1、1专题 10 三角化简的技巧一三角化简的技巧1.角的范围问题2. 角的一致性问题3. 三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题 5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7. 角的范围对函数性质的影响8. 用已知角表示未知角问题二三角化简方法总结：1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作. （三）用已知角表示未知角例 3已知 ， ，且 ，则 （）A-2 B2 C D【答案】A【分析】观察角之间的关系，拆角， ，利用差角公式展开，可以求得 .【解析】
2、因为 sin ， ，所以 ；又所以 ， ，故选 A.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，一般求解思路是先观察已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.注意积累常见的拆角方法.练习 1已知在锐角 ABC中，角 的终边过点 P(sin Bcos A，cos Bsin A)，且cos ，则 cos 2 的值为2A B C D 【答案】D【分析】在锐角三角形中分析可得 sin Bcos A0， cos Bsin A0，522 52，cos(2 ) 45.又 0 且 sin 13，cos 13，cos 2 cos(2 ) cos(2 )cos sin(2 )sin .又 cos 2 12sin 2
3、 ，sin 2 9130.又 (,)，sin .（四）.降幂公式的灵活应用例 4. 已知 是第一象限的角，若 ，则 sin2等于（ ）A. 43 B. 2 C. 3 D. 23【答案】C【解析】 ， ， 是第一象限的角， ，故选 C.【防陷阱措施】当幂比较高时，注意先使用平方关系把幂降下来练习 1已知 2sin3，则 （ ）A 6 B- C 1 D 23【答案】A【解析】 ,又 2sin36故选：A练习 2在 BC中，若 ，则下面等式一定成立的为（ ）A B A C B D ABC【答案】C【解析】在 A中， ， ， ， BC，故选练习 3已知函数 ，给出下列四个结论： 函数 的最小正周期是
4、； 函数 在区间 上是减函数； 函数 的图像关于点 对称； 函数 的图像可由函数 的图像向右平移 个单位，再向下平移 1 个单位得到.其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期判断的正误；利用函数的单调性判断的正误；利用函数 ysin x 的中心判断的正误；函数的图象的变换判断的正误；【详解】 f（ x）sin2 x2sin 2x+11sin 2 x+cos 2x1 sin（2 x ）1因为 2，则 f（ x）的最小正周期 T，结论正确当 x 时，2 x ， ，则 sinx 在 上是减函数，结论正确因
5、为 f（ ）1，得到函数 f（ x）图象的一个对称中心为（ ，1） ，结论不正确7函数 f（ x）的图象可由函数 y sin2x 的图象向左平移 个单位再向下平移 1 个单位得到，结论不正确故正确结论有，故选： B练习 4在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，且 ，则 的面积的最大值为（ ）A B C D【答案】A【解析】由 ，利用倍角公式可得 ，解得 ，可得 利用余弦定理可得： ，再利用基本不等式可得，进而得到 的最大值【详解】 ， ，化为 ，解得 ， ， 由余弦定理可得 ， ，当且仅当 时取等号 的面积的最大值为 故选：A（五）特殊角的替换作用例 5. 等于（ ）A. 32
6、B. 1 C. 2 D. 38【答案】C【解析】 ，故选 C。练习 1A. B. -1 C. D. 1【答案】D【解析】 ，故选：D.（六）.角的一致性例 6. 的值是（ ）A. 12 B. 3 C. 2 D. 3【答案】D【解析】 故选 D.【防陷阱措施】三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角” ，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的 拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦” ；（3）三看“结构特征” ，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.练习 1 =_【答案】-19练
7、习 2 _.【答案】 3【解析】故答案为 3练习 3 _【答案】 【解析】 由 ，及 ，可得 ，所以 .练习 4 _【答案】 32【解析】 ，.故答案为： 3210练习 5. 求值： _ 【答案】4【解析】 故答案为 4练习 6 _【答案】 43【解析】，应填答案 43。点睛：解答本题的关键是借助题设中角度的特征，先将切化弦，再运用三角变换公式及二倍角的正弦余弦公式进行运算，进而达到化简的目的。练习 7化简 的值为_【答案】 32【解析】原式，故答案为 32.练习 8 求 的值.【答案】2.【解析】利用题意结合所给三角函数式的特征构造两角和差正余弦公式计算可得三角函数式的值为 2.11原式7.
8、辅助角公式的灵活应用例 7. 已知214ab，则 的最大值为（ ）A. 1 B. 3 C. 2 D. 3【答案】C【解析】由214ab得 。由辅助角公式可得， 所以最大值为 2.故选 C。【防陷阱措施】求函数 的最值问题，利用辅助角公式将解析式化成一个角的三角函数形式，即 ，利用三角函数的性质求最值。练习 1已知函数 ，在 上单调， 且若将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数是偶函数，则 的最小值为（ ）A B C D【答案】B【解析】根据三角函数的二倍角公式与辅助角公式，化简得 ，再利用在 上单调， 12且 ，即可确定 f（ x）= ，再通过图象变换与偶函数得到 的最小值.【详解】
9、= += - = =2sin（ ） ，又 ，可知 的一个对称中心为（ ） ，代入化简的式子得 = k （k ） ，得 =6k+2（k ） ，当 =2 时，在 上单调，当 时，在 上有一个或多个周期，不满足题意，舍去，所以 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数为= 为偶函数，所以 = +k （k ）,+ （k ）,又 所以 的最小值为 ，故选 B.【点睛】本题考查了利用二倍角公式、三角恒等变换公式将函数 f（ x）的表达式化简，借助于三角函数的图象与性质等知识确定 和 ，属于中档题练习 2将函数 的图象向右平移 个单位后，所得到的函数图象关于 轴对称，则 的最小值为（ ）A B C
10、D【答案】A【解析】先将已知函数通过二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，转化为，再根据题意求得平移后的三角函数，进而利用三角函数的对称性求解.【详解】由题意得， ，将函数 的图象向右平移 个单位后，得到 的函数图象，解得： ， ，则 的最小值为 ，故选 A.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，考查了三角函数图象的平移变换，考查了三角函数的图象性质；平移原则：左加右减，上加下减.13练习 3若函数 在 3x处取得最大值 4，则 ab（ ）A1 B C2 D3【答案】B【解析】对于函数 f(x)有 解得 a=2 3,b=2,所以 ab= 3,故选 B.练习 4设函数 ， ，若直线
11、， 分别是曲线 与的对称轴，则 A2 B0 C D【答案】C【解析】利用辅助角公式以及降幂公式，化简函数的解析式 ， ，再利用三角函数的图象的对称轴求得 的值，从而可得 的值【详解】函数 ，若直线 ， 分别是曲线 与 的对称轴，则 ， ， 即 ， ， ，则，故选 C【点睛】本题主要考查辅助角公式与降幂公式以及三角函数图象的对称性，属于中档题函数的称轴方程可由 求得；函数 的称轴方程可由求得.（八）.正切公式的灵活应用例 7. 14A. B. C. D. 【答案】D【解析】 3 所以 所以原式等于 3故选 D【防陷阱措施】巧妙应用两角和差的正切公式，找到和与乘积的关系练习 1 在数 1 和 2
12、之间插入 n个正数，使得这 2n个数构成递增等比数列，将这 2n个数的乘积记为nA，令 lognaA， *N， _【答案】【解析】设在数 1和 2之间插入 n个正数，使得这 2n个数构成递增等比数列为 nb，则，即 12,q为此等比数列的公比， ， ，由，又 ， ， ，故答案为 .15练习 2 _【答案】 1【解析】 ,，故答案为 1.练习 3 _【答案】8【解析】注意到 可化为 .项证明一般结论如下： ，由于，故原式 28.（九）.正切变两弦例 9.8 的值为（ ）A. 12 B. 3 C. 1 D. 2【答案】C【解析】，故选 C.【防陷阱措施】本题的解题关键是：1.切化弦；2.辅助角公式；3.利用二倍角公式和诱导公式求解.练习 1 （ ）16A. 3 B. 2 C. 1 D. 1【答案】D【解析】故选 D.
