1、1专题 15 统计的命题规律【学习目标】1会收集现实问题中两个有关联变量的数据并作出散点图，会利用散点图直观认识变量间的相关关系；2了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程；3了解独立性检验(只要求 22 列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4了解回归的基本思想、方法及简单应用【知识要点】1抽样方法(1)抽样要具有随机性、等可能性，这样才能通过对样本的分析和研究更准确的反映总体的情况，常用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样(2)简单随机抽样是指一个总体的个数为 (较小的有限数)，通过逐个抽取一个样本，且每次抽取时每个个体被抽取的概率相等简单随机抽样的两
2、种常用方法为抽签法和随机数表法(3)分层抽样是总体由差异明显的几部分组成，常将总体按差异分成几个部分，然后按各部分所占比例抽样，其中所分成的各部分叫做层(4)系统抽样是当总体中的个数较多时，将总体均分成几部分，按事先按确定的在各部分抽取2总体分布的估计(1)作频率分布直方图的步骤：求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)决定组距与组数将数据分组列频率分布表(下图)分组 频数 频率 累计频率01)t，1r1f 1f2，22 2 1kt ，krkf2画频率分布直方图，将区间 )ab， 标在横轴上，纵轴表示频率与组距的比值，以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画矩形，共得 k个矩形，这样得
3、到的图形叫频率分布直方图频率分布直方图的性质：第 i个矩形的面积等于样本值落入区间 1)iit ， 的频率；由于，所以所有小矩形的面积的和为 1. 三高考命题类型分析（一）随机抽样例 1从 2018 名学生中选取 50 名学生参加某一活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 2018人中剔除 18 人，剩下的 2000 人再按系统抽样的方法抽取 50 人，则在这 2018 人中，每个人入选的概率 （ ）A不全相等 B均不相等 C都相等，且为 D都相等，且为【答案】C【解析】【详解】因为简单随机抽样和系统抽样都是等可能抽样，从 个个体中抽取 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于 ，即从 2
4、 018 名学生中选取 50 名学生参加全国数学联赛，每人入选的概率都相等，且为，故选 C.练习 1下列说法中错误的是（ ）A先把高二年级的 2000 名学生编号为 1 到 2000，再从编号为 1 到 50 的 50 名学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 ，然后抽取编号为 ， ， 的学生，这样的抽样方法是系统抽样法；B独立性检验中， 越大，则越有把握说两个变量有关；C若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 的值越接近于 1；D若一组数据 1、 a、3 的平均数是 2，则该组数据的方差是 .【答案】C【解析】对于 A，根据个体数目较多，且没有明显的差异，抽取样本间隔相等，知这种抽样方法是
5、系统抽样法， A 正确；对应 B,独立性检验中， 越大，应该是说明两个变量有关系的可能性大，即有足够的把握说明两个变量有3关， B 正确；对于 C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数| r|的值越接近于 1， C 错误；对于 D，一组数据 1、 a、3 的平均数是 2， a2；该组数据的方差是 s2 （12） 2+（22） 2+（32） 2 ， D 正确故选：C. 上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，则这 20 个班有网购经历的人数的众数为（ ）A24 B37 C35 D48【答案】C【解析】这 20 个班有网购经历的人数最多的数字为 35； 所以众数为 35，故选 C【点睛】本
6、题主要考查利用茎叶图求众数，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题练习 2已知一组数据 3，4，5， a， b 的平均数是 4，中位数是 m，从 3，4，5 ， a， b， m 这组数据中任取一数，取到数字 4 的概率为 ，那么 3，4，5， a， b 这组数据的方差为（ ）A B2 C D【答案】D【解析】根据 3，4，5， a， b 的平均数是 4，中位数是 m，从 3，4，5， a， b， m 这组数据中任取一数，取到数字 4 的概率为 ，可知 ，由方差公式求解即可.（三）频率分布直方图例 3.例 3.2017 年 APEC 会议于 11 月 10 日至 11 日在越南岘港举行，某研究
7、机构为了了解各年龄层对APEC 会议的关注程度，随机选取了 100 名年龄在20，45内的市民举行了调查，并将结果绘制成如图所示4的频率分布直方图（分组区间分布为20，25） ，25.30） ，30，35） ，35，40） ，40，45） （1）求选取的市 民年龄在30，35）内的人数；（2）若从第 3，4 组用分层抽样的方法选取 5 名市民进行座谈，再从中选取 2 人参与 APEC 会议的宣传活动，求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在35，40）内的概率【答案】 （1）30； （2） . 【解析】 （1）由频率分布直方图可得年龄在 内的频率为 ，从而可得结果；（2）利用分层抽样的方法可知
8、，所选的 5 人中，从第 3 组选 3 人，从第 4 组选 2 人，利用列举法，求出总事件以及至少有一人的年龄在 内的事件，再利用古典概型概率公式即可得出结果.【详解】 （1）由频率分布直方图可得年龄在30，35）内的频率为 0.065=0.3，则选取的市民年龄在30，35）内的人数 0.3100=30；【点睛】本题考查古典概率概率公式与频率分布直方图的应用，属于中档题利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较5少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺
9、序逐个写出：先 ， . ，再 ， 依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生. 练习 3某市要对 2000 多名出租车司机的年龄进行调査,现从中随机抽出 100 名司机,已知该市的司机年龄都在20,45之间,根据调査结果得出司机的 年龄情况的频率分布直方图如图所示,估计该市出租车司机年龄在 频率是( )A0.02 B0.04 C0.2 D0.84【答案】C（四）茎叶图例 4将甲、乙两名同学 5 次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲、乙两人成绩的中位数分别为，则下列说法正确的是( )A ；乙比甲成绩稳定 B ；甲比乙成绩稳定C ；乙比甲成绩稳定 D ；甲比乙成绩稳定【答案】A 6练习 1为比较
10、甲、乙两地某月 12 时的气温状况，随机选取该月中的 5 天，将这 5 天中 12 时的气温数据（单位： ）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：甲地的平均气温低于乙地的平均气温；甲地的平均气温高于乙地的平均气温；甲地气温的标准差小于乙地气温的标准差；甲地气温的标准差大于乙地气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )A B C D【答案】B【解析】由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙两地某月 12 时的气温抽取的样本温度，进而求出两组数据的平均数、方差，可得答案【详解】由茎叶图中的数据，我们可得甲，乙两地某月 12 时的气温抽取的样本温度分别为：甲：26，28，29，31，31乙：
11、28，29，30，31，32；7所以甲地该月 12 时的气温的标准差大于乙地该月 12 时的气温标准差.正确，故选 B. 故数据的方差是 ，故标准差是 ，故选： D【点睛】本题考查了解方程组问题，考查求数据的平均数和方差问题，是一道基础题练习 2若样本 的平均数是 ，方差是 ，则对样本，下列结论正确的是 ( )A平均数为 14，方差为 5 B平均数为 13，方差为 25C平均数为 13，方差为 5 D平均数为 14，方差为 2【答案】C【解析】根据平均数和方差的定义和性质进行求解即可8【点睛】本题主要考查样本数据的方差和平均数的计算，根据相应的公式进行计算是解决本题的关键（七）极差、方差、标准
12、差例 7已知某 7 个数的平均数为 3，方差为 ，现又加入一个新数据 3，此时这 8 个数的平均数为 x，方差为 ，则（ ）A ， B ， C ， D ，【答案】B【解析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式，进行求解，即可得到答案.【详解】由题意，根据这 7 个数的平均数为 3，方差为 ，即 ， ，即 ，现又加入一个新数据 3，此时这 8 个数的平均数为 ，方差为 ，即 ，故选 B. 练习 1在下列命题中，下列选项正确的是（ ）A在回归直线 中，变量 时，变量 的值一定是 15.B两个变量相关性越强，则相关系数 就越接近于 1.C在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的
13、模型比较合适，与带状区域的宽度无关.9D若 是两个相等的非零实数，则 是纯虚数.【答案】D【解析】根据回归方程的定义判断 ；根据相关系数的定义判断 ；根据残差图的性质判断 ；根据纯虚数的定义判断 .【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查回归方程的定义、相关系数的定义、残差图的性质、纯虚数的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，做这类题目要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.（九）回归分析例 926已知某商品的价格 （元）与需求量 （件）之间的关系有如下一组数据：x 14 16
14、18 20 22y 12 10 7 5 3； 参考： ；当 时 , ,（1）求 ， ；（2）求出回归直线方程；（3）计算相关系数 r 的值，并说明回归模型拟合程度的好坏。【答案】 （1） ；（2） ；（3） ，拟合效果好.【解析】 （1）由平均数公式计算 x， y 的平均值即可；10（2）结合回归方程系数公式和（1）的结论求解回归方程即可；（3）利用相关系数的计算公式求得相关系数即可比较拟合效果的好坏【点睛】本题考查了线性回归方程的实际应用，线性回归方程的性质，相关系数的概念等，重点考查学生的计算能力和对基础概念的理解，属于中等题 练习 1某工厂每日生产一种产品 吨，每日生产的产品当日销售完毕
15、，日销售额为 万元 ，产品价格随着产量变化而有所变化，经过一段时间的产销，得到了 的一组统计数据如下表： （1）请判断 与 中，哪个模型更适合刻画 之间的关系？可从函数增长趋势方面给出简单的理由； （2）根据你的判断及下面的数据和公式，求出 关于 的回归方程，并估计当日产量 时，日销售额是多少？（结果保留整数）参考公式及数据：线性回归方程 中， ， .， ，【答案】(1)答案见解析；(2)23 万元.11【解析】分析：（1）从函数增长趋势考虑可知 更适合刻画 之间的关系.（2）由题意可得非线性回归方程为 ，据此预测当日产量 时，日销售额是 23 万元.点睛：本题主要考查非线性回归方程的求解，回
16、归分析的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（十一）独立性检验例 11 中华人民共和国道路交通安全法第 47 条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线” ， 中华人 民共和国道路交通安全法 第90 条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣 3 分，罚款 50 元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：月份 1 2 3 4 5违章驾驶员人数 120 105 100 90 85（1）请利用所给数据求违章人数 与月份之间的回归直线方程 ；（2）交警从这 5 个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了 50 人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下 列联表：能否据此判断有 的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？不礼让斑马线 礼让斑马线 合计驾龄不超过 1 年 22 8 30驾龄 1 年以上 8 12 2012合计 30 20 50参考公式及数据：.（其中 ）【答案】 （1） ；（2）有 的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关【解析】 （1）利用所给数据计算 、 ，求出回归系数，写出回归直线方程；（2）由列联表中数据计算 K2，对照临界值得出结论 （2） 的可能取值为 ， ， ， ，所以 的分布列为
