1、1专题 10 三角化简的技巧一三角化简的技巧1.角的范围问题2. 角的一致性问题3. 三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题 5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7. 角的范围对函数性质的影响8. 用已知角表示未知角问题二三角化简方法总结：1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作. 3.证明三角函数式恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通过变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等.三典
2、例分析（一） “1”的妙用例 1已知 ，则 的值为（ ） A B C D【答案】C【解析】利用同角三角函数的基本关系把原式的分母“1”变为 sin2+cos 2，然后给分子分母求除以cos2，把原式化为关于 tan 的关系式，把 tan 的值代入即可求出值因为 tan3，所以 故选： C练习 1已知角 的终边在函数 的图象上, 则 的值为( )2A B C2 D【答案】A【解析】依题意可知 ,故原式 ,故选 .练习 2已知 ，则 的值为（ ）A0 B1 C-1 D 1【答案】C【解析】由 平方得： ，得 .故选 C.练习 3若 ，则 的值为（ ）A 10 B 5 C 23 D 【答案】A【解析
3、】 ，则故选 A（二） 与 sincoA的关系例 2已知 ，则 的值是（ ）A B C D【答案】D【解析】 ， 则 即3故选 D.练习 1已知 为ABC 的一个内角，且 sincosm，若 m(0，1)，则关于ABC 的形状的判断，正确的是( )A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D三种形状都有可能 【答案】B【点睛】本题主要考查了利用同角平方关系的应用，其关键是变形之后从 sincos 的符号中判断 的取值范围，属于三角函数基本技巧的运用练习 2. 【2019 高考热点题型】若 sin，cos 是方程 4x2+2mx+m=0 的两根，则 m 的值为（ ）A. B C D【答案】B【解
4、析】由 sin、cos 是关于 x 的方程 4x2+2mx+m=0 的两个实根，利用判别式求出满足条件的 m 取值范围；再根据韦达定理和同角三角函数基本关系，求出对应 m 的值sin，cos 是方程 4x2+2mx+m=0 的两根 ， ， （sin+cos） 22sincos= 2 =1，解得 m=1 ；又方程 4x2+2mx+m=0 有实根，则=（2m） 216m0，解得 m0，或 m4；综上，m 的值为 1 4故选：B（三）用已知角表示未知角例 3已知 ， ，且 ，则 （）A-2 B2 C D【答案】A【分析】观察角之间的关系，拆角， ，利用差角公式展开，可以求得 .【解析】因为 sin
5、， ，所以 ；又所以 ， ，故选 A.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，一般求解思路是先观察已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.注意积累常见的拆角方法.练习 1已知在锐角 ABC 中，角 的终边过点 P(sin Bcos A，cos Bsin A)，且cos ，则 cos 2 的值为A B C D【答案】D【分析】在锐角三角形中分析可得 sin Bcos A0， cos Bsin A0，同理，cos Bsin A0，角 为第四象限角，sin ， ， ，故选 D.【点睛】给值求 值问题一般是应用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角
6、函数值，代入展开式即可 5（五）特殊角的替换作用例 5. 等于（ ）A. 32 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】 ，故选 C。练习 1A. B. -1 C. D. 1【答案】D【解析】 ，故选：D.（六）.角的一致性例 6. 的值是（ ）A. 12 B. 3 C. 2 D. 3【答案】D【解析】 故选 D.【防陷阱措施】三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角” ，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦” ；（3）三看“结构特征” ，分析结构特征，可以
7、帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.6练习 1 =_【答案】-1练习 2 _.【答案 】 3【解析】故答案为 3练习 3 _【答案】 【解析】 由 ，及 ，可得 ，所以 .练习 4 _【答案】 32【解析】 ，7.故答案为： 32练习 5. 求值： _【答案】4【解析】 故答案为 4练习 6 _【答案】 43【解析】，应填答案 43。点睛：解答本题的关键是借助题设中角度的特征，先将切化弦，再运用三角变换公式及二倍角的正弦余弦公式进行运算，进而达到化简的目的。练习 7化简 的值为_【答案】 32【解析】原式8，故答案为 32.练习 8 求 的值.【答案】2.【解析】利用题意结合所给三角
8、函数式的特征构造两角和差正余弦公式计算可得三角函数式的值为 2.原式7.辅助角公式的灵活应用例 7. 已知214ab，则 的最大值为（ ）A. 1 B. 3 C. 2 D. 3【答案】C【解析】由214ab得 。由辅助角公式可得， 所 以最大值为 2.故选 C。【防陷阱措施】求函数 的最值问题，利用辅助角公式将解析式化成一个角的三角函数形式，即 ，利用三角函数的性质求最值。9练习 1已知函数 ，在 上单调， 且若将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数是偶函数，则 的最小值为 （ ）A B C D【答案】B【解析】根据三角函数的二倍角公式与辅助角公式，化简得 ，再利用在 上单调， 且 ，
9、即可确定 f（ x）= ，再通过图象变换与偶函数得到 的最小值.【详解】 = += - = =2sin（ ） ，又 ，可知 的一个对称中心为（ ） ，代入化简的式子得 = k （k ） ，得 =6k+2（k ） ，当 =2 时，在 上单调，当 时，在 上有一个或多个周期，不满足题意，舍去，所以 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数为= 为偶函数，所以 = +k （k ）,+ （k ）,又 所以 的最小值为 ，故选 B.【点睛】本题考查了利用二倍角公式、三角恒等变换公式将函数 f（ x）的表达式化简，借助于三角函数的图象与性质等知识确 定 和 ，属于中档题练习 2将函数 的图象向右平
10、移 个单位后，所得到的函数图象关于 轴对称，则 的最小值为（ ）A B C D【答案】A【解析】先将已知函数通过二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，转化为，再根据题意求得平移后的三角函数，进而利用三角函数的对称性求解.10【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，考查了三角函数图象的平移变换，考查了三角函数的图象性质；平移原则：左加右减，上加下减.练习 3若函数 在 3x处取得最大值 4，则 ab（ ）A1 B C2 D3【答案】B【解析】对于函数 f(x)有 解得 a=2 3,b=2,所以 ab= 3,故选 B.练习 4设函数 ， ，若直线 ， 分别是曲线 与的对称轴，则 A2 B
11、0 C D【答案】C【解析】利用辅助角公式以及降幂公式，化简函数的解析式 ， ，再利用三角函数的图象的对称轴求得 的值，从而可得 的值【详解】函数 ，若直线 ， 分别是曲线 与 的对称轴，11则 ， ， 即 ， ， ，则，故选 C【点睛】本题主要考查辅助角公式与降幂公式以及三角函数图象的对称性，属于中档题函数的称轴方程可由 求得；函数 的称轴方程可由求得.（八）.正切公式的灵活应用例 7. A. B. C. D. 【答案】D【解析】 3 所以 所以原式等于 3故选 D【防陷阱措施】巧妙应用两角和差的正切公式，找到和与乘积的关系 练习 1 在数 1 和 2 之间插入 n个正数，使得这 2n个数构
12、成递增等比数列，将这 2n个数的乘积记为nA，令 lognaA， *N， _【答案】【解析】设在数 1和 2之间插入 n个正数，使得这 2n个数构成递增等比数列为 nb，则，即 12,q为此等比数列的公比， 12， ，由，又 ， ， ，故答案为 .练习 2 _【答案】 1【解析】 ,，故答案为 1.练习 3 _【答案】8【解析】注意到 可化为 .项证明一般结论如下：13，由于 ，故原式 28.（九）.正切变两弦例 9.8 的值为（ ）A. 12 B. 3 C. 1 D. 2【答案】C【解析】，故选 C.【防陷阱措施】本题的解题关键是：1.切化弦；2.辅助角公式；3.利用二倍角公式和诱导公式求解.练习 1 （ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 1【答案】D【解析】故选 D.
