.由题意可知，第 n 条抛物线的顶点为 An( n,2n)，则 Dn(3 n,2n)以 An为顶点的抛物线不可能经过点 Dn，设第 n k(k 为正整数)条抛物线经过点 Dn，此时第 n k 条抛物线的顶点坐标是 An k( n k,2n2 k)， n k，b
5、2a a ，b2 n k 2n k第 n k 条抛物线的表达式为 y x24 x. Dn(3 n,2n)在第 n k 条抛物线上，2n k2 n (3 n)24(3 n)，解得 k n.2n k 45 n， k 为正整数，且 n12， n15， n210.当 n5 时， k4， n k9；当 n10 时， k8， n k1812(舍去)， D5(15,10)此时满足条件的正方形 AnBnCnDn 的边长为 10.3(2016贵阳)如图，直线 y5 x5 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C，过 A， C 两点的二次函数 y ax24 x c 的图象交 x 轴于另一点 B3(1)求二次函数的表
6、达式；(2)连接 BC，点 N 是线段 BC 上的动点，作 ND x 轴交二次函数的图象于点 D，求线段ND 长度的最大值；(3)若点 H 为二次函数 y ax24 x c 图象的顶点，点 M(4， m)是该二次函数图象上一点，在 x 轴、 y 轴上分别找点 F， E，使四边形 HEFM 的周长最小，求出点 F， E 的坐标温馨提示：在直角坐标系中，若点 P， Q 的坐标分别为 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，当 PQ 平行 x 轴时，线段 PQ 的长度可由公式 PQ| x1 x2|求出；当 PQ 平行 y 轴时，线段 PQ 的长度可由公式 PQ| y1 y2|求出解：(1)直线 y
7、5 x5 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C， A(1,0)， C(0,5)二次函数 y ax24 x c 的图象过 A， C 两点，Error! 解得Error!二次函数的表达式为 y x24 x5.(2)令 y x24 x50，解得 x5 或 x1(舍去)，点 B 的坐标为(5,0)设直线 BC 的解析式为 y kx b，直线 BC 过点 B(5,0)， C(0,5)，Error! 解得Error!直线 BC 的解析式为 y x5.如答图 1，设 ND 的长为 d， N 点的横坐标为 n.答图 1则 N 点的纵坐标为 n5， D 点的坐标为( n， n24 n5)，则 d| n24 n
8、5( n5)|，由题意可知， n24 n5 n5， d n24 n5( n5) n25 n4( n )2 ，52 254当 n 时，线段 ND 长度的最大值是 .52 254(3)由题意可得二次函数的顶点坐标为 H(2,9)，点 M 的坐标为(4,5)如答图 2，作点 H(2,9)关于 y 轴的对称点 H1，答图 2则点 H1的坐标为(2,9)，作点 M(4,5)关于 x 轴的对称点 M1，则点 M1的坐标为(4，5)，连接 H1M1，分别交 x 轴于点 F， y 轴于点 E，则 EH1 EH， FM1 FM， H1M1 HM 的长度是四边形 HEFM 的最小周长，则点 F， E 即为所求设直
9、线 H1M1的解析式为 y k1x b1，直线 H1M1过点 M1(4，5)， H1(2,9)，Error! 解得Error!直线 H1M1的解析式为 y x ，73 133点 F， E 的坐标分别为( ，0)，(0， )137 1334(2015贵阳)如图，经过点 C(0，4)的抛物线 y ax2 bx c(a0)与 x 轴相交于 A(2,0)， B 两点(1)a_0， b24 ac_0；(填“”或“”)(2)若该抛物线关于直线 x2 对称，求抛物线的函数表达式；(3)在(2)的条件下，连接 AC， E 是抛物线上一动点，过点 E 作 AC 的平行线交 x 轴于点F.是否存在这样的点 E，使
10、得以 A， C， E， F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由5解：(1)，.(2)直线 x2 是对称轴， A(2,0)， B(6,0)点 C(0，4)，将 A， B， C 的坐标分别代入 y ax2 bx c，得Error! 解得Error!抛物线的函数表达式为 y x2 x4.13 43(3)存在(i)假设存在点 E 使得以 A， C， E， F 为顶点所组成的四边形是平行四边形如答图 1，过点 C 作 CE x 轴，交抛物线于点 E，过点 E 作 EF AC，交 x 轴于点 F，则四边形 ACEF 即为满足条件的平行四边形抛物线
11、y x2 x4 关于直线 x2 对称，13 43由抛物线的对称性可知，点 E 的横坐标为 4. OC4，点 E 的纵坐标为4. E(4，4)；答图 1答图 2(ii)假设在抛物线上还存在点 E，使得以 A， C， F， E为顶点所组成的四边形是平行四边形如答图 2，过点 E作 E F AC 交 x 轴于点 F，则四边形 ACF E即为满足条件的平行四边形， AC E F， AC E F.过点 E作 E G x 轴于点 G.6 AC E F， CAO E F G. COA E GF90， AC E F， CAO E F G， E G CO4，点 E的纵坐标是 4，4 x2 x4，13 43解得
12、x122 ， x222 ，7 7点 E的坐标为(22 ，4)，7同理可得点 E的坐标为(22 ，4)7综上所述，满足条件的点 E 的坐标为(4，4)或(22 ，4)或(22 ，4)7 75(2014贵阳)如图，经过点 A(0，6)的抛物线 y x2 bx c 与 x 轴相交于12B(2,0)， C 两点(1)求此抛物线的函数关系式和顶点 D 的坐标；(2)将(1)中求得的抛物线向左平移 1 个单位长度，再向上平移 m(m0)个单位长度得到新抛物线 y1，若新抛物线 y1的顶点 P 在 ABC 内，求 m 的取值范围；(3)在(2)的结论下，新抛物线 y1上是否存在点 Q，使得 QAB 是以 A
13、B 为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的 m 的取值范围解：(1)将 A(0，6)， B(2,0)代入 y x2 bx c，得Error!解得Error!12 y x22 x6，顶点 D 的坐标为(2，8)12(2)将(1)中求得的抛物线向左平移 1 个单位长度，再向上平移 m(m0)个单位长度得到新抛物线 y1 (x21) 28 m，12 P(1，8 m)在抛物线 y x22 x6 中易得 C(6,0)，12直线 AC 的解析式为 y2 x6.当 x1 时， y25，58 m0，解得 3 m8.(3)存在 A(0，6)， B(2,0)，7线段 AB 的中点坐标为(1，3)，直线 AB 的解析式为 y3 x6，过 AB 的中点且与 AB 垂直的直线的解析式为 y x ，13 83直线 y x 与 y (x1) 28 m 有交点13 83 12联立方程，求得判别式为 6412(6 m29)0，解得 m .10318当 3 m 时，存在两个 Q 点，可作出两个等腰三角形； 10318当 m 时，存在一个点 Q，可作出一个等腰三角形；10318当 m8 时， Q 点不存在，不能作出等腰三角形10318
