1、1专题 13 两招破解平面向量难题一 【学习目标】1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题方法总结二 【平面向量解题方法规律】1.用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 【详解】依题 ，由图易知向量 所成角为钝角，所以 ，所以当 最小时，即为向量 在向量 方向上的投影最小，数形结合易知点 P 在点 D 时, 最小（如图所示） ，在三角形 ADE 中，由等面积可知 ，所以，从而 .所以.故选 D.（二
2、）向量中的最值问题例 2设 是半径为 2 的圆 上的两个动点，点 为 中点，则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【分析】将 两个向量，都转化为 两个方向上，然后利用数量积的公式和三角函数的值域，求得题目所求数量积的取值范围.2练习 1已知 12,e是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量 b满足 ，则对于任意 的最小值为_.【答案】【解析】当且仅当 1x， y时， 取得最小值 2此时， 取得最小值 2 练习 2在边长为 1 的正 ABC 中， =x ， =y ， x0， y0 且 x+y=1，则 的最大值为（ ）A B C D【答案】C【解析】 ， ，由此能求出当时， 的最大值为 3（
3、三）投影问题 例 3已知| |=1，| |=2， AOB=60， = + ，+2=2，则 在 上的投影（ ）A既有最大值，又有最小值 B有最大值，没有最小值C有最小值，没有最大值 D既无最大值，双无最小值【答案】B【解析】根据题意得： 在 上的投影为 代入得令 得 ，代入得当 时，原式 有最大值，当 时，式无最小值故选： 4练习 1已知| |=1，| |=2， AOB=60， = + ，+2=2，则 在 上的投影（ ）A既有最大值，又有最小值 B有最大值，没有最小值C有最小值，没有最大值 D既无最大值，双无最小值【答案】B【解析】运用向量投影的知识和减元可解决（四）向量的几何意义 例 4 D是
4、 ABC所在平面内一点， ，则 是点 D在内部（不含边界）的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 【答案】B【解析】若 ，点 在 ABC内部，则 ，反之不成立，例如 12时，点 D为边 BC的中点， 是点 在 ABC内部， （不含边界）的必要不充分条 件，故选 B. 练习 2如图，在 A中， 是线段 上的一点，且 4BD，过点 的直线分别交直线,ABC于点 ,MN，若 B， ，则 3的最小值是 .5【答案】 3考点： 1、向量的概念及几何表示；2、向量数乘运算及几何意义；3、向量数量积的含义及几何意义. 方法点睛：由向量减法法则可知 ，代入已知条件 4BCD
5、得到，再把已知条件 AMB， 代入得到，根据 ,DC三点共线得 134u，利用均值不等式得到 34u，而，从而求得 的最小值是 .练习 3在四面体 中，点 ， 分别为 ， 的中点，若 ，且 ， ， 三点共线，则A B C D【答案】B【分析】由已知可得 ，又 ，对应项系数相等，得到结果.6（七）坐标法解决向量问题例 7如图，在矩形 ABCD中， 3， 2AD，点 E为 BC的中点，如果 2DFC，那么AFE的值是_ _【答 案】9【解析】建立如图所示的直角坐标系，则 , , 9AFBE. 练习 2如图， O为 ABC的外心， 为钝角， M是边 BC的中点，M的值（ ） 7A 4 B.6 C7
6、D 5 【答案】D练习 3 是平面上的一定点， 是平面上不共线的三点，动点 满足 ，则动点 的轨迹一定经过 的（ ）A重心 B垂心 C外心 D内心【答案】B【解析】解出 ，计算 并化简可得出结论【详解】 （ ） ， ， ，即点 P 在 BC 边的高上，即点 P 的轨迹经过 ABC 的垂心故选： B练习 4已知点 O 是锐角ABC 的外心，a，b，c 分别为内角 A、B、C 的对边，A= ，且，则 的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】由题意画出图形，设 的外接圆半径为 ，根据三角形外心的性质可得： ， ，由向量的线性运算和向量数量积的运算，求出 和 ，在已知的等式两边同时与 进行数量积8
7、运算，代入后由正弦定理化简，由两角和的正弦公式和三角形内角和定理求出 的值 即函数 h（ x） 在（ e1 x e21）上为增函数，则 ，即 4e-2 a 实数 a 的取值范围是 故选： B练习 2将向量列 组成的系列称为向量列 ，并记向量列 的前项和为 ，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量 ，那么称这样的向量列为等和向量列。已知向量列 为等和向量列， 若 ，则与向量 一定是垂直的向量坐标是（ ）9A B C D【答案】C【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解，考查递推数列求每一下的方法，还考查了两个向量垂直的坐标表示.属于基础题.练习 3已知集合 M=（x，y）|y=
8、f（x），若对于任意实数对（x 1，y 1）M，存在（x 2，y 2）M，使x1x2+y1y2=0 成立，则称集合 M 具有性，给出下列四个集合：M=（x，y）|y=x 32x 2+3； M=（x，y）|y=log 2（2x）；M=（x，y）|y=22 x； M=（x，y）|y=1sinx；其中具有性的集合的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】条件等价于：对于 M 中任意点 P（ x1， y1） ，在 M 中存在另一个点 P（ x2， y2） ，使 OP OP作出函数图象，验证即可 【详解】| | |1，且 ，可设 ， ， 10 ， ，即（ x1） 2+（ y1） 21 的最大
9、值 故选： C 练习 1 的斜边 等于 4，点 在以 为圆心，1 为半径的圆上，则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】结合三角形及圆的特征可得 ，进而利用数量积运算可得最值，从而得解.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.练习 2已知在平面四边形 中， ， ， , ， ，点 为边 上的动点，则 的最小值为A B C D【答案】C【解析】以 为原点，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，求出 ， ， 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出11【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，向量的坐标表示，二次函数最值的求法，向量数量积的坐标表示，建立适当的坐标系将几何知识代数化是解题的关键，也是常用手段，属于中档题
