1、1专题 03 函数性质灵活应用一陷阱描述1.概念类陷阱，包括直接用两个特值就证明函数的单调性、单调区间的开闭、单调区间使用“ ”符号等几点内容，要深刻理解这几个概念的内涵。（1）利用两个特值证明单调性。函数单调性是指在函数定义域的某个区间上任意取两个值 且 ，若 则函数 是增函数；若 则函数 是减函数。（2）单调区间的开闭。求函数的单调区间时，如果在端点处有定义为闭，如果在端点处没有定义为开。（3）单调区间使用“ ”符号。函数的单调区间有多个时，不能用“ ”符号，只能用“和” “， ”连接。分类讨论陷阱，含参数的讨论问题。在处理含参数函数单调性问题时，讨论时要做到不重不漏。隐含条件陷阱，求函数
2、的单调区间必须在函数的定义域范围内讨论。等价转化陷阱，分段函数的连接点。在处理分段函数单调性时，注意连接点函数值。迷惑性陷阱，函数的主变元问题。给出含 和其它字母的不等式中，如果已知其它字母的范围求的范围时，往往是把那个字母作为自变量。 【解析】依题意，函数 是偶函数，且 在 上单调递增，故 ，故选 A.【点评】本小题主要考查函数的对称性，考查函数的单调性以及绝对值不等式的解法，属于中档题.4.利用性质解决抽象函数问题例 4 【2019 山东模拟】给出下列说法：集合 与集合 是相等集合；若函数 )(xf的定义域为 2,0，则函数 )2(xf的定义域为 4,0；函数 21y的单调减区间是 ；不存
3、在实数 m，使 为奇函数；若 ，且 2)1(f，则 .其中正确说法的序号是（ ）A B C D【答案】D2【解析】中 A 集合与 B 集合都表示所有奇数组成的集合，是相等集合.中若函数 )(xf定义域为,20由 2,0x得 1,即函数 )2(xf的定义域为 1,0，故错误.函数 21y的单调减区间是故错误.函数 的定义域为 R，若函数为奇函数，则矛盾，所以对任意实数 m,函数 不会是奇函数，故错误.若则 所以，故正确.选 D.练习 1已知定义在区间 上的函数 满足 ，且当 时， .（1）求 的值；（2）证明： 为单调增函数；（3）若 ，求 在 上的最值.【答案】 （1）f（1）=0 （2）见解
4、析（3）最小值为2，最大 值为 3【解析】 （1）利用赋值法进行求 的值； （2）根据函数的单调性的定义判断 在 上的单调性，并证明（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值试题解析：（1）函数 f（ x）满足 f（ x1x2）=f（ x1）+ f（ x2） ，令 x1=x2=1，则 f（1）= f（1）+ f（1） ，解得 f（1）=0（2）证明：（2）设 x1， x2（0，+） ，且 x1 x2，则 1， f（ ）0，f（x 1）f（x 2）=f（x 2 ）f（x 2）=f（x 2）+f（ ）f（x 2）=f（ ）0，即 f（x 1）f（x 2） ，f（x）在（0，+）上的是增
5、函数3【点睛】本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，其中利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，而利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键练习 2已知函数 f(x)是定义在 R上的不恒为零的函数，且对于任意实数 x， y满足：，考查下列结论： f(1)=； f(x)为奇函数；数列na为等差数列；数列 nb为等比数列。以上命题正确的是 【答案】【解析】因为对定义域内任意 x， y， f()满足 ，令 1xy，得 0f（ ） ，故错误；令 1xy，得 0f（ ） ；令 1，有 ，代入10f（ ）得 ，故 fx（ ） 是 （ ， ） 上的奇函数故正确；若 2nfa(*)nN
6、，则为常数，故数列 na 为等差数列，故正确； 2f（ ） ， ，当 xy时，则 ，4，则 ，若 ，则为常数，则数列 nb为等比数列，故正确，故答案为：【方法点晴】本题主要考查抽象函数的应用，抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如 ，它的原型就是ykx；可通过赋特殊值法使问题得以解决，在该题中结合等比数列和等差数列的定义，结合抽象函数的关系进行推导是解决本题的关键.5.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用例 5. 已知函数 fx的定义域为 R的
7、奇函数，当 0,1x时， 3fx，且 xR，则 （ ）A. 18 B. C. 0 D. 1【答案】B【解析】 fx的定义域为 R的奇函数， ，即 ，把 x 换成 x-2，可得： ，又 ， ，故函数周期为 T=4，又 ，当 0,1x时， 3fx， 8【防陷阱措施】抽象函数的周期性：（1）若 ，则函数 fx周期为 T；（2）若 ，则 fx函数周期为（3）若 ，则函数的周期为 2a；5（4）若 ，则函数的周期为 2a.练习 1. 已知偶函数 fx与奇函数 gx的定义域都是 ,2，它们在 0,2上的图象如图所示，则使关于 x的不等式 成立的 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】
8、如图所示：当 01x时， 0fx， gx， ；当 12x时， 0fx， g， ，故当 时，其解集为 1,2， yf是偶函数， y是奇函数， fxg是奇函数，由奇函数的对称性可得：当 0x时，其解集为 ,0，综上：不等式 的解集是 ，故选 C.练习 2. 已知函数 fx是定义域为 R的偶函数，且 ，若 fx在 1,0上是减函数，记 ， ， 0.52cf，则（ ）A. acb B. ab C. a D. bac【答案】A【解析】 ， ，函数是周期为 2 的周期函数； fx为偶函数，fx在 1,0上是减函数， fx在 01， 上单调递增，并且 ， .52c， 0.5， acb，故选 A.练习 3.已
9、知 fx是定义在 R上的偶函数，并且 ，当 23x时， ，6则 2017.5f的值为_. 【答案】3【解析】由 ，得 ，所以 fx是周期为 4的周期函数. .又 fx是定义在 R上的偶函数，所以 .所以 .6.函数性质与导数综合例 6 【2018 雅安模拟】已知函数 ，实数 m， n满足 0，若1 xmn， ，使得 成立，则 n的最大值为（ ）A4 B 23 C.43 D 25【答案】A【解析】 ，则当 01x时， 0gx；当 1时， 0gx，. ，作函数 yf的图象如图所示，当 2f时，方程两根分别为 5和 1，则 nm的最大值为 154.故选 A.考点：函数的图象和性质.【方法点晴】本题考
10、查函数导数与单调性.确定方程根的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问7题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.练习 1若三次函数 在 ， 上是减函数，则 m的取值范围是（ ）A 0， B 1，C ， D ， 【答案】A【解析】试题分析：因为三次函数 在 ， 上是减函数，所以有，得 故选 A.考点：利用导数研究函数的单调性.
11、练习 2已知函数 ，若对任意的 ，且 12x时，则实数 a的取值范围为（ ）A2,4eB2,eC2,3eD 2,e【答案】B【解析】由题意得 yfx 在 1,2 上单调递增;当 0a 时, fx 在 1,2 上单调递增,所以由;当 0a 时, ,由 ,因此fx的单调增区间为 ,所以由 ;综上实数 a的取值范围为2,e,选 B.练习 3设函数 为自然对数的底数） ，定义在 R上的连续函数 fx满足：，且当 0x时， fx，若存在 ，使得，则实 数 a的取值范围为（ ）8A B ,2e C 1,2e D【答案】B【解析】设 ，则 ，故函数 是区间 ,0上的单调递减函数，又 ； ，则函数是奇函数，所
12、以函数 是区间 ,上的单调递减函数；由题设中 可得： ，所以问题转化为 在,1上有解，即 2xae在 ,1上有解，令 ，则 ，故在 ,1上答单调递增，则 ，应选答案 B。点睛：解答本题的关键是对题意的理解，求解时先构造函数 ，后对其求导，判断其函数的单调性，进而将不等式进行等价转化，然后将问题进行等价转化为 2xae在 ,1上有解，然后运用导数求出函数 2xae在 ,1上的值域，使得问题获解。7.数形结合求参数例 7. 【2019 湖南师大附中模拟】已知函数 在 0 2， 上是减函数，则实数a的取值范围是 【答案】9考点：复合函数单调性【思路点晴】本题主要考查符合函数的单调性的判断由于函数是对
13、数函数，且底数和真数都含有参数 a，所以我们要对参数 a进行分类讨论，分类讨论的依据就是对数函数的单调性和一次函数的单调性当0a时， 3x是减函数，由复合函数单调性的性质知 21a，由此求得 312a同理当 0时，可求得取值范围是 10练习 1 “a”是“函数 在区间 0， 内单调递减”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由上图可得 fx 在 ,0 内单调递减等价于 0a，故选 C. 8.恒成立求参数例 8. 【2019 河北联考】已知函数 fx是定义在 R上的增函数，函数 1yfx的图像关于 1,0对称，若对任意 x， yR，不
14、等式 恒成立，则当 3时， 2y的取值范围是（ ） 10A 3,7 B 13,7 C 9,4 D 13,49【答案】D【解析】函数 yfx的图象关于点 ,0对称，函数 yfx（ ） 的图象关于点 0（ ， ） 对称，即函数yfx（ ）为奇函数，则 ，又 fx（ ） 是定义在 R上的增函数且恒成立， 恒成立， 恒成立，设 Mxy（ ， ） ，则当 3x 时， M表示以34（ ， ）为圆心 2为半径的右半圆内的任意一点，则 表示区域内的点和原点的距离由图可知：d的最小值是 13OA， ， 527，当 3x 时， 2y的范围为 13,49故选 D.考点：函数恒成立问题.【思路点晴】本题考查了函数图象
15、的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识，解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现 “数形结 合及”转化”的思想在解题中的应用；由函数 1yfx的图象关于点 1,0对称，结合图象平移的知识可知函数yfx（ ）的图象关于点 0（ ， ） 对称，从而可知函数 yfx（ ） 为奇函数，由恒成立，可把问题转化为 ，即可求.练习 1.已知对任意 的恒成立，则 m的取值范围（ ）A. 9,2 B. ,4 C. 9,2 D. ,511【答案】A【解析】 14x时， 1x，则原不等式为 ，则 5m，且 ，得 ，由对勾函数 性质可知， ，所以 524，得 92，
16、故选 A。防陷阱措施：恒成立即存在性问题一定要从函数的最值考虑练习 2.已知幂函数 12fx，若 ，则 a的取值范围是（ ）A. 1,3 B. ,5 C. 3,5 D. 3,【答案】C【解析】幂函数 12fx的定义域为x|x0，在（0，+）上单调递减若 f（a+1）f（10-2a） ，则 解得 3a5，即 a 的取值范围 是（3，5） 9 .单调性 求参数，区间的开闭（概念类）【例 9】若函数 在区间 1,2上单调，则实数 的取值范围为（ ）A 2,) B (, C. D 【解析】：函数 的图像开口向上，对称轴为直线 ax1，若函数 xf在区间2,1上单调，则应有 21a或 1，解得： 1a或
17、 2，故选 C.【陷阱提示】对称轴所在范围含端点.练习 1 若函数 满足对任意 12x，都有 成立，则实数a的取值范围是_【答案】 2,312【解析】由题意得 fx为单调递增函数,所以 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间 ,ab上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.练习 2若函数 是 R上的单调函数，则实数 a的取值范围为_【答案】 17,8【解析】因为 ，是开口向下的二次函数，故
18、只能是在 4x上单减，故要求整个函数在 R 上都是减的，每一段都是减的，则要求 ，故答案为： 172,8。练习 3函数 在区间 ,3a内单调递减，则 a的取值范围是_【答案】 ,1【解析】g（x）=3ax 2+4（1-a）x-3a，g（x）在 ,3a递减，则 g（x）在 ,3a上小于等于0，即：3ax 2+4（1-a）x-3a0，当 a0，g（x）是一个开口向下的抛物线，设 g（x）与 x 轴的左右两交点为 A（x 1，0） ，B（x 2，0）由韦达定理，知 x1+x2= 4,3a x1x2=-1，解得 则在 A 左边和 B 右边的部分 g（x）0 又知 g（x）在 ,3a递13减，即 g（x
19、）在 ,3a上小于等于 0，x 1 即：解得 1， a 的取值范围是 a故答案为 ,练习 4. 已知 是 ,上的增函数，那么 a的取值范围是_【答案】 7,35【解析】因为 是 ,上的增函数，所以故答案为 7,35【防错良方】在取值范围问题上，必须考查是否含有端点，方法是让变量取端点，然后考查是否符合题意，这个题目很容易选 D.10 分段函数问题（等价转化）【例 10】函数 （ 0a且 1）是 R上的增函数，则 a的取值范围是（ ）A 0,1 B ,3 C 2,3 D ,3)2【解析】：由于函数为 R是增函数，所以 ，解得 3,)2a.【答案】D【防错良方】本题考查分段函数图象与性质.由于分段
20、函数在 R上单调递增，所以首先在每一段上是增函14数，一次函数斜率要大于零，对数函数底数要大于 1，即 30a；还需要满足的是在区间的分段点的函数值，左边函数值要不大于右边函数值，即 ，由此解得 的取值范围.区间端点函数值如果不连续递增，是不能说在 R上递增的.练习 1.已知函数 ，如在区间 1， 上存在 2n个不同的数，使得比值 成立，则 的取值集合是（ ）A 2345， ， ， B 23， C 5， ， D 234， ，【答案】B【解析】因为 nfx的几何意义为点 (,nxf)与原点的连线的斜率，所以 的几何意义为点 (,nxf与原点的连线有相同的斜率，函数 的图象,在区间 1， 上，与 ykx的交点个数有 1 个，2 个或者 3 个，故 2n或 ，即 的取值集合是 3， ，故选：B.1511 主变元问题（迷惑性）【例 11】已知 对任意的 1,m不等式恒成立，求 x的取值范围_.【防错良方】本题含有两个变量 ,mx，因为对任意的 1,m不等式恒成立，所以主变元是 m，而不是x，本题及其容易习惯把 当主变元，看成是 关于的二次不等式，从而我解题带来麻烦.
